六年级奥数蝴蝶模型
六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型① S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和）类型 2：梯形中的蝴蝶模型① S 2 = S 4 ；② S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 ；③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++==④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右=⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b )2【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积．【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型【例4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE =31AB , BF = 21BC ，四边形 BGHF 的面积是多少平方厘米？1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，则△BGC 的面积为 ；AG:GC=2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 若△ABD的面积等于△BCD 的面积的31，且AO=2，DO=3，那么CO 的 长度是DO 的 倍。
小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)
五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积3度是DO的长度的倍例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。
例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3三角形BOC的面积之比。
例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？蝴蝶模型习题1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？答案【例1】因为AO : OC =S∆ABD : S∆BDC= 1: 3 ，所以OC = 2⨯3 = 6 ，所以OC : OD = 6: 3 = 2:1．解法二：作AH ⊥BD于H ，CG ⊥BD 于G ．因为S所以S ∆ABD=1S3=1S∆BCD，所以AH =1 CG ，3，∆AOD 3 ∆DOCAO =1CO ，3OC = 2⨯3 = 6 ，OC : OD = 6: 3 = 2:1．C【例2】⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ，⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ，所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ；⑴由于⑴BCO 的面积为8，⑴BOE 的面积为6，所以⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ，根据蝴蝶定理，EG : FG =S∆COE : S∆COF= 2 : 4 = 1: 2所以S∆GCE : S∆GCF=EG : FG = 1: 2 ，S∆GCE =11+ 2S∆CEF=1⨯ 2 =2 ．33【例3】A DFB EC 连接EF ．因为BE = 2EC ，CF =FD ，所以S∆DEF = (1⨯1⨯1)S2 3 2ABCD=1S12ABCD．因为S∆AED =1S2ABCD，由蝴蝶定理，AG : GF =1 : 12 12= 6 :1 ，所以S∆AGD = 6S∆GDF=6S7∆ADF=6⨯1S74ABCD=3S14ABCD．所以S∆AGE =S∆AED-S∆AGD=1S2ABCD-3 S14ABCD=2S7ABCD=2，7【例4】A E DB C设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ，而SBED =1S4ABCD，SBCD=1S2ABCD，所以EO : OC =SBED : SBCD= 1: 2 ，故EO =1EC ．3F 为CE 中点，所以EF =1 EC ，2故EO: EF = 2: 3，FO : EO =1: 2 ．由蝴蝶定理SBFD : SBED=FO : EO = 1: 2 ，所以SBFD =1S2BED=1S8ABCD，SBGD =1S2BFD=1S16ABCD=1⨯10⨯10 = 6.2516AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理B① S 1 : S 3 C= a 2 : b 2② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2【例 5】由梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 : ab = 25 : 35 ， 可得 a : b = 5: 7 ，再根据梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 :b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 ， 所以S DOC = 49梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144【例 6】由蝴蝶定理， S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3得a : b = 2: 3，S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9O∆OCD ∆OCD【例 7】AF BDE C如图，连结 EF ，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形， 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34．【例 8】A DB C连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行，所以 AECD 也是梯形，那么S ∆OCD = S ∆OAE ．据蝴蝶定理， S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ，所以S = 4另解：在平行四边形 ABED 中， S ∆ADE =1 S2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4【例 9】A EBD连接 DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以S ∆EOD = S FOC ， 又根据蝴蝶定理， S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 ， S ∆ECD = 4 + 8 = 12ABCD 面积为12⨯2 = 24S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ，四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米)．【例 10】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 ．183∆ AOD ∆ AOD ∆BOC123作业题答案1.AD FBEC连接 AE ， FE ．因为 BE : EC = 2: 3 ， DF : FC =1: 2 ，所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1S． DEF 5 3 2长方形ABCD10 长方形ABCD 因为S= 1 S ， A G : GF = 1 : 1= 5 :1，所以S = 5S = 10 平方厘米，所AED2 长方形ABCD 2 10AGD GDF 以 S = 12 平方厘米．因为S = 1S ，所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD厘米．2.AFDA D6 长方形ABCDBC根据梯形蝴蝶定理， a : b =1:1.5 = 2: 3 ， S : S = a 2:b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 ， 所以S = 4(cm 2 ) ．3.O 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是36 ⨯44 + 5= 16 ，3 的面积就是 36 ⨯54 + 5= 20 ．4.ADBEC因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ，根据四边形的对角线性质知道：⑴BEO 的面积为：54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ，所以四边形OECD 的面积为： 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).5.BM C由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而 AK : KB =1: 3 ，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的 1 = 1 ，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1．1+ 3 4 4由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM = DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么∆BDK 的面积为48⨯ 1= 12 ．4。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
六年级下册小学奥数几何模块蝴蝶模型全国通用
例6：如图，正方形ABCD的面积是1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求图中阴影部分的面积.
练一练5：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积.
例1：如图，四边形ABCD是平行四边形，E在BC的延长线上，已知三角形ADF和三角形CEF的面积，求平行四边形ABCD的面积．
练一练5：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积. 作业2：如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC的三等分点，已知正方形的边长是1厘米，求图中阴影部分的面积. 练一练5：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积. 连接梯形的两条对角线，构造成蝴蝶模型的一般形式，可以得到如下几条结论. 主讲老师：癸酉0311 连接梯形的两条对角线，构造成蝴蝶模型的一般形式，可以得到如下几条结论. 例1：如图，四边形ABCD是平行四边形，E在BC的延长线上，已知三角形ADF和三角形CEF的面积，求平行四边形ABCD的面积． 作业2：如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC的三等分点，已知正方形的边长是1厘米，求图中阴影部分的面积. 蝴蝶模型作为梯形中的基础模型，可以看做是特殊的风筝模型，可以通过等高模型和相似模型进行推导，其主要研究的是梯形中三角形的面积之间的关系. 例2：如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，已知三角形BEF的面积是1平方厘米，求正方形ABCD的面积. 例7：如图，梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，BC=2AD，已知梯形的面积是1，求阴影部分的面积. 练一练4：如图，正方形ABCD的面积是1，E、F分别是BC、CD的中点，求图中两个阴影部分的面积. 作业3：如图，梯形ABCD中，AE//DF，已知三角形ABI、三角形ADH、三角形CDG的面积分别是17、15、16，求图中阴影部分的面积. 练一练1：长方形ABCD中，E、F是BC、AD上两点，已知三角形ABG和三角形CDH的面积都是10，求图中阴影部分的面积. 例6：如图，正方形ABCD的面积是1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求图中阴影部分的面积. 练一练5：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积. 练一练6：如图，长方形ABCD的面积是12，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积. 连接梯形的两条对角线，构造成蝴蝶模型的一般形式，可以得到如下几条结论.
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
六年级奥数蝴蝶模型(供参考)
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。
六年级奥数蝴蝶模型
型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导：二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS?②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平行四边形S?S?S?S（一）①4321S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知：SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形S?S?SS?②4132?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。
解：由蝴蝶定理可知：6BA O 4CD的面积是梯形答：梯形ABCD的面积是25。
2cm）2：如图，求阴影部分的面积。
（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”面积。
12 28cm（2）解：阴影6答：阴影部分的面积为14平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
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蝴蝶模型
一、蝴蝶模型与任意四边形
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：
OC AO
S S BOC AOB =∆∆ OC AO
S S COD AOD =∆∆ COD AOD
BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴
2
4
31S S S S =即
4321S S S S ⨯=⨯∴
二、蝴蝶模型与梯形
①
②
推导：① 同上
② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作
△BCD 的高2h BC AD //
21h h =∴（两平行线之间高相等）
121
h BC S ABC ⨯⨯=∆
22
1
h BC S BDC ⨯⨯=∆
BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴
三、蝴蝶模型与平行四边形
（一） ①
②
推导：① 同上
② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =
即：对角平行四边形面积乘积相等
（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）
推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M
EM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21
EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 12
1S S OGE =
∴∆
同理可得：321S S OGF =
∴∆ 221S S OFH =∆ 42
1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯
432121
212121S S S S ⨯=⨯∴
4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形
（一）①
②
即：对角长方形面积乘积相等
五、蝴蝶模型与正方形
“子母图”——两共线相邻的正方形
在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？
分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S∆BOC=S∆AOD=6
∴S∆DOC=6×6÷4=9
∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25
答：梯形ABCD的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm2）
分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S
阴影
=28×6÷12=14（cm2）
答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。
由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以AC平行于GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG和三角形COE面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积，即小正方形面积的一半。
解：连接AC
∵AC∥GE
∴由梯形的蝴蝶定理可知：S∆AOG=S∆COE
∴S
阴=S∆COE+S∆GOE=S∆GCE=1
2
×6×6=18（cm2）
答：阴影部分的面积为18平方厘米。
D F
练习题
1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成四个部分，△
AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米。
公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？
2.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、
8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
3.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30 cm2，△CDQ的面积为80 cm2，
求阴影部分的面积。
4.如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等于10厘米，
求阴影部分的面积。