湖南大学计算理论引论期末试题2006年秋本科试卷a-答案

2006年秋《计算理论基础》本科生试卷
填空题
1、确定型有穷自动机的形式定义是一个5元组(Q，∑，δ，q0，F)其中：
(1)Q为有穷状态集，（2）∑有穷字母表，（3）δ(q,a)是转移函数，它的第1个自变量为q∈Q，第二个自变量a∈∑，其结果δ(q,a)∈Q，即为Q×∑→Q的函数（映射），（4）q0为初始状态(一般只有一个)，（5）F有一些接受状态（可以为多个。

2、非确定型有穷自动机N接受字符串w=b1b2…b m，是指存在状态序列r0,r1,…,r m,且满足：（1）r0=q0；（2）r i+1∈δ(r i,a i+1) (i=0,1,…,m-1)，(3)r m∈F。

3、正则表达式的定义是：（1）a∈∑，空串ε，空集Φ均为合法的正则表达式，（2）若R1，R2是正则表达式，则(R1⋃R2)、R1︒R2、R1*均是正则表达式。

4、将正则表达转换成自动机时，先建立单个字符的自动机，再用并、连、星号运算得到复杂正则表达的自动机，而将自动机转换为正则表达式时，需要先建立新开始状态与一个新接受态，在新开始状态与原开始状态之间连上空串边，在原来所有的接受状态与新接受状态间连空串边。

5、对于正则语言A的任意字符串s，当其长度≥p（泵长度）时，则一定存在满足|y|>0、|xy|≤p分解方式S=xyz，使得任意i≥0，xy i z∈A。

这是正则语言的性质，基于此性质并利用反证法可证明一个语言不是正则语言，这时需要验证满足“|y|>0、|xy|≤p”的每种可能分解方式，都不满足“任意i≥0，xy i z∈A”。

6、非确定型下推自动机PDA接受w=w1w2…w m，是指存在状态序列r0,r1,…,r m，栈字字符串序列s0,s1,…,s m∈Γ*，满足：（1）r0=q0,s0=ε；（2）(r i+1,b)∈δ(r i,w i+1,a)，其中s i=at(此时a 为栈顶元素)，s i+1=bt(b为当前动作后的栈顶元素)；（3）r m∈F,s m=ε。

7、Turing机特点：（1）可以从输送带中读出字符，也可以修改输入带中的字符；（2）可沿输入带向右移动直到遇到字符串结束标志为止，也可从右向左移动直到遇到左端标志为止；（3）可以边读写边移动读写头，也可以不读写而单纯移动；（4）如果进入了“接受”状态则停机(不必消耗所有字符)，如果进入了“拒绝”状态也停机，否则一直运行，永不停机。

8、图灵机的形式定义是7元组(Q,∑,Γ,δ,q0,q accept,q reject)，其中：（1）Q为状态集；（2）∑为输入字母表，不包括空白符号；（3）Γ为带字母表，包括∑与空格；（4）δ：Q⨯Γ→Q⨯Γ⨯{L,R}，转换函数，第1个自变量的取值范围是Q，第2个自变量的取值范围是Γ，其值域是一个三元组，第一个分量表示下一个状态，第二个分量表示写入到输入带上的字符，第三个分量表示下一步的位置；（5）q0∈Q是初始状态；（6）q accept∈Q是接受状态；（7）q reject∈Q拒绝状态，且q reject≠q accept。

9、图灵机M接受字符串w，是指存在一系列的格局C1,C2,…,C k，使得：（1）C1是M 在输入w的起始格局，即C1=q0w；（2）每个C i确定地产生C i+1；（3）Ck是接受格局，即从起始格局起，经过有限步后可达到接受格局。

二、简述题
1、每个多带图灵机等价于某台单带图灵机。

请参考下图陈述单带图灵机描述多带图灵机的的细节。

多带图灵机为M，待的单带图灵机记为S。

非形式的描述：
(1)S在自己的带子上按上图所示放入所有字符串；
(2)为了模拟一步移动，S在其带子上从标记左端点的第一个#开始扫描，一直扫到最右端的第k+1个#，以确定虚拟读写头的符号，即确定原来多带的每个读写头的位置。

然后S进行第二次扫描，并根据M的转移函数指示的运行方式来更新带子(即根据多带机M的转移函数，移动每个带子对应的读写头)
(3)任何时候，只要S将某个虚拟读写头向右移动某个#上面，就意味着M已将该虚拟读写头所对应的读写头，移到了其所在带的空白区域上，即以前没有读过的区域上。

即单带S的写头仍可以向右移动，只不过是先将单带的当前位置起到最后的符号整体右移，再让虚拟读写头在当前位置写下空白符。

2、请给出Chomsky范式的定义？将普通范式转换为Chomsky范式的基本步骤？
解：Chomsky范式是指满足：A→BC（A,B,C为任意变元，B，C不是起始变元），A→a （a是任意的终结符）；S→ε（允许这种规则存在，即接受空串）；
转换为Chomsky范式的基本步骤为：
(1)添加新的起始变元S0，同时增加规则S0→S；
(2)删除所有“A→ε”(A≠起始变元)，A在其他规则的右边每出现一次添加一条删除了A 的新规则。

(3)删除所有单规则“A→B”，并针对所有B→u，添加规则A→u
(4)整理A→u1u2…u k为A→u1A1,A1→u2A2,…A k-2→u k-1u k。

A→a i B为A→B i B,B i→a i, A→Ba i为A→BB i,B i→a i ,
A→a j a i为A→B j B i,B i→a i ,B j→a j
三、计算题
aaabbb的计算过程，是否接受该字串
解：Q={q1,q2,q3,q4}，字母表为{a,b}，开始状态为q1,结束状态集为{q4}，转换函数为δ(q1,a)=q1，δ(q1,b)=q2，δ(q2,a)=q2，δ(q2,b)=q3，δ(q3,a)=q3，δ(q3,b)=q4，δ(q4,a)=q4，δ(q4,b)=q4。

q1 -a- q1 -a- q1 -a- q1 -b- q2 -b- q3 –b- q4，故接受该字符串。

2、将如下的非确定型自动机转换为确定型自动机，并对状态进行最小化处理。

解：E(q0)={q0,q1,q3}，
δ({q 0,q 1,q 3},a)={q4}，δ({q 0,q 1,q 3},b)={q2,q5}， δ({q 4},b)={q5}
δ({q2,q5},a)={q3,q5} δ({q2,q5},b)={q4} δ({q 5},a)={q5}
δ({q 3,q 5},a)={q4,q5} δ({q4},b)={q5} δ({q 4,q 5},a)={q5} δ({q
,q },b)={q5}
F={q1,q3,q4,q5,q6},Q-F={q2}
δ(F,a)={q2,q4,q6,q5,q5}，由于δ(q1,a)=q2∈Q-F ，故F={q1}⋃{q3,q4,q5,q6}，{q2} δ(F,b)={q3,q2,q5}，由于δ(q3,b)=q2∈Q-F ，故F={q1}⋃{q4,q5,q6}⋃{q3}⋃{q2}
δ({q4,q5,q6},a)={q6,q5,q5}，δ({q4,q5,q6},b)={q5}，其结果没有分开，故{q4,q5,q6}不能再分了，故最小的状态集为{q1}⋃{q4,q5,q6}⋃{q3}⋃{q2}，其状态图为：
3、利用教材上证明定理时所用的方法，构建字符串0(0⋃1)*对应的非确定型自动。

4、写出下列自动机对应的正则表达式。

(a((a ⋃b)a)*(a ⋃b)b ⋃b)*a((a ⋃b)a)*
5、构造出文法G=(V,∑,R,S) V={S,A,N,V,P}，∑={Jim,big,green,cheese,ate} ，R={ S →P V P ，P →N|A P, A →big|green ，N →cheese|Jim ，V →ate}，请给出对应的下推自动机。

green,green→εcheese,cheese→ε
ate,ate→ε。