广东深圳中学高中数学必修一导学案8分数指数幂
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。
教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。
教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。
任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。
任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。
y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。
四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。
人教A版高中数学必修一全册导学案分数指数幂
2.2.1 分数指数幂(1)【自学目标】1.掌握正整数指数幂的概念和性质；2.理解n 次方根和n 次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；3.能熟练运用n 次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】1．方根的概念若a x 2=，则称x 是a 的平方根；若a x 3=，则称x 是a 的立方根。
一般地，若一个实数x 满足a x n =*)N n ,1n (∈>，则称x 为a 的n 次实数方根。
当n 是奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数n 次实数方根是一个负数，这时a 的n 的次实数方根只有一个，记作n a x =；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有二个，它们是相反数。
这时a 的正的n 次实数方根用符号n a )0a (>。
注意：0的n 次实数方根等于0。
2．根式的概念 式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
求a 的n 次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质（1）a )a (n n =；（2）当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，|a |a n n =【预习自测】例1．试根据n 次方根的定义分别写出下列各数的n 次方根。
⑴25的平方根 ； ⑵ 27的三次方根 ；⑶－32的五次方根 ； ⑷ 6a 的三次方根 ．例2．求下列各式的值：⑴ 2)5(； ⑵ 33)2(-；⑶ 44)2(-； ⑷ 2)b a (-。
例3．化简下列各式：⑴ 681； ⑵ 1532-；⑶ 642b a ；例4．化简下列各式： ⑴246347625---+-； ⑵32233--+。
【课堂练习】1．填空：⑴0的七次方根 ；⑵4x 的四次方根 。
2．化简：⑴ 44)3(π-； ⑵ 36)x (-；⑶ 22b ab 2a ++； ⑷ 48x 。
3．计算：625625++-4．若310=x ，410=y ，求y x -10的值5．246347625---++【归纳反思】1．在化简n n a 时，不仅要注意n 是奇数还是偶数，还要注意a 的正负；2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
人教版数学高一必修1导学案 指数与指数幂的运算(二)学生版
2.1.1指数与指数幂的运算(二)学习目标1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义.学习过程一、自主学习1.分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna-＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于, 0的负分数指数幂.2.有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s＝；(2)(a r)s＝；(3)(ab)r＝.(注：a>0，b>0，r，s为有理数)．3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.二、合作探究问题1根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①5a10＝5(a2)5＝a2＝105a(a>0)；②a8＝(a4)2＝a4＝82a(a>0)；③4a12＝4(a3)4＝a3＝124a(a>0).问题2我们知道32×33＝32＋3.那么11113232646464+⨯=成立吗？探究点1: 根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1:分数指数幂化根式例1用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0).(1)25x ；(2)53x-.命题角度2:根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0. (1)5a 6； (2)13a 2；(3)4b 3a 2； (4)(－a )6.探究点2:运用指数幂运算公式化简求值例3 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)111222m m m m --+++.探究点3:运用指数幂运算公式解方程例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值.三、当堂检测1.化简238的值为( )A.2B.4C.6D.8 2.1225-等于( )A.25B.125C.5D.15 3.用分数指数幂表示(a －b )3(a >b )为( )A.()12a b -B.()12b a -C.()32a b -D.()23a b - 4.(36a 9)4等于( ) A.a 16B.a 8C.a 4D.a 25.计算122-⨯( ) A.32B.16C.64D.128四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
高中数学苏教版高一必修一学案 分数指数幂
3．1指数函数3．1.1分数指数幂学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义(重、难点)；2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点)；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)．预习教材P59－61，完成下面问题：知识点一n次方根，n次根式一般地，有：(1)n次实数方根定义一般地，如果一个实数x满足x n＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根性质及表示n是奇数正数的n次实数方根是一个正数a的n次实数方根用符号na表示负数的n次实数方根是一个负数n是偶数正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数正数a的正的n次实数方根用符号na表示，正数a的负的n次实数方根用符号－na表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±na(a＞0)的形式负数没有偶次实数方根0的n次实数方根是0，记作n0＝0式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．【预习评价】思考若x2＝3，这样的x有________个；它们叫做3的________，表示为________．提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.知识点二根式的性质一般地，有：(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)－a(a＜0)(n为大于1的偶数)．【预习评价】思考我们已经知道，若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2＝________，32＝________，(－3)2＝________.提示把x＝3代入方程x2＝3，有(3)2＝3；32＝9，9代表9的正的平方根即3.(－3)2＝9＝3.知识点三分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．【预习评价】用分数指数幂表示下列各式(式中a＞0)，(1)a 3＝________；(2)13a 5＝________.解析 (1)a 3＝(2)13a 5＝答案知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 【预习评价】思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？提示 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用．题型一 根式的意义【例1】 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．规律方法 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．【训练1】 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.即a 的取值范围为[1，＋∞)． 题型二 根式的运算 【例2】 求下列各式的值．(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论．【训练2】化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a－b)4.解(1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b(a≥b)，b－a(a＜b).题型三根式与分数指数幂的互化【例3】将下列根式化成分数指数幂形式．(1)3a·4a；(2) a a a；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解(1)3a·4a＝(2)原式＝(3)原式＝(4)原式＝规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．【训练3】用分数指数幂表示下列各式：(1) 3a·6－a(a＜0)；(2) 3ab2(ab)3(a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)13x(5x2)2(x≠0)．解(1)原式＝＝(a＜0)．题型四分数指数幂的运算【例4】(1)计算：(2)化简：解(1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝＝＝a0＝1.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．【训练4】计算或化简：(1)－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)解 (1)原式＝＝－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.互动 探究题型五 给值求值问题【探究1】 已知a ＞0，b ＞0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值． 解 方法一 ∵a ＞0，b ＞0，又a b ＝b a ，方法二 因为a b ＝b a ，b ＝9a ， 所以a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ， 所以a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43. 【探究2】 已知＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)解 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方， 得a 2＋a －2＋2＝49， 即a 2＋a －2＝47.(3)＝a ＋a －1＋1＝8.【探究3】 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b的值．解 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a ＞b ＞0，∴a ＞b . ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2 ab a ＋b ＋2 ab ＝6－2 46＋2 4＝210＝15， ∴a －b a ＋b＝15＝55.规律方法 给值求值问题，即带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．课堂达标1.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________．解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 答案 0或2(a －b )2．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是________． 解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1.答案 2x －13．化简－x 3x 的结果是________． 答案 －－x4．已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 解析 103m －n＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.答案 835．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1) (a ＞0)； (2)13x (5x 2)2(x ＞0)；(3)(b ＞0)．解 (1)原式＝(2)原式＝(3)原式＝课堂小结1．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。
高中数学必修一导学案 指数与指数幂的运算
学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 2.1.1指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解有理数指数幂和根式的含义；掌握幂的运算法则。
2.学会根式与分数指数幂之间的相关转化；了解无理数指数幂的意义。
3.自主学习，合作探究，学会归纳、类比的研究方法。
【重点和难点】教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相关转化，有理数指数幂的运算性质。
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化。
【使用说明及学法指导】1． 先预习课本P 48-P 53内容，然后开始做导学案。
2. 带“*”的C 层可以不做。
预习案一．知识梳理1．一般地，如果a x n =，那么x 叫做 ，其中1>n ，且*N n ∈。
当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 。
2.当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数 。
此时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 （0>a ）。
3.正数的分数指数幂的意义是怎么规定的？。
4.有理数指数幂的运算性质有哪些？5.一般地，无理数指数幂αa （0>a ，α是无理数）是 。
有理数指数幂的运算性质 （填“适用”或“不适用”）于无理数指数幂。
二．问题导学1. n n a 表示na 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？2.实数指数幂的运算性质是怎样的？与整数指数幂的运算性质一样吗？3.根式中的底数有什么限制条件？ 三.预习自测1．求下列各式的值：（1）38-； （2）44)5(-； （3）3)21(-； （4）21)1681(-。
2.用分数指数幂表示下列各式： （1）52x ； （2）34)(1b a +； （3）352n m 。
高中数学人教版必修1教案导学案模式2.1.1-2分数指数幂
2. 1.1第二课时分数指数幂教案【教学目标】1. 通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2. 掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力3. 能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.教学难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.【教学过程】1、导入新课同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂2、新知探究 提出问题（1） 整数指数幂的运算性质是什么？（2） 观察以下式子，并总结出规律：0a >①1051025525()aa a a ===；②884242()a a a a ===；③1212344434()aa a a ===；④1010522252()a a a a ===.（3） 利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是*(0,,,1)n n m maa a m n N n =>∈>.提出问题（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ （4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ （5） 分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么样的后果？ （6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明0a >的必要性，教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式. 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.变式训练求值：（1）363333； （2346627()125m n4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值5、课堂小结（1） 分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正数的负分数指数幂的意义是*11(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.（2） 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. （3） 有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)rsr sa aa a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r ra b a b a b r Q •=>>∈ 【板书设计】 一、分数指数幂 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.2.1.1-2分数指数幂课前预习学案一． 预习目标1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容１．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义是： ．２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义是： ． ０的正分数指数幂的意义是： ．０的负分数指数幂的意义是： ． ３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用的运算性质进行运算．三． 提出疑惑通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上课内探究学案一． 学习目标1. 理解分数指数幂的概念2. 掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.学习难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.二． 学习过程 探究一１．若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）A 、mm nna a a ÷= B 、m n m na a a =g g C 、()nm m n aa += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正确的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二例１：化简下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常数）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 当堂检测１．下列各式中正确的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．a a 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等于（ ） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a３．下列互化中正确的是（ ） Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yxＤ．331x x -=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意义的ｘ的取值范围是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１课后练习与提高 １．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，则ａ等于（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，则x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈则)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()n x x 21++的值．。
【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修一导学案9.指数函数概念、图象及性质
9．指数函数观点、图象及性质郭胜宏学习目标1．理解指数函数的观点，能画出详细指数函数的图象．2．理解指数函数的性质，能应用所学知识解决简单的与指数式相关的数学识题．3．经过指数函数的学习，进一步深入函数观点、性质的理解，提高函数性质应用的能力．一、夯实基础基础梳理1．指数函数一般地，函数 y a x（ a0 ，且 a 1 ）叫做指数函数，此中x 为自变量，函数的定义域为__________．【答案】R．2．指数函数 y a x（ a0 ，且 a 1 ）的图象和性质a10 a1y y=a xy=a xy (a>1)图象(0， 1)(0<a<1)y=1(0，1)y=1O x O x定义域为 R ；值域为__________．性质3．题型剖析过定点 __________ ，即x若x 0 ，则__________ ；若 x 0 ，则 __________ ．在 R 上是__________．__________时， __________．若 x 0 ，则 __________；若x 0 ，则 __________．在 R 上是__________．（1）指数函数的观点；（ 2）指数函数的图象；（ 3）与指数函数相关的定义域与值域问题．基础达标1．依据指数函数的定义，以下函数中是指数函数的是（）．A．x， x0 ；B． y 32 xC． y x D． y 2 3x2．已知指数函数 f x 的图象经过点 3 ，π ，则 f 1__________．3．比较以下各题中两个数的大小：（1），；（2）2，2；（ 3）2.5 ， 0.1 ．334．设 3x 1 ，则（）．7A．2x1B． 3 x2C．1x 0D． 0x15．1992 年末世界人口达到时54.8 亿，若人口的年均匀增加率为0.1% ，那么从 1992年算起，第 x 年末世界人口数为y （亿），那么 y 与 x 的函数关系式是__________．二、学习引导自主研究1．研究以下函数关系，并思虑这些函数关系式的共同特色：（1）对国际象棋（ 88 方格）的64 个方格，挨次编号为 1 ，2，，64，现要求在编号为1的方格内放入 2 粒大米，编号为 2 的方格内放入 4粒大米，规定编号为 x 1 的方格内放入的大米数恰巧是编号为x 的方格内放入大米数的两倍，用y 表示编号为 x 的方格内放入的大米数，试写出y 对于 x 的函数关系式．若 2 万粒大米约为 500 克（ 1市斤），思虑一下，第 52 号方格内放入的大米大概有多少斤呢？（2）要测定古莲子的年月，能够用放射性碳法：在植物的体内都含有微量的放射性14C．生命体死亡后，停止新陈代谢，14 C 不再产生，且原有的14 C 会自动衰变．14 C 的半衰期为 5570年，即经过 5570 年14C 的剩余量只有原始量的一半．经过科学测定，若古莲子14 C 的原始含量为 1，经过x年后的剩余量为y，试写出y对于x的函数关系式．（3）在银行存钱，一年的按期利率为 r ．若某年 1 月 1 日存入银行 1 万元，则x年后，可从银行取到时的钱为 y ，试写出 y 对于 x 的函数关系式．2．在现实生活中，我们常常能够获得形如y a x a 0 ，a 1 的函数，这类函数我们从前学过吗？参看课本，这类函数我们称为何函数？3．观看以下函数，依据指数函数的定义，指出此中哪些是指数函数?（1） y x；（ 2） y32 x；（ 3） y x0.123 ；（4） y 2 x， x0 ；（ 5） y 2 x 1；（ 6）y 3 5x．4．反比率函数 y k k0 ，一次函数 y kx b k0 ．二次函数 y ax2bx c a 0 对x系数都作了必定的限制，指数函数yxa 也对a的取值作了必定的限制，请说说这类限制的意义．1x5．用描点作图法分别作出函数y， y 2 x的图象，猜想指数函数y a x图象确立底数2a 的大小．事例剖析1．指数函数 y a x， y b x， y c x， y d x图象如右图所示，则 a ，b， c ，d从大到小的次序为 __________．yy=c x y=b xy=a xy=a xOx【分析】作直线 x 1 ，与各条指数曲线的交点的纵坐标即为相应指数函数的底数的大小，简单看出 b a d c ．2．比较以下各组数的大小：111323（1）（2）5，55，23，3；22与 0.1 ．（3） 2.2 3与 1.8 3；（4）【分析】（ 1）因为函数 y x在 R 上单一递减，且，所以．2x13 13 ，所以2525（2）因为函数 y在 R 上单一递减，且；355332x1x在同一个直角坐标系中，画出函数y与y图象，332x1x33 2515因为在 x0 部分，y图象恒在y图象上方，所以3333．133综上所述：252515．33322x x（3） 1.8 3 1.8 3，在同一个直角坐标系中，画出函数y与 y的图象，因为在x图象恒在 y 2.2 x图象上方，所以222x 0部分， y33 1.8 3．（4）2，因为在x0 部分，函数y 2 x图象恒在y x图象上方，所以2．3．函数f x12x的定义域是（）．A．，0B． 0，C．，0D．，【答案】 A．【分析】要使函数f x 存心义，须有 12x≥ 0 2 x≤ 1 2 0x ≤ 0，故函数定义域为，0 ．选 A．4．对函数 f x2x ，试用列表、描点的方法作出以下函数图象，并总结f x与以下函数图象的地点关系：（1 ） y f x 1 ；（ 2） y f x 1 ．【分析】（ 1） y f x1 2 x 1 ，列表以下：x21012f x 11124 42f x153235 42从上表能够看出，在每一个x 处函数y f x 1 图象上的点都在函数y f x图象相应点上方 1个单位，所以把函数 f x图象垂直向上平移 1 个单位，便可获得函数f x 1 的图象．一般地：把函数f x图象垂直向上平移a a0个单位，便可获得函数f x a 的图象．y f( x)+1f(x)2f(x)f(x)1 y=12O x O xy= 1（2） y f x12x 1 ，列表以下：x21012f x 11124 42f x131013 42从上表能够看出，在每一个x 处函数y f x1图象上的点都在函数y f x图象相应点下方 1个单位，所以把函数f x 图象垂直向下平移 1 个单位，便可提到函数f x 1 的图象．一般地：把函数f x 图象垂直向下平移a a0个单位，便可获得时函数f x a 的图象．5．若 3x0.618 ， x k ，k1， k Z ，则k __________．【答案】1．【解析】因为函数 y 3x在 R 上单一递加，且3110. 618， 30，所以33 13x30 1 x 0 ，故 k 1 ．6．当 a0 时，函数 y ax b 和 y b ax的图象只可能是（）．y y y y1111 O x O x O x O xA. B. C. D.【分析】对于图 A，从直线的地点能够看出 a0 ，0b 1 ，所以 0 b a 1 ，所以 y b ax b a x 单一递减，切合所经图象要求：对于图 B，从直线的地点能够看出a0 ， b 1 ，所以 b a 1 ，所以 y b ax b a x单一递加，与所给图象不符；对于图 C，从直线的地点能够看出a0 ， b 1 ，所以 0 b a 1 ，所以 y b ax b a x单一递减，与所给图象不符；对于 D，从直线的地点能够看出 a 0 ，0 b 1 ，所以 b a 1 ，所以 y b ax b a x单一递加，与所给图象不符．综上，应选图 A．三、能力提高能力闯关1．以下说法正确的选项是（）．A．把函数 y2x 向左平移 1 个单位，就获得时函数y2x1 的图象B．把函数 y2x向左平移 1 个单位，就获得函数y21 x的图象C．把函数 y2x向左平移我个单位，就获得时函数y2x1 的图象D．把函数 y2x向左平移 1 个单位，就获得时函数y 2 x1的图象2．函数y164x的值域是（）．A． 0，B． 0，4C． 0，4D． 0，43．若会合S y y3x，x R ，T y y x21，x R，则S T 是（）．A． S B．T C．D．有限集拓展迁徙1．函数f x 2x1是（）．2x1A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．函数 f x a x b的图象如图，此中a 、b为常数，则以下结论正确的选项是（）．y211 O1x1A． a 1 ， b 0B． a 1， b 0C． 0 a 1 ， b 0D． 0 a 1 ， b 0挑战极限1，务实数 a 的取值1．已知 a0 ， a 1 ， f x x a ，当 x 1 ，1时，均有f x2x2范围．课程小结1．形如 yxa0 ，a1的函数，称为指数函数．a2．关注指数函数y a x a0 ，a1的图象两个重重点：0，1，1，a ．3．指数函数 y a x a 0 ，a1的定义域为 R ，值域为0 ，，与底数 a 的取值没关；函数 y a bx c a0 ，a 1 ，b0 定义域为R，值域为0 ，，与 a，b， c ，的取值也没关系．4．指数函数 y a x a 0 ，a 1 是非奇非偶函数．当 a1时，函数单一递加；当 0 a 1 时，函数单一递减．5 ．在本节课的学习中，应初步掌握函数f x 与① y f x a；② y f x a ；③y f x a ；④ y f x a图象的关系．想想对指数函数y a x而言，a能够为负数吗？9．指数函数观点、图象及性质基础梳理1．．；；增函数；减函数．基础达标1．．2．【分析】设，则，所以，故．3．【答案】（ 1）；（ 2）；（ 3）．4．【答案】．5．【分析】．自主研究1．【分析】（ 1）．第号方格内放入的大米数为粒，一吨大米大概有粒大米，所以第号方格内放入的大米约重亿吨．亿吨是一个多大的量呢？依据2007年 9 月13 日美国农业部公布的最新数据显示，2007~2008 年度我国大米产量估计为亿吨．这就是说第号方格内放入的大米相当于2007~2008年度我国整年的大米产量！（2）．（ 3）．能够看出，上述三个问题都与变化率相关，所获得的函数都是形如形式的函数．2．【分析】我们从前学过的反比率函数、一次函数及二次函数都不是这类函数，自变量在函数式中的地点与我们从前学过的函数有很大差别．形如的函数称为指数函数．3．【分析】只有（1），（ 2）是指数函数，其他都不是．4．【分析】指数函数中的底数在生活中其意义一般是变化率，生活中的变化率一般不会是负数、 0、 1．从数学角度来说，对底数分类，可将问题分解为：（1）若会有什么问题？答案是函数定义域将没法确立；（ 2）若会有什么问题？答案是对于都无心义，对于，函数没有研究价值；（3）若又会怎么样？不论取何值，它老是，对它也没有研究的必需．综合上述各样原理，我们在定义指数函数时，规定且．5．【分析】列表以下：21124简单看出：指数函数图象恒过点，函数图象与直线的交点的纵坐标恰巧是底数，所以在第一象限，图象与直线的交点越往上，底数越大，图象与直线的交点越往下，底数越小．指数函数在每一点处都是向上曲折（即在每一点处作图象的切线，图象都在切线的上方，我们称这类函数为凹函数）．6．【分析】依据指数函数的图象，我们简单得出以下函数性质：（1）指数函数定义域都是，值域都是；（ 2）当时，函数单一递加；当时，函数单一递减；（3）指数函数都是非奇非偶函数；（4）在指数函数图象上，找出横坐标等于的点，其纵坐标的大小即为底数的大小．挑战极限1．【分析】当时，，令，画出函数的图象，察看图象，能够看出当且仅当图象介于函数与图象之间时，才能使不等式在上恒建立，所以实数的取值范围．。
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1．求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ；（2） ；
（3） ．
2．用分数指数幂的形式表示下列各式 ：
（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
3．求下列函数的定义域；
（1） ；
（2） ．
【解析】（1） 有意义当且仅当 ； 对一切实数 都有意义： 有意义当且仅当 ，
2．【解析】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
5． ．【解析】 ．
自主探究
1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：
（1）如果 ，那么 叫做 的平方根．
正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作 ，负平方根记作 ， 的平方根记为 ．
（2）如果 ，那么 叫做 的立方根．若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．实数 的立方根是唯一的，记作： ．
5． 次方根的意义， ．
6．分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂： __________（）
（2）正数的负分数指数幂： __________（）0的正分数源自数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
7．有理数指数幂的运算法则：
（1） __________（）
（2） __________（）
（3） __________（）
（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，要注意多项式乘法分式的应用．
8．分数指数幂
基础梳理
6． （ ，且 ）： （ ，且 ）．
7． （ ）： ：
基础达标
1． ．
2． ．【解析】 ．
3． ．【解析】A． ；B． ；C． ；D． ．
4． ， ．【解析】因为 ，所以 的平方根有两个： 与 ；而 ，所以 的立方根是 ．
2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点．
（1）某市人口平均每年增长率为 ，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？
（2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年 （国内生产总值）年平均增长率为 ，则十年后 为2000年的多少倍？
8．分数指数幂
张长印
学习目标
1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解 次方根式的概念．
2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根．
3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．
一、夯实基础
基础梳理
1．整数指数幂的概念．
（1）正整数指数幂： ．
（2）零指数幂： ．
（3）负整数指数幂： ．
2．整数指数幂的运算性质：
（1） ；（2） ；（3） ．
3．如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根；如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根．
4．如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ，且 ．
（1）当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．
故所求函数定义域为： ．
（2） 有意义当且仅当 ； 有意义当且仅当 ，
故所求函数定义域为： ．
4．已知 ，若 ，求 ．
【解析】由 得 ，
，即 ．
所以 ，
故 ．
5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出 升，然后用水填满，再倒出 升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
【解析】设第 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为 ，则第 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为 ，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为： ， ， ， ， ．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为 ．
三、能力提升
能力闯关
1．已知 ，求 的值．
2．化简 ．
3．设 ．
（1）将 化简为关于 的幂的形式．
（2）是否存在 ，使得 是关于 的整数指数幂？
拓展迁移
1．化简 得（）
A． B． C． D．
2．已知实数 满足方程 ．
（1）试找出一组满足方程 的实数 ；
（2）化简方程 ，使结果不含根式．
挑战极限
1．是否存在无理数 ，使得 是有理数？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
基础达标
1．将 化为分数指数幂，其正确的形式是（）
A． B． C． D．
2． 可化简为（）．
A．1B． C． D．
3．下列各式中成立的是（）
A． B． C． D．
4．27的平方根和立方根分别是__________．
5．化简 __________．
二、学习指引
自主探究
1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．
课程小结
1．对于根式符号 ，要注意以下几点；
（1）当 时， 一般省略不写，即 ；
（2）0的 次方根一定为0，即 ；
（3）当 是大于1的奇数时，对任意实数 ， 都有意义，它表示实数 的 次方根，是一个确定的实数．
（4）当 是大于1的偶数时，对任意非负实数 ， 都有意义，且 时，它表示正数 的正的 次方根，是一个确定的正实数，另一个负的 次方根为 ．
（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡 年后体内碳14的含量 与死亡时碳14的关系为？
（4）某人有银行存入 万元，年利率为 ，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？
3．阅读课本，请叙述根式的概念．
4．请总结根式运算性质及根式 化简方法．
5．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？
2．若 ， ，则 （ 哦奇数时， 可取一切实数； 为偶数时， ）；
3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：
（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式．
， （ ，且 ），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义， ．
（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设 ，则 ， ．
（2）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根有符号 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成 ．
（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作 ．
（4）式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．
（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 ，记作 ．