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矩阵范数计算
矩阵范数计算
矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念，用于衡量矩阵的大小和形状。
它在多个领域中都有广泛的应用，如线性代数、数值分析、控制理论等。
矩阵范数有多种定义方式，每种方式都有其独特的性质和应用场景。
一种常见的矩阵范数是谱范数，它等于矩阵的最大奇异值。
谱范数在矩阵的稳定性分析和控制系统设计中起着重要作用，能够帮助我们评估系统的稳定性和性能。
另一种常用的矩阵范数是弗罗贝尼乌斯范数，它等于矩阵所有元素的平方和的平方根。
弗罗贝尼乌斯范数常用于衡量矩阵之间的距离和相似度。
除了谱范数和弗罗贝尼乌斯范数外，还有一些其他常用的矩阵范数，如1-范数、∞-范数等。
不同的矩阵范数对矩阵的特征有不同的描述，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在实际应用中，我们通常根据具体的问题和需求选择合适的矩阵范数来进行分析和计算。
矩阵范数的计算方法也多种多样，可以通过奇异值分解、特征分解等方式来求解不同范数下的矩阵值。
在数值计算中，我们通常会利用计算机算法来快速、准确地计算矩阵范数，以解决实际问题和优化算法性能。
总的来说，矩阵范数是矩阵理论中的重要内容，具有广泛的应用价值和理论意义。
通过深入理解矩阵范数的定义、性质和计算方法，
我们可以更好地应用矩阵理论于实际问题中，为科学研究和工程技术提供有力支撑。
希望通过本文的介绍，读者能对矩阵范数有更深入的了解，进一步拓展对矩阵理论的认识和应用。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （1.1）在2l -范数意义下，12211||||||mnF iji j A a ==⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m nA B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
矩阵的范数
矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。
三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。
矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。
一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。
诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。
当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。
矩阵范数标准详解
《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一． 矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （）在2l -范数意义下，12211||||||mnF ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m nA B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（）和（）定义的矩阵范数是否合法我们这里只考虑（）,把较容易的（）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的奇异值：
设A为复数域内m*n阶矩阵，A*表⽰A的共轭转置矩阵，A*·A的n个⾮负特征值的算术平⽅根（即A*·A的开根号值）叫作矩阵A的奇异值。
记为σi(A)。
如果把A*·A的特征值记为λi(A*·A)，则σi(A)=sqrt(λi(A*·A))。
或者说矩阵A的奇异值是A*·A 的特征值的平⽅根。
任意矩阵都有奇异值。
对于⼀般的⽅阵来说，其奇异值与是没有关系的。
奇异值的数⽬是矩阵的最⼩的维数。
当A是⽅阵时，其奇异值的⼏何意义是：若X是n维单位球⾯上的⼀点，则Ax是⼀个n维椭球⾯上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。
简单地说，在⼆维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。
如果取维空间的单位球，⽤ × 矩阵乘其中对于每个点的向量，这将得到维空间的椭球体. 的奇异值给出椭球体主轴的长度.
矩阵的2-范数 Norm 是椭球体的最⼤的主轴，等于矩阵最⼤的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量，的最⼤的2-范数长度.。
矩阵范数详解
《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一． 矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换)，所以,直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下,111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =; （1.1)在2l -范数意义下,12211||||||mnF ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑,(1.2)注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”,这样一个矩阵范数,称为Fro ｂe ｎius 范数,或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈,对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件:（1）非负性:||||0A ≥;(１a )正定性:||||0m nA O A ⨯=⇔=(2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈;(3)三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l CC C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•,有（4)（矩阵相乘的)相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（１．1）和（1．2)定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1．2),把较容易的（1.1）的验证留给同学们,三角不等式的验证。
矩阵范数的表示形式
矩阵范数的表示形式矩阵范数是一种衡量矩阵性质的数学工具，它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
在本文中，我们将介绍矩阵范数的表示形式，并探讨其在实际问题中的应用。
我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负的实数。
矩阵范数满足以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，矩阵范数的值必须大于等于0。
2. 齐次性：对于任意矩阵A和标量c，矩阵范数满足∥cA∥=|c|∥A∥。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，矩阵范数满足∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥。
常见的矩阵范数有多种表示形式，每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。
下面我们将介绍其中几种常见的矩阵范数表示形式。
1. 1-范数（L1范数）：矩阵的1-范数是矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，表示为∥A∥1=max_{1≤j≤n}∑_{i=1}^{m}|a_{ij}|。
2. ∞-范数（L∞范数）：矩阵的∞-范数是矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值，表示为∥A∥∞=max_{1≤i≤m}∑_{j=1}^{n}|a_{ij}|。
3. 2-范数（L2范数）：矩阵的2-范数是矩阵的最大奇异值，表示为∥A∥2=σ_{max}，其中σ_{max}是矩阵A的最大奇异值。
这些矩阵范数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在机器学习领域，矩阵范数可以用来度量特征向量的稀疏性。
对于稀疏矩阵，其1-范数或∞-范数较小；而对于稠密矩阵，其2-范数较大。
矩阵范数还可以用于解决优化问题。
例如，在凸优化中，矩阵范数可以用来定义约束条件或目标函数，从而帮助我们找到最优解。
在信号处理中，矩阵范数可以用来估计信号的噪声水平或信号的复杂度。
除了上述常见的矩阵范数表示形式，还有其他一些矩阵范数，如Frobenius范数、核范数等。
每种范数都有其独特的性质和应用场景。
因此，在实际问题中，我们需要根据具体的需求选择合适的矩阵范数。
矩阵范数是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
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《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一.矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵A C m n可以视为一个mn维的向量(采用所谓“拉直”的变换)，所以，直观上可用C mn上的向量范数来作为A C m n的矩阵范数。
比如m n 1在∣1 -范数意义下，IIAl1 ；二Ia ijI= tr(A H A) 2; (1.1 )1Zl mn A2在I2-范数意义下，∣∣A∣∣F=∑∑同|2，(1.2)Iy j A J注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB的“大小”相对于A与B的“大小”关系。
定义1设A C mn,对每一个A ,如果对应着一个实函数N(A),记为IlAll ,它满足以下条件：(1)非负性：|| A||_0 ;(1 a)正定性：A=O mn= IIAII= 0(2)齐次性：||〉A||=| |||A||, • C ;(3)三角不等式:||A||A B||—||A|| ||B||, -B C m n则称N(A)=|| A||为A的广义矩阵范数。
进一步，若对C m n,C n 1C m l上的同类广义矩阵范数|| || ,有(4)(矩阵相乘的)相容性:|| A || AB ||_|| A|||| B ||, B C n I , 则称N(A) =||A||为A的矩阵范数。
我们现在来验证前面(1.1 )和(1.2 )定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑(1.2 ),把较容易的(1.1 )的验证留给同学们，三角不等式的验证。
按列分块，记A=√a1,a2,…,a n), B=√b1,b2,…,b n)。
||A BII F=Ig bj,® b2), ,(a. b n)||F*1 UII2 IIa2 b2||2 Ha n g ||2(IIa1II2 +IIdIb ) +…+(IIa n Ib +||b n ||2)2 2 兰二険||2 IIa n II；2 || q II2II d ||2 …IIa n II2II b n ||2 IIdII2IIb n II2对上式中第2个括号内的诸项，应用CaUChy不等式，则有IIA + BIIF≤IIAII F +2||A||F||B||F +IIBII2=(IIAI F +IIBII F)2(1.3 )于是，两边开方，即得三角不等式。
再验证矩阵乘法相容性。
虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。
由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。
为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够 的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。
当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。
不过这样做的工作量太大，也很盲目。
第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中， 所以在考虑构造矩阵 范数时，应该使它与向量范数相容。
比如要考虑 AX 的“大小”，AX 是一个向量，但它由 A与X 相乘而得的，它与 A 的“大小”和X 的“大小”的关系如何？这提出了两类范数相容的概念。
定义2对于C mn 上的矩阵范数∣∣∙∣∣M 和C m ,C n 上的同类向量范数∣∣∙∣V ,如果成立 IIAx II V ≤ll A ∣∣M Il X I V , ^A C mn,-x C n（ 1.5）则称矩阵范数Il *∣∣M 与向量范数II-I V 是相容的。
1'm nX 2 1例1. 1可以证明∣∣A ∣∣F = ∑∑ Ia ij I 2=（tr （A HA ）F 是与向量范数IW 相容。
Iimg丿事实上，在（1。
2）中，取B =X ∙ C n1 ,那么∣∣A X ∣∣2 =II AB ∣∣√≤∣∣ AII F II B ∣∣F =∣∣A ∣∣F ∣∣X ∣∣2二.矩阵算子范数现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容, 当然，它也满足定义 1规定的4个条件。
定义3设C m ,C n 上的同类向量范数为∣∣∙∣∣V ,A C mn ,定义在C m n 空间上的矩阵A 的由向量范数∣∣∙∣V 诱导给出的矩阵范数为m l 12一一2m IFnIlABI A∑∑ Σ a k bj ≤∑∑ ∣∑Ia ii 4 j 4 k z 1i 4 j ⊂1 Jk 二IikIlb ki Im l n：工二二 Iai 4 j 4m n 2= ∖ ∑∑ I ak Ii 4 k 4可见，矩阵相容性满足。
ik 4I 2'n Ib sj l 2.s4（这一步用了 CaUChy 不等式）∑∑ Ib sj I 2H ∣A ∣2∣∣B ∣∣F(1.4 )这样就完成了对矩阵 F-范数的验证。
是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可 以了吗？ No!运用L 一-范数于矩阵范数时便出了问题。
如果数在下面一个例子上就行不通。
设A=-范数的定义，I ∣A ∣∣j 1, ∣∣A ∣∣A ∣"1,2・・ ・・■ ■・・ ・・■・・1仃IIA 2Il A I U=: max Ia ij I ,那么，这样的矩阵范2=2A 。
因此，按上述矩阵∞ 2曰'2,2 II ： ：= 2，于是2 咄 A 2IQIIA A Il 上Il All 』A ∣Q1但这是矛盾的。
所以 简单地将L.-范数运用于矩阵范数，是不可行的。
I∣A∣V=max共Il AXI VIlX I L(2.1 )可以验证，这样定义出的矩阵范数IlAl V 满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数 与向量范数相容性要求（定义2）。
由于有什么样的向量范数IIJ V ，就有什么样的矩阵范数， 所以，这样的矩阵范数称为由向量范数诱导出的，简称诱导范数；又因为（2.1 ）实际上规定了一个函数（或算子），故又称为 算子范数。
（2.1 ）给定的范数实际是寻求一个最优化问题的最优值，求目标函数山AX 也的最大Xll v值，约束条件是x = 0，也就在C n 空间中除原点外的点中”个n 维向量X ,使I LA X i V VX上面第3个等号成立是因为向量Z为一个单位向量。
xI V下面我们从理论上证明这样的矩阵范数 IIAI V 满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数与向量范数相容性要求。
定理2。
1由（2.1 ）或（2.2 ）给定的C m 浦上的矩阵范数满足矩阵范数定义1的4个条件，且与相应的向量范数相容。
证明：首先，矩阵范数与向量范数的相容性是不难证明的，事实上，对IIxI V =1,II A I V II XI V HI AI V = max IIAz I V -II Axh ,因此，矩阵范数与向量范数的相容性条件IIzIV T（1.5 ）成立。
我们下面来验证（2.1 ）或（2.2 ）满足矩阵范数的4个条件。
这4个条件中，前2个也 容易验证，因此这里只来考察第 3,4个条件。
三角不等式的验证：对于任一 ^C mnIIA BII = maxII （A B ）XI^max II Ax BxIkmax IIAII II BIIII 刈#IIxIUIIxIIT=max II AxII max IIBx I^II AII IIBII IIxII 1II 刈 T1矩阵相乘相容性的验证：由（1.5 ），不难有IIABxI V 勻IAI V IIBxI VW IAIbIIBIbIIxI V当 X=O 时，II A B X IV 判AII V IIB I VIIxI V所以 Il AB Il v = ma 0x ll AB X IV 引 A ∣V I ∣B I VX R||x|V至此，证实了用算子范数确能给出满足矩阵范数定义和矩阵范数与向量范数的相容性 的矩阵范数。
取得最大值。
如果直接考虑这样一个优化问题 方式定义，使问题的处理简单。
IIAII v =max X=0 IIAxI VIIxII v max I I X V TIIAxI VI IxI V,还是有困难的.可以证明，它可以下列等价 弋鴛宀儿 （2.2）事实上，分母上的IIxII V是一个正数（XHO ）, 那么根据向量范数的齐次性有 max≡V=max X=0IIxIL X=0IIxI V 1AX=max AF X [I ∣x ∣V X 式 VJIXI V J^maxV=mαx ∣Aχ∣VV推论1对于C nn 上的任一种向量诱导范数，都有 Illll =max Il Ix 11=1(2。
3)Il 刈 1 1但是要注意的是，对一般的矩阵范数，对任一向量X 三C n,有I ∣X ∣I=II ∣X ∣凶l ∣ llllxll故有Il I ll_1。
比如，IIAI F 不是诱导矩阵范数，所以 Ill Ik-I 。
几个常用的诱导矩阵范数上面的论述表明，诱导矩阵范数与向量范数密切相关，有何种向量范数，就有什么样的诱导矩阵范数。
下面就来具体地构造几个常用的诱导矩阵范数。
设 A C mn。
mnm nn/ mΛ∣∣A X ∣为 a ij X j ≤Σ Σ Ia Iij IlX j ∣=∑ ∣X j I ∣∑ Ia j |id ： j 壬y j Λ j I i mJn≤ max I a j I 'T X jI m .max Ia j Ij =1mA I L = max I I AX I 1 込 max' Ia j1 I I X I l 1吕1 j i J另一方面，选取k ,使得m7 l4k I = max'，Ia j Ii dj i =1令 X o 为第 k 的单位向量 e 1. =(0,…0,1,0,…，0)T ,那么 Ax^a^(a 1k ,a 2k/ ,a r υk )τmmI IAI =n n ax I IAxIg AX 011 =迟 la jk l = max∑ & I (++)Xl 1 =1i =Ij y综合(+)与(++)可知，由向量l 1-范数诱导出的矩阵范数既是 I IAI 1的上界，又是其下界，因此必有(3.1).例3.2 设A ^C m "n ,矩阵谱范数由l 2-范数诱导得出的矩阵范数，定义为Il A Il 2= max ｛丸 I 扎是 A HA 的特征值｝ = Jh maX (A H A) =σ1(3.2) 其中S 为A 的最大奇异值，当时，l IAI 〔2= J 扎max (A T A)(3.3)证明：首先由线性代数，A H A 是半正定矩阵，事实上，对任一 C n ,有(x, A HAX)= X HA HAX = (AX)H(AX) =∣∣A X ∣∣-0因此，A A 的特征值都为非负实数，记为 2 V ≥ ⅛ ≥ 0 ,而且A A 具有n 个相互 正交的,∣2-范数等于例3. 1设A C m n ,由向量h-范数诱导而来的mIIAI^nτj ax∑ 冋 I1沁V证明：按列分块，记A = (a ∣,a 2,…,a n ),则由(Il Alh = max I Ia j Il1 g 鱼最大列和诱导矩阵范数3.1 )和向量I i -范数的定义可知(3.1)(+)1(即标准化了的)特征向量X(I),x⑵,…,x(n),它们分别对应于特征值'1 _ '2〉■：「n _0。