【课件-高等数学】_第四章 一元函数的积分及其应用_3
一元函数积分学及其应用.ppt
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第四章 第4讲 定积分及其应用举例
2．定积分在几何中的应用：被积函数为 y＝f(x)，由曲线 y＝ f(x)与直线 x＝a，x＝b(a<b)和 y＝0 所围成的曲边梯形的面积为 S. (1)当 f(x)>0 时，S＝ f (x)dx.
a b
(2)当 f(x)<0 时，S＝－ f (x)dx.
b
(3)当 x∈[a，c]时， f(x)>0；当 x∈[c，b]时，f(x)<0， 则 S＝ f (x)dx－ f (x)dx.
y＝kx， 则由 2 y＝x －4x， x＝0， 得 y＝0 x＝k＋4， 或 y＝kk＋4.
(1)当 k＋4>0，即 k>－4 时， 面积 S＝ ＝
k 4 0
( kx－x2＋4x)dx
1 2 1 3 2k＋4 kx － x ＋2x 0 3 2
1
a
5．汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 6.5 至第2 s间的1 s内经过的路程是______ m.
考点1 定积分的计算
例 1：①(2011 年福建) A．1
1
(e x ＋2x)dx 等于( C ) 0
1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析： (e x +2x)dx=(ex+x2)
0
π·32 9 9－x2dx＝ 4 ＝4π，选 C.
③
2
1
5 2 |1－x|dx＝____.
2 1 2
解析： |1－x|dx＝ ( 1－x)dx＋ ( x－1)dx
1 1 1
1 21 ＝x －2x －1＋ 3 5 ＝2－0＋2－1＝2.
1 2 2 x －x1 2
《高等数学》第四版课件-学习指导与习题解析
了解常见无穷级数的性质与求和方法，
如几何级数与幂级数。
3
级数应用
探索级数在实际问题中的应用，如泰勒 级数展开与函数逼近。
常微分方程
一阶常微分方程
研究一阶常微分方程的解法与存在唯一性，探索微 分方程在实际问题中的应用。
二阶常系数齐次线性微分方程
学习二阶常系数齐次线性微分方程的解法，包括特 征方程与特解构造。
微积分学基本定理
不定积分 定积分 牛顿-莱布尼茨公式
计算函数的不定积分，包括常用的积分表达式。
介绍定积分的概念与性质，以及计算定积分的方 法。
理解牛顿-莱布尼茨公式的意义与应用，掌握计算 不定积分与定积分的关系。
无穷级数
1
级数收敛性
学习级数的概念与收敛性判定方法，如
常见级数
2
比较判别法与根值判别法。
《高等数学》第四版课件 -学习指导与习题解析
这份课件旨在通过学习指导与习题解析帮助读者理解和掌握《高等数学》第 四版的重要内容。从数学分析基础到线性变换，让我们一起探索数学的奥妙！
数学分析基础
1
实数与函数
介绍实数与函数的概念，探索数轴与集合等基础知识。
2
极限
学习Epsilon-Delta定义与极限的计算方法与性质。
2 基与维数
了解线性空间的基与维数， 及其在矩阵和向量空间中的 应用。
3 线性变换
研究线性变换的定义与性质，包括线性变换的判断与矩阵表示。
矩阵与行列式
矩阵运算
掌握矩阵的加法、乘法及其性质，了解矩阵的转置 与对角化。
行列式
学习行列式的计算方法，如拉普拉斯展开和性质运 算。
向量分析与曲面积分
1
向量的概念与运算
第四章 积分及其应用部分考研真题及解答
第四章 积分及其应用 4.1不定积分的概念01.34)设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足1130(1)(),(1).x f kxe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1),ξ∈使得1()2(1)().f f ξξξ-'=-（积分中值定理+辅助函数()()x F x xe f x -=）.4.2不定积分的计算02.4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()x f x dx '=⎰22ln ln x x C -+01.1)求2arctan xxe dx e⎰（分部积分+裂项） 01.2)求03.2) 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt ⎰--=tdt e t e t e tt t sin sin cos ⎰-+-，故.)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e tt +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++- 06.2) arcsin xxe dx e ⎰求 解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰09.23)计算不定积分ln(1(0)x +>⎰t =得22212,1(1)tdtx dx t t -==-- 原式2222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)t t dt t d t t t --=+=+---⎰⎰ 2221ln(1)11ln(1)().1111t t d dt t t t t +=+=----+⎰⎰ 222ln(1)111ln(1)111()ln 14(1)4(1)2(1)1412(1)t t t dt C t t t t t t t +--++=-++=+-+--++--+⎰1ln(14x C =++-+11ln(122x C =+++-+ 09.农)不定积分2,,2t x t dx tdt === 原式2ln(2)ln(2).222ln(2)ln(2)22t t tdt dt t d t t t t ++===++++⎰⎰⎰2ln (2)t c =++2ln (2c =+4.3定积分的概念与性质 04.2) 22lim ln (1)n n→∞+[]B（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰02.2) 1lim1cosn n→∞++=提示：利用定积分定义+降幂公式07.1234)连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是 （ C ）(A ) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F .03.2) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则 [ B ](A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >>06.4) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)c ∈（ D ） （A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()cc f t dt g t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10.123)（I ）比较[]10|ln |ln(1)nt t dt +⎰与10|ln |ntt dt ⎰（1,2,n =）的大小，说明理由. （辅助函数求导法证明ln(1)(01)t t t +<≤≤） （II ）记[]1|ln |ln(1)nn t t dt μ=+⎰（1,2,n =），求极限lim n n μ→∞. （利用前问结果+夹逼定理）4.4微积分学基本定理01.34)设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内（ D ）（A ）无界 （B ）递减 （C ）不连续 （D ）连续04.4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]06.2) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数02.24)设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 （ D ） （A ）20()xf t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]xt f t f t dt --⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt +-⎰注：0()()xF x f t dt =⎰与()f x 奇偶性相反05.12)设F (x )是连续函数f (x )的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 [ A ](A ) F (x )是偶函数⇔f (x )是奇函数. (B) F (x )是奇函数⇔f (x )是偶函数.(C) F (x )是周期函数⇔f (x )是周期函数. (D) F (x )是单调函数⇔f (x )是单调函数. 04.12)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 [ B ] (A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 08.1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为 （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）308.3) 设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （ B ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.09.123) 设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（ D ）(考点：函数与其导函数之间的关系，定积分的几何意义。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
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例 5． 041 x x dx.
13
解. 令 x t2 (t 0) ，则dx 2tdt. 当 x 0时，t 0；当 x 4时，
t 2.
041
x
x
dx
0212t 2tdt
022(t
1 1 1
)dt t
[t2 2t 2ln1 t ]02 2ln 3.
例 6. 0a a2 x2 dx. 解. 令 x asin t ，则dx acostdt.
解. 04 (tan2 x cos x)dx 04 (sec2 x 1 cos x)dx
[tan x x sin x]04 (1
2) .
24
例4. 计算y sin x 在[ 0, ]上与 x 轴所围成平面图形的面积.
解.
A
0
sin
xdx
cos
x
0
2
y y sin x
.
o
x
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F (x) (x) +C.
因为 (x) ax f (t)dt 所以
(a) aa f (x)dx 0,
又因 F(x) (x) +C 所以
(b) ab f (x)dx
C F(a) (a) F(a)
故 ab f (x)dx (b) F (b) C F (b) F (a).
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4
一、微积分基本公式
1. 变上限函数
定义 1. 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]任意一个 子区间[a, x]上可积，则
(x) ax f (t)dx
( a x b)
是上限变量 x的函数，称此函数为积分上限函数(function as upper limit of integration)，也称为变上限函数.
积分上限函数 (x) ax f (t)dt 的增量为：
(x) (x x) (x)
=
x4x
a
f (t)dt
ax f (t)dt
=
x4x
x
f
(t)dt
f ( )x
(
在
x与x之间).
因此得到
(x) f ( )
x
当 x 0 时，有
(x) f ( ) f (x)
x
所以
(x) f (x)
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补例1. 求
解: 原式 lim ecos2 x (sin x) 1
x0
2x
2e
补例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
8
0 0
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
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9
2. 微积分基本公式
定理 2. 如果 f (x)在区间[a,b]连续，F (x) 是 f (x)在区间[a,b]]上 的一个原函数，则
ab f (x)dx F (b) F (a)
证明 因 F (x) 与 (x) 均是 f (x) 原函数，故
12
1. 定积分的换元积分法
定理 3.假设函数 f (x)在[a,b]上连续，函数 x (t) 满足条件：
(1) ( ) a，( ) b;
(2)(t) 在[, ](或[ , ])上具有连续导数，且其值不越出
[a,b]
则有
ab f (x)dx f (t)(t)dt
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第四章 一元函数的积分 及其应用
第一节 不定积分 第二节 定积分概念 第三节 微积分基本公式 第四节 定积分的应用
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2020年8月11日星期二
2
第三节 微积分基本公式
一、微积分基本公式 二、定积分的换元法和分部积 分法
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5
定理 1. 如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数
在[a,b]上可导，且
(x) ax f (t)dt(x)d dx来自xaf
(t)dt
f
(x)
证明 对于 x (a,b) 且获得了增量 x时( x x [a,b] )，
当 x 0时，t 0；当 x a时，t .
2
0a
a2
x2 dx
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3
第三节 微积分基本公式
不定积分和定积分是作为两个概念分别引进的，表面 上看关系不大，但是从作直线运动物体的速度v(t) 和位 置S(t)函数的关系，即S(b) S(a) abv(t)dt ，可以看出原 函数和定积分关系. 牛顿正是从研究运动学问题发现这 一规律后，建立了微积分基本公式.
7
例2. 求极限
lim
x0
x2
0
t
3 2
dt
0xt(t sin t)dt
解.
lim
x0
x2
0
t
3 2
dt
0xt(t sin t)dt
lim
x0
(
x2
0
t
3 2
dt)
(0xt(t sin t)dt)
3
2
lim (x )2 2x lim
2x3
lim
6x2
12.
x0 x(x sin x) x0 x sin x x0 1 cos x
10
为方便起见，写成
ab
f
(
x)dx
[
F
(
x)
]
b a
=
F
(b)
F
(a)
.
上述公式称作微积分基本公式. 微积分基本公式把定积分 与不定积分联系在一起，该公式在微积分学上具有重要的意 义.
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11
例3. 计算 04 (tan2 x cos x)dx
6
由定理
1
可得出结论,
变上限函数
(
x)
x
a
f
(t)dt
是被积函数 f (x)的一个原函数. 因此,若 f (x)是连续函数,
则它具有原函数, 这是不定积分部分给出的一个结论.
此外定理 1 还提示, 积分变上限函数的导数就是 被积函数, 因此可以讨论积分上限函数的与导数相关的 问题.
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics