公式法与根的判别式
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11
21
x1 2 11, x2 2 11
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
方程无实数根
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
21.2.2公式法一元二次方程根的判别式(教案)
（3）Δ<0，方程没有实数根。
本节课将结合教材内容，引导学生理解并掌握一元二次方程根的判别式的计算与应用，为解决实际问题奠定基础。
二、核心素养目标
《21.2.2公式法一元二次方程根的判别式》：本节课核心素养目标如下：
1.培养学生逻辑推理能力：通过判别式的推导与应用，使学生理解一元二次方程根的性质，提高逻辑推理能力；
c.应用判别式解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
2.教学难点
本节课的难点内容பைடு நூலகம்下：
a.判别式的推导过程：学生需要理解判别式的来源，掌握推导过程；
-突破方法：采用图示、动画等辅助教学手段，让学生直观地理解判别式的推导过程。
b.判别式的计算方法：学生在计算过程中容易出错，特别是符号、平方等运算；
-突破方法：通过典型例题，强调计算过程中的注意事项，培养学生细心、严谨的运算习惯。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和判别式的计算方法这两个重点。对于难点部分，如判别式的推导和与方程根的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根的判别式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过计算不同判别式值对应的方程根，演示判别式的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
根的判别式
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
一元二次方程根的 判别式
• • • • • • • •
用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的 根的情况可由 b2－4ac 来判定： 当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac ＜ 0 时，方程没有实数根。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0） 的根的判别式。用符号“ ”表示，即
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
）
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
2 （1） 2 x 5x 7 0 ；
2 （2） 3 x x 0 ；
2 （3） x 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步根据△的正负写 结论。
公式法解一元二次方程(根的判别式).
2
ax bx c 0(a 0)中
2
例3.K为何值时，关于X的 方程X2-4X+K+1=0 有两个实数根？
解：△=（-4）2-4（k+1) =16-4k-4 = 12-4k ∵原方程有两个实数根 ∴△≥0 即：12-4k≥0 ∴k≤3时，原方程有两个实数根。
课时训练
4.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则 k的范围 k≤1/4 是__________. 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 (A ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
2 2
m 2且m 1
试一试：
1.已知关于X的一元二次方程
2
kx (2k 1) x k 0
当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根? 2.已知关于X的方程 kx2 (2k 1) x k 0 当K取什么值时,方程有实数根?
课时x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公式法与根的判别式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时
课题 求根公式与根的判别式
教学目标：
1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.
2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.
3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.
教学重点：
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点：
1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.
2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）
的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a
b x -=，那么对于一元二次方程02=++
c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
解： c bx ax -=+2 移常数项 a
c x a b x -=+
2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a
ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式
注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进行讨论
因为2040a a ≠>所以
（1）当2
40b ac -≥时，22404b ac a -≥。
利用开平方法，得2b x a +=则2b x a =-±
所以2b x a
-=， （2）当2
40b ac -<时，22404b ac a -<。
在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2
2244)2(a ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：
x =（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.
问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何
2、如何用求根公式求一元二次方程的根
解答：
1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-
==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果
042≥-ac b ，那么可代入公式求出方程的根，如果042<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.
二、根的判别式：
利用求根公式2b x a
-=，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.
（1）当2
40b ac ->时，方程的根是1222b b x x a a -+-==. （2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a
==-
. （3）当240b ac -<时，方程没有实数根. 提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况
1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，
当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；
当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
当△=240b ac -<时，方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
（1）25610x x ++= （221)(2)1x x x -=-+
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。
例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）223x +=.
例3、关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗为什么
三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）
当一元二次方程有实数解12x x ==
12b x x a
+==-
12c x x a
⋅== 例4：已知12,x x 是一元二次方程22370x x --=的两个根，求2212x x +的值。
四、与根的判别式相关的证明题：
例5：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程
222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根。
巩固练习
一、填空题：
1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式 ，接着确定 的值，然后求出 ，最后代入 。
2、方程2523x x +=中，24b ac -= 。
3、若代数式2425x x --与221x +的值互为相反数，则x 的值为 。
4、当x= 时，既是最简根式又是同类二次根式。
5、一元二次方程2320x -+=的根的判别式的值等于 。
6、不解方程，判定方程2257x x -=-是实根的个数为 。
7、方程22(2)(2)30m x m x -++-=，当m= 时，是关于x 的一元二次方程， 它的根的判别式∆= 。
8、已知方程220mx mx -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 。
二、求下列方程中24b ac -的值：
1、265x x -=
2、28160x x -+=
3、2232x x =- 42x =
5、211042
x x -= 6、21x x -=
7、2x q px +=- 8、20x x -=
三、不解方程，判断下列方程根的情况：
1、22520x x -+=
2、21302
x x --
=
3、230x -+=
4、241290x x -+=
5、211022
x x ++= 6230x -+=
7、250x += 8210x x -+=
四、用公式法解下列方程：
1、220x --=
2、222x x +=
3、22220x x +-=
4、291220x x -+=
5、241x =+
6、2910x -+=
7、23510x x --+= 8、215102
x x --+=
9、20.090.210.10y y -+= 10、(1)(1)x x +-=
1124x -=、248)0y y -+=
五、解答题：
1、判断关于x 的方程20x px q +-=的根的情况。
2、关于x 的方程2(2)20x m x m -++=一定有实根吗为什么
3、如果关于x 的一元二次方程28160kx x -+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
能力提高
一、不解方程，判定下列方程根的情况
1、222(1)240m x mx m ++++=
2、2220x m -+=
3、29(7)30x p x p -++-=
4、2213022
x mx m m -+++=
二、用公式法求关于x 的方程的解
1、2240x x k --=
2、210x px +-=
3、2222(3)0x s t x s t ---+=
4、29(1)2(3)0(,1)7
k x k x k k k ---+=<≠-
二、解答题：
1、关于x 的方程2(3)30mx m x +++=一定有实数根吗为什么
2、若t 是非负整数，且一元二次方程22(1)2(1)10t x t x -+--=有两个实数根，求t 的值及对应方程的根。
思维拓展
1、求证：关于x的方程()()1
---=的两根中一个大于a，另一个小
x a x a b
于a.
11。