哈工程船舶流体力学答案第七章答案

第七章答案
7-1 油在水平圆管内作定常层流运动，d=75mm, Q=7l/s, ρ=800kg/3m , 壁面上τ=48N/2m ,
求油的粘性系数。

解：圆管层流，流量44
482a p Q Q p l l a
πμ
μπ∆=∆⇒= 管壁上342
433
444 3.5510/24p Q Q Q a y a a m s l a a a Q μμρυτπτυπππρ
-∆=====⇒==⨯ （结论）
7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？
答：把湍流中微团的脉动与气体分子的运动相比拟，将Reynolds 应力用混合长度与脉动
速度表示。

7-3 无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下作定常层流运动，自由面上压力为大气压Pa 且剪切应力为0。

流体密度为ρ ，运动粘性系数为 ν，平板倾斜角为 θ。

求垂直于x 轴的截面上流体的速度分布和压力分布。

解：不可压缩平面流动的Navier-Stokes 方程为：
2211x y u u u
p
u v f u t x y x
v v v p u v f v t
x y y
υρυρ∂∂∂∂⎧++=-
+∇⎪∂∂∂∂⎪⎨
∂∂∂∂⎪++=-+∇⎪∂∂∂∂⎩
连续方程为：
0u v t t
∂∂+=∂∂ 由于流动定常，故Navier-Stokes 方程中0u v t t
∂∂==∂∂，则 Navier-Stokes 方程可简化为
2
211x y u u p u v f u x y x v v p u v f v x
y y υρυρ∂∂∂⎧+=-+∇⎪∂∂∂⎪
⎨∂∂∂⎪+=-+∇⎪∂∂∂⎩
边界条件为：
y=0时，u=0 ,v=0
y=h 时，v=0,τ=0，p=Pa
由上述边界条件知，v 始终为0，故
0,0v u x
∂∂==∂∂。

则以上Navier-Stokes 方程的第二式可进一步简化为：
10y p
f y
ρ∂=-
∂
1cos cos cos y p p
f g g p g y c y y
θρθρθρ∂∂⇒
==-⇒=-⇒=-+∂∂ 由y=h 时p=Pa 解得：常数cos c Pa g h ρθ=+
故cos ()P Pa g h y ρθ=+-
以上Navier-Stokes 方程的第一式可进一步简化为：
210x p
f u x
υρ∂=-
+∇∂ 因p 为y 的函数，所以上式中p x
∂∂=0 上式最终简化为：
22222212
sin sin sin sin 2
x u f g d u
g dy d u g dy g y u c y c υθ
υθ
ρθμ
ρθμ∇=-=-⇒=-⇒=-⇒=-⋅++
由边界条件，y=0时，u=0,立即得到2c =0，又由
11sin 0
1
sin g h c c g h
ρτμθμρθμ
⎛⎫
=-⋅+= ⎪⎝⎭⇒=⋅ 所以
21sin sin 2g y u g h y ρθρθμμ
=-⋅+⋅⋅
2s i n 2y hy γθμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
（答案）
7-4 两块无限长二维平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ、2μ，密度分别为1ρ、
2ρ，厚度分别为1h 、2h 。

已知上板以等速0v 向右作平行运动，整个流场应力相同，不
计重力，流动为层流，求速度、切应力分布。

解：基本方程组：
22110u u p u v u x y x v v p u v v x
y y u v x y
υρυρ⎧∂∂∂+=-+∇⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+=-+∇⎨
∂∂∂⎪⎪∂∂+=⎪∂∂⎩ 由于v=0和
0u
x
∂=∂上式可化简为 2
1010()0()p u x p p p x y u
u u y x
υρρ∂⎧=-+∇⎪∂⎪
∂⎪=-⇒=⎨
∂⎪⎪∂=⇒=⎪∂⎩ 所以，对上层流体，有
222
111111112
12
11
2
11012p p d u u u x x dy p y
u c y c x υμμρμ∂∂=-+∇⇒=∇=∂∂∂⇒=
++∂
以上关于1u 的方程的边界条件为：
2111210
()in y h u u y h h u v =⇒==+⇒=
对下层流体，有
222
22222222
222
234
21012
p p d u u u x x dy p y
u c y c x υμμρμ∂∂=-+∇⇒=∇=∂∂∂⇒=
++∂
以上关于2u 的方程的边界条件为：
2222
00in y u y h u u =⇒==⇒=
由于上层流体与下层流体的τ相同，因此有
121123121133
11p p y c y c x x c c μμμμμμ⎛⎫⎛⎫
∂∂+=+
⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭⇒=
此式与上两式联立，可确定三个待定参数。

另一个参数尚需要另外的边界条件才能求解。

（未完待续）
7-5 略
7-6 具有3
2
39.4910,7252/N m μυ-=⨯=的油流过直径为2.54cm 的光滑圆管，平均流速为0.3m/s ， 试计算30m 长度管子上的压降，并计算管内距管壁0.6cm 处的流速。

解：：232064.14281.9*10*49.3910*54.2*7252*3.03
2
<=====-- g d v d v vd R e μγρυρυ
则流动为层流
由Pa a l u P a l P u m
m 37.17628)10*27.1(30*10*49.39*8*3.0882
23
22===∆⇒∆=--μ
μ
即管壁0.6cm 处的流速：
cm 67.06.027.1=-=γ
s
m a l P u /43.0)(42
2=-∆=γμ
7-7 o C 30的水流过直径d=7.62cm 的光滑管，每分钟流量为3
340.0
m ，求在915m 长度上的压力降。

管壁上的剪切力
0τ及粘性底层的厚度。

解 o
C 30的淡水： 流动为管内湍流⇒>⨯=====⇒==⨯=---23201018.12/24.1)
10*81.3(*14159.360340
.0/61.995108009.0522223
126d u R s m a Q u a u Q m
kg s m m
e m m ππρυ
查莫迪图 光滑管在
0.011018.15
=⨯=
λ对应当雷诺阻力系数e R
mm R d R d m N l d P u Pa u d l P e e m
m 153.03030/06.34811047.124.161.9955.01062.7915016.0212
205
22
2==⇒==⋅∆==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-λδλδλρτρλ
7-8 已知半径为
r 的光滑圆管中流体做定常层流运动，流体密度为ρ动力粘性系数μ，若由接
出的两玻璃管测得l 长度流体的压力降0h p γ=∆ 1写出沿程阻力系数λ与雷诺数Re 的关系
2推导体积流量θ与压力降得关系式。

l
p r l p d d l d d l u d l p d u d u r l p Q m m m 2230232
3224
0Re 16)(Re 2)(Re 21
)Re (2121Re Re 8μρμρλμρ
λυρλρλυυμπ∆=
∆=⇒===∆=
⇒=⋅∆⋅=
因为
4
04
2222
8888r l P l r P r r l P Q r l P r Q u m ⋅∆⋅=∆=∆=⇒∆==μ
πμππμμ
π。