华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解

练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i ii i 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

5．解方程013=+zi i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解6．试证：当1,1<=βα时，则11=--βαβα。

证：111==--=-⋅-=--αβααβαβαααβαβαβα7．设θθ,0(cos 21≠=+-z z z 是Z 的辐角），求证.cos 2θn z z n n =+-证：01cos 2cos 221=+⋅-⇒=+-z z z z θθ则θθsin cos i z ±=当θθsin cos i z+=时 θθsin cos 1i z -=-θθθθθn n i n i n z z n n cos 2)]sin()[cos()sin (cos =-+-++=+-故 θn z z nncos 2=+-当θθsin cos i z -=时，同理可证。

*8 .思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。

（2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，0=z 是模为零，辐角无定义的复数。

练 习 二1．指出满足下列各式的点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）4)arg(π=-i z解：设iy x z += 则4)]1(arg[)arg(π=-+=-y i x i z⎪⎩⎪⎨⎧-=>->∴1010y x y x 则点Z 的轨迹为：（2）)Re(b z a z -=-，其中b a ,为实数常数； 解：设iy x z+= 则：)Re()(iy b x iy a x +-=+-⎩⎨⎧≥--=+-∴0)()(222b x b x y a x 则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--=-+-=b x b a x b a a b x b a y )2)((2)(2222若：b a = 则轨迹为： 0=y若：b a > 则b ba x >+≥2轨迹：)2)((22ba xb a y +--= 若：b a < 则,2b a x +≤无意义（3）0=+++b z a z a z z ，其中为a 复数b 为实常数。

解：由题设可知：0))((2=-+++a b a z a z即：b a a z -=+22 若：b a =2，则Z 的轨迹为一点-a ， 若：b a >2，则Z 的轨迹为圆，圆心在-a ，半径为b a -2若：b a <2，无意义实用文档2．用复参数方程表示曲线，连接i +1与i 41--直线段。

解：10)]1()41[()1(≤≤+---=+-t t i i i z则)0()52()1(≤≤+-+=t t i i z3域？并标出区域边界的方向。

（1）21Re ,1≤<z z解：由1<z ，得122<+yx 又21Re ≤z ，得21≤x有界，单连域（2）1Re 2<z 解：令iy x z +=由11Re 222<-⇒<y x z 即：122->x y无界，单连域实用文档（3）211≤+-z z解：令iy x z +=则：222)34()35(≥++y x无界，多连域4．对于函数0Im :,)(>==z D iz z f ω，描出当z 在区域D 内变化时，w 的变化范围。

解：令iy x z+=则ix y iy x i iz z f w +-=+===)()( ,0Im >z Θ则0>y,0Re <-=y w Θw ∴的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证z zz Re lim0→不存在。

证：z z z Re lim 0→=iy x x y x +→→00lim令kx y = 则：上述极限为ki +11不确定，因而极限不存在。

*6.思考题（1）怎样理解复变函数)(z f w =？ 答：设)(,,z f w iy x z iv u w =+=+=则就是),(),()(y x iv y x u iy x f iv u +=+=+即 ⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 因此，一个复变函数)(z f 与两个实变函数),(y x u 和),(y x v 相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是z 平面上的点集D 到w 平面上的点集G 上的映射。

（2）设复变函数)(z f 当0z z →时的极限存在，此极限值与z 趋于0z 所采取的方式（取的路径）有无关系？答：没有关系，z 以任意方式趋于0z 时，极限值都是相同的，反过来说，若令z 沿两条不同的曲线趋于0z 时极限值不相等，则说明)(z f 在0z 没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x 只能从左、右以任何方式趋于0x ，而这里可以从四面八方任意趋于0z 。

练 习 三1．用导数定义，求z z z f Re )(=的导数。

解：z zz z z z z z z f z z f z z ∆-∆+∆+=∆-∆+→∆→∆Re )Re()(lim )()(lim00)(Re lim )Re (Re lim )Re Re (Re lim Re Re Re lim00000y i x xz z z z z zzz z z z z z z z z z y x z z z ∆+∆∆⋅+=∆∆+=∆∆+∆+=∆∆∆+∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆当0≠z 时，导数不存在， 当0=z 时，导数为0。

2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ （1）z z f 1)(=解：),(),(1)(2222y x iv y x u yx y i iy x x z z z z f +=+++===2222222222222222)()(2)(2)(y x y x v y x xy v y x xy u y x x y u y x y x +-=+-=+-=+-=当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。

（2）)3(3)(3223y y x i xy x z f -+-= 解：令)(),()(xy iv y x u z f +=则 2222336633y x v xyu xy v y x u y y x x -==-=-=因)(z f 在复平面上处处满足R C -条件，且偏导数连续，故)(z f 可导且解析。

3．设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。

解：由R C -条件可知： lxynxy 22=所以l n =又222233ly x nx my --=+所以3,3-=-=n l m 且即 ⎩⎨⎧-===31l n m4.设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的。

（1）)(z f =常数； （2）0)(='z f ； （3）=)(Re z f 常数 （2）=)(Im z f 常数； （5）)(z f 解析； （6）=)(z f 常数。

证:由于)(z f 在且域D 内解析，则可得R C -方程成立，即y v x u ∂∂=∂∂且x v y u ∂∂-=∂∂1）→2）由c z f ≡)(则0)(='='c z f 在D 内成立，故（2）显然成立，2）→3）由),(00)(y x u y u x u y u i y v x v i x u z f ⇒=∂∂=∂∂⇒=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='是常数即 =)(Re z f 常数3）→4） ≡u 常数0=∂∂=∂∂⇒y u x u 由R C -条件 ),(00y x v x v y v⇒⎭⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂是常数=⇒)(Im z f 常数4）→5）若,)(,)(,)(Im 1ic u z f ic u z f c z f -=+==因)(z f 在D 内解析0,0=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∴x c x v y u y c y v x u 即 x c y u y c xu ∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂)(,)( 一阶偏导连续且满足R C -条件)(z f ⇒在D 内解析5）→6） iv u z f z g iv u z f -==+=)()(,)( 因)(z g 解析，则由R C -条件x vy u yv x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂,， 对)(z f 在D 内解析，)(00,z f v x v y u v xvy u x v y u y v x u ⇒⎭⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=∂∂=∂∂⇒=∂∂=∂∂⇒∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂为常数为常数为常数6）→1）=)(z f 常数2)(z f ⇒=常数，令c v u =+22分别对y x ,求偏导数得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂0)(0)(002222y u v u x u v u y u u x u v y u v x u u若022=+v u 则0)(,0===z f v u ，因而得证若022≠+v u ，则0=∂∂-∂∂y u i x u ，故=u 常数，由R C -条件v y v x v ⇒=∂∂=∂∂,0为常数=⇒)(z f 常数*5.思考题：（1）复变函数)(z f 在一点0z 可导与在0z 解析有什么区别？答：)(z f 在0z 解析则必在0z 可导，反之不对。