重庆市2018中考第18题专题
专题18 图文转换—图表(小题狂练+中考真题)(原卷版)
决胜2023中考一轮地毯式复习——图文转换（2）图表复习建议分别在第19、第21、第24、第32、第48天将“方法指导”读一遍，背一遍，然后做一遍后面的“30道小题狂练”和“15道中考真题闯关”，到第48天再读时，基本搞定。
方法指导图表概括题涉及柱状图、饼状图、扇形图、表格等1.读：关注题日中的特殊限制，审读图表细节，包括图表的标题、表头、表注等。
2.比：比数据（比不同，比相同），找结论（看变化，看现象，看观念，看趋势）。
重视数据变化，把握图表重心。
3.析：分析造成数据变化的原因。
4.核：复核答案，避免遗漏注：图表类型不同，关注点存在差异。
表格一表格项目及数据变化；柱状图一柱体高度及变化趋势；饼状（扇形）图一各部分所占比例。
1．学校七年级一班将要开展以“天下国家”为主题的综合性学习活动，请你参与，并完成以下任务。
在本次活动中，学校对学生进行了“我最崇拜的人物”问卷调查。
下图是开展活动前后的问卷调查统计图表，请你用简洁的语言概括图表所表示的内容。
2．你所在班级举办“致敬英雄”主题活动，请你参与。
老师对全校同学了解的英雄人物做了一个问卷调查，统计数据如下图，请分析图表，写出结论。
结论：2．阅读文字和图表回答问题(1)广州某粮农组织针对食物浪费现象，对本市各类型餐馆和各区中小学进行了走访调查，以下图表是调查数据统计结果，阅读图表，请用简洁的语言概括阅读后得出的结论。
3.冬至过后，育才学校“涵英茁秀”班开展了“少年正是读书时”系列实践活动。
【问卷连线】“文笔透纸”组通过网络等途径搜集整理了“2021年全民阅读报告（部分）”。
请你总结从下列图表中获得的主要信息。
4.我市某校八年级（1）班正在开展以“我们的互联网时代”为主题的综合性学习活动，请你参加。
【活动二：我分析】随着互联网技术的发展，“互联网＋医疗健康”也走进了人们的生活。
请结合下列图表，总结出两条有效信息。
5．“低碳”成了人们耳熟能详的词汇，“低碳生活”正日益为更多人所接受。
2018年重庆市中考数学18题专题训练
I&在正方形AFCD中'点氐F分31 BC. DC边上-点，且BEFE, DFPFG连爰DE. BF交于点® 连接AG ZDAG的平分Sj交DC于KL若胡?主厢，蝴四边形AGFM的面枳理1呂芯不18. Jnffi.正方"BCD中，£.尸分别在曲边，眈边上・且H为找段口。
上一点，连^AH, BH -劃/交/F于点「若ZG4H-4S D( GJ】，正方殆MCD边恨为4「面积为______________________ ・第怡翘图18.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=2CE连接DE, F为DE中点，以DF为直角边作等腰Rt A DFG,连接BG,将△ DFG绕点D顺时针旋转得△ DF'G',点G恰好落在BG的延长线上，连接F'G，若BG=2「5，贝U S△GFG=議IJI顾闺H认族炕解是脱上的-总连接昭肿平11如囲正方形磁D的边孜削」S収嵐于髀连诃删认涉于阴将血恥折「亦如处连接莎”用若莎也MA/TGF的面取是一4一•18、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE ,过点D作DF A CE于点F , 连接AF，过点E作EH A AF于点H交CD的延长线于点M , EM交AD于点G，连接FG并延长交AM于点N ,已知HF=12,则DGMN的面积等于▲.18.正方形ABCD中, AB= 4,点E为AD边上一点，点F为AB边上一点且/ DEC=Z AEQ 60°,将顶点为D点的/NDM绕着D点进行旋转，/ ND M60°,若射线DM交线段EF于点H,若射线DN交线段EC于K点，交线段CB于G点，当HG平分/ DHF时，四边形EHG啲面积是___ 。
IS. iOBb ABCD 中.G 为BE 上一点* DG-2CG.连ft AG（作DF丄AG 交AG于F.连播CF.将肘线FC绕点F逆时针旋转44交时于点氐已知=屈・■则四边的周长沟*18、如图，正方形ABCD中，AD=4,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将EFG沿EF翻折，得到EFM,连接DM，交EF于点N,若点F是AB的中点，贝U EMN的周长是______________ 。
2021重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析) (1)(1)
2021 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点 C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．例3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为．练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH．点E 在运动过程中，HF 的最小值为．AGE DH例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．例7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9 .例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB＝2，AB AC ，∠D＝60°，点P、Q 分别是AC和BC 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点M、点N 分别在BD、BC 上，则CM+MN 的最小值为．例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是．例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE 面积的最大值为.例4、（2019 秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE 的面积的最大值为．5例5、（2018 秋•西安期末）如图，△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点，以CD 为边在AD 的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE 面积的最大值为．例6、（2013 春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为射线BC 上一动点，以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．当点D 在线段BC 上时，若BC＝2，CF 交DE 于点P，连接AP，则△ACP 的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E 是AB 边上一点，且AE＝4，点F 是EC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积最小时，BF 的长度为．2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是解：取线段AC 的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD 和△ECG 中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时CD＝．练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是2﹣．解：如图，在AC 上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD 是等腰直角△ABC 的对称轴BC，∵CD＝CG，又∵CE 旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF 和△GCE 中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，EN 2 +NB2(8 -x)2 +x22(x - 4)2 ) + 32∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2 ﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2 ＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E 作EM⊥CD 于M，过点E 作EN⊥CB 于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，∴BE ===，∴当x = 4 时，BE 的值最小，最小值为．练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．解：如图，过点F 作FM⊥AB 于M，过点G 作GH⊥AD 于H，GN⊥AB 于N，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN 是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG ，∴EG ＝EF ，∠GEF ＝90°，∴∠NEG +∠FEM ＝90°，且∠NGE +∠NEG ＝90°，∴∠FEM ＝∠NGE ，且∠N ＝∠FME ＝90°，EF ＝EG ，∴△EGN ≌△EFM （AAS ）∴NE ＝MF ＝2，EM ＝NG ，设 AE ＝CF ＝a ，∴EM ＝2﹣2a ＝NG ＝AH ，AN ＝2﹣a ＝GH ，∴HD ＝AD ﹣AH ＝2﹣（2﹣2a ）＝2a ， ∵GD ＝∴当 时，GD 有最小值，例 3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，以 CE 为边，在 CE 的右侧构造正方形 CEFG ，连结 AF ，则 AF的最小值为 3．解：过 F 作 FH ⊥ED ，∵正方形 CEFG ，∴EF ＝EC ，∠FEC ＝∠FED +∠DEC ＝90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FED +∠EFH ＝90°，∴∠DEC ＝∠EFH ，且 EF ＝EC ，∠FHE ＝∠EDC ＝90°，∴△EFH ≌△EDC （AAS ），∴EH ＝DC ＝2，FH ＝ED ， ＝＝∴当 AE ＝1 时，AF 的最小值为 3练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形 ABCD 中，AB ＝4，点 E 为边 AD 上一动点，连接 CE ，以 CE 为边， 作正方形 CEFG （点 D 、F 在 CE 所在直线的同侧），H 为 CD 中点，连接 FH ．点 E 在运动过程中， HF 的最小值为．A GBC图 1EDH解：如图1，连接DF，过点F 作FM⊥AD，交AD 延长线于点M，过点F 作FN⊥CD 的延长线于点N，∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM 是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH 中＝＝∴当x＝3 时，HF 有最小值＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD 中，AB＝2 ，O 是BC 边的中点，∴OC＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P 三点共线时，PE 最小＝＝5 ，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF 的最小值是﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．解：连接OD，如图所示DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则EC＝1+＝，CG 的最小值．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+ EC＝＝，故CG 的最小值为：．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．解：如图，作AH⊥y 轴于H，CE⊥AH 于E．则四边形CEHO 是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x 则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM 有最小值，最小值为．x 2+ (8-x )2 25 x 2 - 4x + 16 4 练习：在平面直角坐标系中，已知 A （4，8）、P （2，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造△ABC ，使点 C在 x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为．解：如图，作 AH ⊥y 轴于 H ，CE ⊥AH 于 E ．则四边形 CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8，∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴ ＝ ，∴ 4 = BH ，8 AE ∴AE ＝2BH ，设 BH ＝x 则 AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ，∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ， 8 - x），∵P （2，0），2∴ PM = = =∴当 x = 8 时，PM 有最小值 4 30．5 5例 7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6，BC ＝8，点 E 是边 AD 上一点，以 CE 为直角边在与点 D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结 BG ，当点 E 在边 AD 上运动时，线段 BG 长度的最小值是解：如图作 GH ⊥BA 交 BA 的延长线于 H ，EM ⊥HG 于 M ，交 BC 于 N ．则 MN ⊥BC ．设 AE ＝m ．∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6， 在 Rt △BHG 中＝＝，∴当 m ＝4 时，BG 有最大值，最大值为．5 (x - 8)2 + 96 4 5 5练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 5 ．解：如图所示：过点D 作DG⊥OA，过点E 作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF 为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED 和△GDA 中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2 时，OE 有最小值，最小值为．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为 6 ．解：以BD 为直角边在BD 上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又．∵E 点运动轨迹是以E 为圆心，DE＝2 为半径的圆，∴C 点运动的轨迹是以O 为圆心为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC 最大值为+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．解：作点F 关于AD 的对称点G，过G 作GN⊥AE 与N，交AD 于M，则GN 的长度等于MN+MF 的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2 ，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2 ．∴MN+MF 的最小值．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9.解：由已知，点G 在以B 圆心，1 为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C′，连接C′B，交AD 于H，交以D 为圆心，以1 为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C′B 的值最小，则GH+CH 的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为AP解：如图，作点B 关于 AC 的对称点 B ′，过点 B ′作 B ′F ⊥BC 于 F ，交 AC 于 E ，连接 CB ′交 AD于 P ，连接 BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠PAC ，∵点 B 关于 AC 的对称点是 B ′，∴∠PCA ＝∠BCA ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∴PA ＝PC ．令 P A ＝x ，则 PC ＝x ，PD ＝4﹣x ．在 Rt △CDP 中，∵PC 2＝PD 2+CD 2，∴x 2＝（4﹣x ）2+22，∴x ＝2.5， ∵co s ∠B ′CF ＝co s ∠CP D ，∴CF ：B ′C ＝DP ：CP ，∴CF ：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B ′F ＝＝，∴BE +EF 的最小值为． 练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB ＝2， AB ⊥ AC ，∠D ＝60°，点 P 、Q 分别是 AC 和 BC 上的动点，在点 P 和点 Q 运动的过程中，PB +PQ 的最小值FDBC解：作点 B 关于 AC 的对称点 F ，连接 CF ，作 FQ ⊥ BC 交 AC 于点P ，则 FQ 的长即为 PB +PQ 的最小值（垂线 段 最 短 ）， 易 知 △BCF 是 等 边 三 角 形 ，∴BP +PQ 的 最 小 值 为． 2 、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点 M 、点 N 分别在 BD 、BC 上，则 CM +MN 的最小值为．解：如图，作出点C 关于BD 的对称点E，过点E 作EN⊥BC 于N，交BD 于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN 最小；∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，在Rt△BCF 中＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN 中＝；即：CM+MN 的最小值；例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.解：如图，取AB 的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD 交CD 的延长线于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG，易知B，E 关于射线NG 对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH 中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH 中＝2 ，∴GB+GC≥2 ，∴GB+GC 的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是2 ．解：如图，作ME⊥AD 交AB 于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB 于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE 是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C 共线时，N′B+N′C 的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF 中，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF 中＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为解：延长AD 到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM 的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE 中）2＝x2，解得，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为解：作点C 关于AB 的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C 与点P 关于AB 对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2 是定值，∴当E、F、P、H 四点共线时，PF+PH 值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC 的最小值为8．练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是 4 ．解：如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1 是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．解：如图，过点E 作EH⊥BC 于点H．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE 且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE 是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC 时，AF+EF+CG 的值最小，即EG＝1 时，AF+EF+CG 的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．如图作BH⊥OH 于H．设点C 的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则+，BO+BA 的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x 上寻找一点P（m，m），使得点P 到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M 关于直线y＝x 的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝，故：BO+BA 的最小值．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．解法一：如图，作点D 关于BC 的对称点G，连接BG，在BG 上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB 交AB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD 中＝5，由△BHM∽△DBC，可＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH 中，AH＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF 的最小值．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90°∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE 中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF 中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、，﹣）三点共线时，AE+AF 值最小，就是点（0，3）、，﹣）之间的距离，＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是﹣+3 ．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC 周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C 三点共线时，A′P+PC 有最小值，是AC 的长，∴AC 与MN 的交点就是点P，由勾股定理得＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C 三点共线时，A′C 有最小值，此时，∵M 是AD 的中点＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC 周长的最小值是：+3 ，例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD 于H，连接，∴PB＝＝，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝22 + (4 3)2 E F32 +42FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝10+BA ′，∴当 BA ′的周长最小时，△BFA ′的周长最小 ﹣8，∴BA ′的最小值为 ﹣8，∴△BFA ′的周长的最小值为 ﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，∠A ＝60°，P 是射线 AD 上一点，连接 PB ，沿 PB 将△APB 折叠，得△A 'PB ．当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A ，B 重合的一个动点，将△APF 沿 PF 折叠，得到△A 'PF ，连接 BA '，则△BA 'F 周长的最小值为 ．解：如图，作 BH ⊥AD 于 H ，连接，∴ PB = = = 2 ，由翻折可知：PA ＝PA ′＝6，FA ＝FA ′，∴△BFA ′的周长＝FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝8+BA ′，∴当 BA ′的最小时，△BFA′的周长最小，∵BA ′≥PB ﹣PA ′，∴BA ′≥ 2 ﹣6，∴BA ′的最小值为2 ﹣6，∴△BFA ′的周长的最小值为 8+ 2 ﹣6＝ 2 +2．四、四边形周长最小值问题例 1、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点 E ，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E 右侧）， 且 EF ＝1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 10 ．AMBDCN解：在 AB 上截取 AM ＝EF ，作点 M 关于直线 DC 的对称点 N ，连接 BN 交 CD 于 F ，此时四边形 AEFB的周长最小．四边形 AEFB 的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+ ＝10，PH 2 + BH 2 13 13 13 13 13练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G解：∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点F 关于CD 的对称点F′，连接F′H 交CD 于点G，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD 于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C 四边形．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G 交BC 于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，EF＝E'F，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF 面积＝，∴当x＝1 时，△CEF 面积的最小值．例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．解：（方法一）过点 F 作FM⊥AD 延长线于点M，令EF 与CD 的交点为N 点，如图所示．则CN•ME．∵四边形ABCD 为正方形，四边形BEFG 为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE≌△MEF（ASA）．∴MF＝AE，ME＝AB．∵CD⊥AD，FM⊥AD，∴ND∥FM，∴△EDN∽△EMF，∴．设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝2﹣x，EM＝AB＝2，MF＝AE＝x，∴DN＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤．∴CN＝CD﹣DN≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值CN•ME＝××2＝．（方法二）连接CG，如图所示．在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）．设AE＝x，则BE2＝AB2+AE2＝4+x2，∴S 正方形BEFG＝BE2＝4+x2．∴S△CEF+S BCG＝S 正方形x2，∴S△CEF＝S 正方形x2﹣S△ABE＝2+x2﹣x＝（x﹣1）2+，当x＝1 时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE面积的最大值为.解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．5。
重庆市2018年中考[政治]考试真题与答案解析
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重庆市2018年中考[政治]考试真题与答案解析一、选择题下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。
1．2017年7月7日,世界最长的海底隧道海底隧道贯通,标志着先后经历13年论证、设计、施工的“世纪工程”主体全线贯通。
A．江阴大桥B．杭州湾大桥C．港珠澳大桥D．泉州湾大桥2．2018年1月8日,国家科学技术奖励大会在北京隆重举行。
中国疾病预防控制中心病毒病预防控制所院士获得2017年度国家最高科学技术奖。
A．侯云德B．潘建伟C．郭仲衡D．陈永川3．某餐厅收到了这样一份外卖订单(如右图)。
餐厅店家将订单备注晒到网上，随即引来一片打call声(意为点赞)。
很多网友直呼，已经被这张”暖心备注”暖哭。
对以上材料理解错误的是（）A．店家积极利用网络,传播社会正能量B．网络使生活更加便捷,但有利也有弊C．买家替送餐小哥着想，对他充满尊重与关爱D．网友们为买家打call,是对其与人为善品质的赞扬4．2015年，美团合并大众点评，在团购市场上，再无敌手。
“昨天双方浴血奋战，今天我们握手言欢，明天我们共创未来”，美团创始人王兴如此总结了这场世纪大合并;2016年，美团收购钱袋宝，支付问题彻底得到了解决，拥有了与阿里(支付宝)叫板的底气以及和腾讯(微信)谈判的筹码;2018年，美团入主摩拜单车……对上述材料理解正确的是（）①美团敢于迎接挑战，善于寻找伙伴②美团与大众点评相互依存，互利共赢③美团与阿里“叫板”必然促进自身发展④美团与钱袋宝的合作在一定程度上弥补了自身缺陷，增强了自身实力A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④5．小余在爸爸的律师事务所进行社会实践,下列是他对一些事例的分析，你认为错误的是（）A．向老太在其弟、妹见证下立下遗嘱，在其去世后，将自己所有的财产留给对自己尽瞻养义务的女儿王丽——向老太去世后，王丽可通过遗嘱继承的方式获得母亲的遗产B．胡大妈与邻居廖某在公证处签订了一份遗赠扶养协议，约定廖某照顾胡大妈，胡大妈去世后其房屋归廖某所有——廖某照顾了胡大妈，可依据遗赠扶养协议获得胡大妈的房屋C．卿某未经授权，将从别处购买的电子书籍打印并胶装成册，通过其淘宝网店销售——卿某的行为侵犯了他人的智力成果权D．小佳6岁，父亲因病去世，母亲单独抚养小佳。
2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版 精品
2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1、在-6，0，3，8这四个数中，最小的数是（A）A、-6B、0C、3D、8考点：有理数大小比较．专题：计算题．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可．解答：解：∵8＞3＞0＞-6，∴最小的数是-6．故选A．点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小．2、计算（a3）2的结果是（C）A、aB、a5C、a6D、a9考点：幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）计算即可．解答：解：（a3）2=a3×2=a6．故选C．点评：本题考查了幂的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．3、下列图形中，是中心对称图形的是（B）A、B、C、D、考点：中心对称图形．专题：数形结合．分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B．点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（D）A、60°B、50°C、45°D、40°考点：平行线的性质．分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°-80°-60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．5、下列调查中，适宜采用抽样方式的是（A）A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况考点：全面调查与抽样调查．专题：应用题．分析：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．解答：解：A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查，B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查，C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查，D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查，故选A．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单．6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（B）A、60°B、50°C、40°D、30°考点：圆周角定理．分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．7、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（D）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b 异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c 的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c 的正负．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；又∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴a ，b 异号， ∴b ＞0；又∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，又x=1，对应的函数值在x 轴上方， 即x=1，y=ax 2+bx+c=a+b+c ＞0； 所以A ，B ，C 选项都错，D 选项正确． 故选D ．点评：本题考查了抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）中各系数的作用：a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下；对称轴为x=-，a ，b 同号，对称轴在y 轴的左侧；a ，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），c ＞0，与y 轴正半轴相交；c ＜0，与y 轴负半轴相交；c=0，过原点．8、为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y （公里）与时间x （天）的函数关系的大致图象是（D ）A 、B 、C 、D 、考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．解答：解：∵y随x的增大而减小，∴选项A错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，∴选项B错误；∵施工队随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，∴选项C错误；选项D正确；故选D．点评：本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．9、下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（C）A、55B、42C、41D、29考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑥个图形中平行四边形的个数．解答：解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．故选C．点评：本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．10、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（C）A、1B、2C、3D、4考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题．分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE-S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE= CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴= ，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= = ，∴S△FGC=S△GCE-S△FEC= ×3×4- ×4×（×3）= ≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）11、据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为万．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：数字问题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2880万用科学记数法表示为2.88×103．故答案是：2.88×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC 的面积比为．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案．解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为AD：AB=1：3，∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9．故答案为：1：9．点评：此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似比性质得出面积比是解决问题的关键．13、在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，9，10，11，9．则这组数据的众数是．考点：众数．专题：计算题．分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．解答：解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9；故答案为9．点评：本题为统计题，考查众数定义．如果众数的概念掌握得不好，就会出错．14、在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：根据弧长公式l= 把半径和圆心角代入进行计算即可．解答：解：45°的圆心角所对的弧长= =1．故答案为1．点评：本题考查了弧长公式：l= （n为圆心角的度数，R为半径）．15、有四张正面分别标有数学-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为．考点：概率公式；解分式方程．专题：计算题．分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：解分式方程得：x= ，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．故答案为：．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使分式方程有整数解的情况数是解决本题的关键．16、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．解答：解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用．解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式．二．解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）17、|-3|+（-1）2018×（π-3）0- + ．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：先算出-3的绝对值是3，-1的奇数次方仍然是-1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．解答：解：原式=3+（-1）×1-3+4=3点评：本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算．18、解不等式2x-3＜，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：3（2x-3）＜x+16x-9＜x+15x＜10x＜2∴原不等式的解集为x＜2，在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．19、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定．专题：证明题．分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．解答：证明：∵AF=DC，∴AC=DF，又∵AB=DE，∠A=∠D，∴△ACB≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．点评：本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．20、为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．解答：解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．点评：考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤21、先化简，再求值：，其中x满足x2-x-1=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2-x-1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．解答：解：原式= ×= ×= ，∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，∴= =1．点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．22、如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE= ，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，∵sin∠AOE= ，OA=5，∴sin∠AOE= = = ，∴AD=4，∴DO= =3，而点A在第二象限，∴点A的坐标为（-3，4），将A（-3，4）代入y= ，得m=-12，∴反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入y=- ，得n=-2；将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函数的解析式为y=- x+2；（2）在y=- x+2中，令y=0，即- x+2=0，解得x=3，∴C点坐标为（0，3），即OC=3，∴S△AOC= •AD•OC= •4•3=6．点评：本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．23、为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据留守儿童有4名的占20%，可求得留守儿童的总数，再求得留守儿童是2名的班数；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．解答：解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数为：20-（2+3+4+5+4）=2（个），该校平均每班留守儿童的人数为：=4（名），补图如下：；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：= ．点评：本题是一道统计题，考查了条形统计图和扇形统计图，及树状图的画法，是重点内容，要熟练掌握．24、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD ≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= =2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG= BC= ．答：EG的长是．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用．专题：应用题；分类讨论．分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价-各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价-各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可．解答：解：（1）设y1=kx+b，则，解得，∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）；设y2=ax+b，则，解得，∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；（2）设去年第x月的利润为W万元．1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000-50-30-y1）=-2x2+16x+418=-2（x-4）2+450，∴x=4时，W最大=450万元；10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000-50-30-y2）=（x-29）2，∴x=10时，W最大=361万元；∵450万元＞361万元，∴这个最大利润是450万元；（3）去年12月的销售量为-0.1×12+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．∴5×[1000×（1+a%）-810-60-30]×1.7（1-0.1×a%）=1700，设t=a%，整理得10t2-99t+10=0，解得t= ，∵9401更接近于9409，∴≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，∵1.7（1-0.1×a%）≥1，∴a≈10．答：a的整数解为10．点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的求值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．26、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2 ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论．分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 ，tan∠CFB= ，即tan60= ，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；（2）当0≤t＜1时，S=2 t+4 ；当1≤t＜3时，S=- t2+3 t+ ；当3≤t＜4时，S=-4 t+20 ；当4≤t＜6时，S= t2-12 t+36 ；（3）存在．理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= = ，∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，∴AE=HE=3-t或t-3，1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= AH= ，在Rt△AME中，cos∠MAE═ ，即cos30°= ，∴AE= ，即3-t= 或t-3= ，∴t=3- 或t=3+ ，2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 或t=3+ 或t=2或t=4或t=0．点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．。
重庆市2018中考解答题26题37-72试题集锦
重庆市初2018级中考数学解答题26题试题集锦x+x+xy=xx﹣x+2重庆市初2018级中考数学解答题26题试题集锦xx+3x+x2637．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴，∴，∴C'G=2（1+x），∴O'G=C'G﹣C'O'=2x，∴AG=1+x，同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，解得：x1=，x2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）2638．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）抛物线的对称轴交直线AC于点E，直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PEC面积最大时，线段CE在直线AC上平移，记线段CE平移后为C′E′，求△PC′E′的周长最小值；（3）抛物线的顶点为D，连接AD，将线段AD沿直线AC平移，记线段AD平移后为A′D′，过点D′作x轴的垂线交x轴于点G，当△A′D′G为等腰三角形时，求AA′的长度．解：（1）抛物线y=﹣x2﹣2x+3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式 y=x+3；（2）∵对称轴为x=﹣1，∴E（﹣1，2），设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴S=﹣m2﹣m=﹣（m+）2+，△PEC的有最大值，∴当m=﹣时，S△PEC即：P（﹣，），将线段PC平移，使得C与E重合，得到线段P'E，∴P'（﹣，），P''（﹣，），∴△PC'E'的周长的最小值为PP''+CE=+（3）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3，∴D（﹣1，4），设A'（﹣3+n，n），D'（﹣1+n，4+n），则G（﹣1+n，0），∴AA'=|n|，∴A'D'2=20，A'G2=n2+4，D'G2=n2+8n+16，∵△A′D′G为等腰三角形，①当A'D'=A'G时，∴20=n2+4，∴n=±4，∴AA'=4②当A'D'=D'G时，∴20=n2+8n+16，∴n=±2﹣4，∴AA'=2±4③当D'G=A'G时，∴n2+4=n2+8n+16，∴n=﹣，∴AA'=，即：AA′的长度为4或2或．2639.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B 绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，∵S△ABC=•AB•CO=•BC•AH，∴AH==，∵AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为．（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），S△PBC =S△POB+S△PCO﹣S△BOC=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3=﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN 的值最小．∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，∵BB′⊥BC，∴直线BB′的解析式为y=x﹣6，由，解得，∴K（，﹣），∴直线PK的解析式为y=﹣x+，由，解得，∴M（，），∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，∵MN=，PK==，∴点Q经过的最短路径的长为+．2640. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O 2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，当x=0时，y=，∴C（0，），y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D（﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，∴PO1+B1C=P2B1+B1C，∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C=P2C==，对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）（3）O2M的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H是AB的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B2（﹣2，），①如图4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，过C1作C1E⊥B2C于E，∵B2C=B2C1=2，∴=B2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C 1EC ≌△B 2O 2M ， ∴O 2M=CE=B 2C ﹣B 2E=2﹣；②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=，③如图6，AM=MN ，∵B 2C=B 2C 1=2=B 2H ，即N 和H 、C 1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO 2=30°， ∴O 2M=AO 2=；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， ∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O 3C 1B 2=30°=∠O 3MA ，∴C 1B 2∥AC ，∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°， ∵∠C 1EC=90°， ∴四边形C 1EO 2B 2是矩形， ∴EO 2=C 1B 2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO 2+EM=2+， 综上所述，O 2M 的长是或或2+或2．2641. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=﹣x 2+4x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（1，1）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH+HF+FO 的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到△CF ′H ′，过点F'作CF ′的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意A （1，3），B （3，3）， ∴AB=2．（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴J 交BE 于N ． ∵直线BE 的解析式为y=x ， ∴N （m ，m ），∴S △PEB =×2×（﹣m 2+3m ）=﹣m 2+3m ， ∴当m=时，△PEB 的面积最大，此时P （，），H （，3），∴PH=﹣3=，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG=30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ， ∵FK=OF ，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK ，此时PH+HF+OF 的值最小， ∵•HG •OC=•OG •HK ，∴HK==+，∴PH+HF+OF 的最小值为+．（3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，∴Q （﹣1，3），D （2，4），DQ=，①当DQ 为菱形的边时，S 1（﹣1，3﹣），S 2（﹣1，3+），②当DQ 为对角线时，可得S 3（﹣1，8）， ③当DR 为对角线时，可得S 4（5，3） 综上所述，满足条件的点S 坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．2642．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．（1）求证：点E与点D关于x轴对称；（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．（1）证明：如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4，∴顶点D（，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2，∵△EFB∽△BOC，∴=，∴=，∴EF=4，∴E（，4），∴E、D关于x轴对称．（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．∵yAE=x+2，∴设P（a，a2﹣a﹣3），Q（a，a+2），（0＜a＜3），2643．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x=-x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线AC的解析式；(2)如图2，点E(a，b)是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D(m，n)．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a m+最大时，求点E的坐标，并直接写出23EQ PQ PB++的最小值；(3)如图3，在(2)的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A O M'''，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B的对应点为B'．△A B M'''能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的坐标；若不能，请说明理由．2644．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M 处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．2645.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-3x+4交x 轴于A 、D 两点(点A 在点B 的左例), 交y 轴于点C,顶点为点D,连接BC,作直线AC.(1)求点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)若点P 为BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC 、PB,过P 作PE ⊥y 轴于点E,当△PBC 面积最大时,将△PEC 绕平面内一点逆时针方向旋转90°后得到△111C E P .点P 、E 、C 的对应点分别是点1P 、1E 、1C ,当点C 1C 落在线段AC 上时,连接PP 1,求A C C P PP 111122++的最小值，并求出此时点1C 的坐标；(3)在(2)的条件下,将△111C E P 沿射线AC 以每秒2个单位长度的速度平移,记平移后的△111C E P 为△222C E P 点1P 、1E 、1C 的对应点分别是点2P、2E ,C 2,设平移时间为秒,当△CD P 2为等腰三角形时,求t 的值.2646.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0≠(++=2a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ， AO=CO=4，BO=6，点D 是第四象限抛物线上一点，且点F 的纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式和直线CF 的解析式； (2)如图1，点P 是直线CF 上方抛物线上一点，点E 在直线CF 上，点E 的横坐标为3，当△PCF 的面积最大时,在y 轴有一动点M ，在x 轴有一动点N ，当PM+MN+NE 的值最小时，求出PM+MN+NE 的最小值.(3)如图2，点D 为线段BO 的中点，连接CD ，将CD O ∆绕着点D 顺时针旋转α度得到对应''C DO ∆()0180α︒<<︒.设直线'C D 和直线''C O 分别与直线BC 交于H 、G 两点,当三角形C ′HG 是等腰三角形2647.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2的图像与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点.（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 是抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 与点M ，交AB 于点G （如图1），当QNM ∆的周长最大时，求QNM ∆周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=22（P 在H 的右边），K （2,0），当HK PQ -最大时求点P 的坐标（3）直线AD 与y 轴交于点F ，点E 是点C 关于对称轴的对称点，点P 是线段AE 上的一动点，将AFP ∆沿着FP 所在的直线翻折得到FP A '∆（点A 的对应点为点A '）（如图2），当FP A '∆与AED ∆重叠部分为直角三角形时，求AP 的长.(第26题1) (第26题2) (第26题备用图)2649．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y 轴上的点M 处，再沿MC 以每秒3个单位的速度运动到点C 停止，当点Q 在整个运动中所用时间t 最少时，求点M 的坐标；（3）如图2，将△BOC 沿直线BC 平移，平移后B ，O ，C 三点的对应点分别是B ′，O ′，C ′，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，O ′，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S 的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x 2﹣x ﹣2=0，解这个方程，得：x 1=﹣6，x 2=﹣1，∴点A （﹣6，0），B （﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG ，同理得：△ASH ≌△O'CG ，∴AH=O'G ，SH=CG ，sin ∠GCB'==，设GB'=x ，则CB'=3x ，CG=2x ， ∴O'G=1+x ，由勾股定理得：AC 2=O'C 2，∴62+（2）2=（2x ）2+（x+1）2 解得：x=， 当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=， 当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S 的坐标为：（，）；③如图5，AC 为对角线时，同理可得S （，） ④如图6，过S 作SE ⊥x 轴于E ，延长B'O'交y 轴于H ，延长O'C'交x 轴于G ， 设GB'=x ，则CB'=3x ，CG=2x ，∴O'G=O'H=1+x ，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS ，易得△SEA ≌△CHO'，同理可得S （，）； ⑤如图7，过S 作SH ⊥x 轴于H ，过O'作O'E ⊥SH 于E ，延长C'O'交x 轴于G ，设OG=x ，则BG=1+x ，∵O'B'∥BG ， ∴， ∴，∴C'G=2（1+x ），∴O'G=C'G ﹣C'O'=2x ， ∴AG=1+x ，同理得：62+（2）2=（1+x ）2+（2x ）2， 解得：x 1=，x 2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）。
2018年重庆市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前重庆市2018年初中学业水平暨高中招生考试（A 卷）数学 ............................................... 1 重庆市2018年初中学业水平暨高中招生考试（A 卷）数学答案解析 . (5)重庆市2018年初中学业水平暨高中招生考试（A 卷）数学(本试卷满分150分,考试时间120分钟)参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =-. 第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2的相反数是( )A .2-B .12-C .12D .2 2.下列图形中一定是轴对称图形的是( )ABCD3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是 ( )A .企业男员工B .企业年满50岁及以上的员工C .用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工D .企业新进员工4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )A .12B .14C .16D .185.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( )A .3 cmB .4 cmC .4.5 cmD .5 cm 6.下列命题正确的是( )A .平行四边形的对角线互相垂直平分B .矩形的对角线互相垂直平分C .菱形的对角线互相平分且相等D .正方形的对角线互相垂直平分 7.估计124)6的值应在 ( )A .1和2之间B .2和3之间C .3和4之间D .4和5之间 8.按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是( )A .33x y ==，B .42x y =-=-，C .24x y ==，D .42xy==，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）9.如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为 ( )A .4B .23 C .3D .2.510.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角58AED ∠=，升旗台底部到教学楼底部的距离7DE =米，升旗台坡面CD 的坡度1:0.75i =，坡长2CD =米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离1BC =米，则旗杆AB 的高度约为( )（参考数据：sin580.85cos580.53tan58 1.6≈，≈，≈） A .12.6米B .13.1米C .14.7米D .16.3米11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点，A ，B在反比例函数(00)ky k x x=＞，＞的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x ∥轴.若菱形ABCD 的面积为452，则k 的值为( ) A .54B .154C .4D .5 12.若数a 使关于x 的不等式组11,2352x xx x a-+⎧⎪⎨⎪-+⎩＜≥有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y ++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ( ) A .3-B .2-C .1D .2第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在题中的横线上) 13.计算：0|2|(π3)-+-= .14.如图，在矩形ABCD 中，32AB AD ==，，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.15.春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为 .16.如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，得到30AGE ∠=，若23AE EG ==厘米，则ABC △的边BC 的长为 厘米.17.A ，B 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶.甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B 地.甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车行驶时间x （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B 地还有 千米.数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）18.为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A ，B ，C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 .100%-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价 三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分8分)如图，直线AB CD ∥，BC 平分ABD ∠，154∠=，求2∠的度数.20.(本小题满分8分)某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请将条形统计图补全； （2）获得一等奖的同学中有14来自七年级，有14来自八年级，其他同学均来自九年级.现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率. 21.(本小题满分10分，每题5分) 计算：（1）(2)()()a a b a b a b +-+-；（2）22442.33x x x x x x +-+++÷--（）22.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5)A m ，且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
2018年重庆市中考数学试卷-答案
2018年重庆市中考数学试卷-答案重庆市2018年初中学业⽔平暨⾼中招⽣考试（A 卷）数学答案解析第Ⅰ卷⼀、选择题 1．【答案】A【解析】根据题意，2(2)0+-=，∴2的相反数是-2，故选A. 【考点】相反数的概念. 2．【答案】D【解析】A 中的直⾓三⾓形不是轴对称图形；B 中的直⾓梯形不是轴对称图形；C 中的平⾏四边形是中⼼对称图形，不是轴对称图形；D 中的矩形是轴对称图形，故选D.【提⽰】判断⼀个图形是不是轴对称图形，要将这个图形沿某条直线对折，对折的两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，常见的轴对称图形有线段、⾓、等腰三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、圆、正多边形等。
【考点】轴对称图形的概念. 3．【答案】C【解析】根据题意，采取随机抽取的⽅法进⾏调查⽐较全⾯，结果也会⽐较真实有效，故选C. 【提⽰】选择抽取样本的恰当的⽅法是解答本题的关键. 【考点】调查中的样本选择. 4．【答案】C【解析】由题可知，每增加⼀个图案则增加2个三⾓形，∴第○n 个图案中有42(1)n +-个三⾓形，∴第⑦个图案中有16个三⾓形，故选C. 【考点】探索规律. 5．【答案】C【解析】根据题意可知两个三⾓形相似，设最长边为x cm ，则592.5x=，解得 4.5x =，即这个三⾓形的最长边为4.5 cm ，故选C .【提⽰】理解相似三⾓形的性质是解答本题的关键. 【考点】相似三⾓形的性质． 6．【答案】D【解析】平⾏四边形的对⾓线互相平分⽽不垂直，∴命题A 不正确；矩形的对⾓线相等且互相平分⽽不垂直，∴命题B 不正确；菱形的对⾓线互相垂直平分⽽不相等，∴命题C 不正确；正⽅形的对⾓线互相垂直平分且相等，∴命题D 正确，故选D.【提⽰】掌握特殊四边形的对⾓线的性质是解答本题的关键. 【考点】命题的判断． 7．【答案】B【解析】24255223==<∴<<，，，即在2和3之间，故选B .【考点】⼆次根式的运算、估算⽆理数. 8．【答案】C【解析】根据题意，当输⼊33x y ==，时，2021512y x y ∴+=≥，≠；当输⼊42x y =-=-，时，20,22012y x y ∴-=＜≠；当输⼊24x y ==，时，20,212y x y ∴+=≥；当输⼊42x y ==，时，20,22012y x y ∴+=≥≠，故选C.【提⽰】根据y 的范围分情况求值是解答本题的关键。