可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
Var
IF (x)
1
N
1
N j 1
I
2 F
(xj)
NI
2 F
N 1
N 1 N
N j 1
I
2 F
(
x
j
)
1 N
N
I
F
(
xk
)
2
k 1
N 1
N
1
N
式中, f(xi) (i=1, 2, …, n)为随机变量xi的概率密度函数。
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte lo 可靠性分析
Monte Carlo 可靠性分析方法又称随机抽样法、概率模拟法 或统计试验法。该方法是通过随机模拟或者说统计试验来 进行结构可靠性分析的。由于它是以概率和数理统计理论 为基础的，故被无理学家以赌城Monte Carlo来命名。
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf
m N
,
Var
Pˆf
Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte Carlo 可靠性分析
xS
)dxS
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
蒙特卡洛模拟法
蒙特卡洛模拟法目录编辑本段蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的概念（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。
随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。
编辑本段蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
机械强度可靠性灵敏度分析的拟蒙特卡罗法
s = s0 + s 1 R + s2 R 2 + ∀+ sMR M ( 1)
式中: M = [ ln s/ ln R ] , 方括号表示取整运算; si # {0, 1, ∀, R - 1} ( i = 0, 1, 2, ∀, M ) ; RM ∃ s < RM + 1, 定义 R 的根式逆运算如下:
FN( x ) =
0, x < x (1) ;
i N
,
x ( i) ∃ x < x ( i+ 1) ,
( 4)
i = 1, ∀, N - 1;
1, x > x ( N )
用于拟合 优度检验的科尔 莫格洛夫 统计量
DN 为
DN =
sup
- ∋ < x< + ∋
|
FN( x ) -
F( x) |
(Байду номын сангаас5)
划 特聘教授, 博士生导师
第 11 期 ! ! ! ! ! 张艳林等: 机械强度可靠性灵敏度分析的拟蒙特卡罗法
15 95
方法又表现出很大的局限性 针对传统蒙特卡罗方法效率低这一问题, 有
许多学者通过各种方法来提高其抽样效率, 如拉 丁超立方抽样, 通过引入降低方差技巧的重要抽 样方法[ 3- 6] , 分层抽样方法, 系统抽样等 虽然上 述方法已经有效地提高了蒙特卡罗方法的计算效 率, 但有时其效率还是无法满足工程大型结构可 靠性与可靠性灵敏度分析问题的需求 原因是传 统蒙特卡罗方法计算 积分时在基本 随机变量方 差、置信度一定的情况下, 其概率误差 与 N - 1/ 2 成正比, 因此要提高一位精确度就需要增加百倍 工作量, 误差的收敛速度比较缓慢 拟蒙特卡罗方 法是通过引入单位超立方体上低偏差点集来取代 传统蒙特卡罗法中的伪随机数序列的方法 其计 算积 分时 误差与 N - 1 lg nN 成正 比[ 7- 8] , 其中 n 表示 基 本 随 机 变 量 的 个 数, 收 敛 速 度 显 然 比 N - 1/ 2要快很多, 并且误差是确定性的 不同的低 偏差点集代表了不同的拟蒙特卡罗方法, 统计学 家提出了许多这样的点集, 如 F aure 序列、H alton 序列[ 9] 、Sobol 序列[ 10] 等 本文通过引入低偏差点 集 H alton 序列, 并结合重要抽样方法提出了结构 可靠性灵敏度分析的拟蒙特卡罗方法, 该方法进 一步提高了模拟计算的效率, 并且所得结果具有 确定性的误差, 为大型结构可靠性灵敏度分析提 供了很好的途径 最后本文以国产某机器一齿轮 为研究对象, 以应力强度干涉模型可靠性理论为 基础, 应用可靠性灵敏度分析的拟蒙特卡洛方法 进行可靠性灵敏度分析, 结果证实了该方法的高 效性与高精度性, 并且为机械强度可靠性与可靠 性灵敏度设计提出一条新思路
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟风险分析是我们制定的每个决策的一部分。
我们一直面对着不确定，不明确和变异。
甚至我们无法获得信息，我们不能准确的预测未来。
蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)让您看到了您决策的所有可能的输出，并评估风险，允许在不确定的情况下制定更好的决策。
什么是蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)是一种计算机数学技术，允许人们在定量分析和决策制定过程中量化风险。
这项技术被专家们用于各种不同的领域，比如财经，项目管理，能源，生产，工程，研究和开发，保险，石油&天然气，物流和环境。
蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)提供给了决策制定者大范围的可能输出和任意行动选择将会发生的概率。
它显示了极端的可能性-最的输出，最保守的输出-以及对于中间路线决策的最可能的结果。
这项技术首先被从事原子弹工作的科学家使用；它被命名为蒙特卡洛，摩纳哥有名的娱乐旅游胜地。
它是在二战的时候被传入的，蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)现在已经被用于建模各种物理和概念系统。
蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)是如何工作的蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)通过构建可能结果的模型-通过替换任意存在固有不确定性的因子的一定范围的值(概率分布)-来执行风险分析。
它一次又一次的计算结果，每次使用一个从概率分布获得的不同随机数集。
根据不确定数和为他们制定的范围，蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)能够在它完成计算前调用成千上万次的重复计算。
蒙特卡洛模拟( Monte Carlo simulation)产生可能结果输出值的分布。
通过使用概率分布，变量能够拥有不同结果发生的不同概率。
概率分布是一种用来描述风险分析的变量中的不确定性的更加可行的方法。
Monte-Carlo模拟
曼哈顿计划 Buffon投针实验 大数定律
基本思想：当所求问题是某种随机事件出现的 概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过 某种“试验”的方法，以这种事件出现的频率 估计该随机事件的概率，或者得到这个随机变 量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
3) 建立各种估计量：一般说来，构造了 概率模型并能从中抽样（即实现模拟实 验）后，我们就要确定一个随机变量， 作为所求的问题的解。即针对模拟实验 的结果考察其统计特性（样本均值、方 差、置信区间等），建立各种估计量， 从中得到问题的解。
明确问题，建立模型收集和整理数据资料 编制程序，模拟运行分析模拟输出结果
逆变换法的具体步骤：
•确定随机变量X的概率分布函数F(x)；
例：指数分布的Biblioteka 布函数为：1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
F ( x) 1 e , x 0
解得
可取
1 x ln(1 ), 1 x ln .
模拟的优点：简单、快速、适应性强
能相对容易地近似很复杂的随机系统，问题 的几何形状的复杂性对其影响不大；
可以在广泛的条件下估计候选方案的性能； 建模者可以在不同层次的水平上进行控制；
模拟的缺点： 建立和运行模拟模型可能相当昂贵； 模拟模型的随机性使得结论受到限制
2、随机数和随机变量的生成 2.1 均匀分布随机数的生成
n=input('输入模拟次数：'); count=0; for i=1:n, rt1=rand; %模拟随机变量t1（火车从A站出发的时刻） if rt1<0.7 T1=0; elseif rt1>=0.7 & rt1<0.9 T1=5; else T1=10; end T2=30+randn*2; %模拟随机变量t2（火车的运行时间） %模拟随机变量t3（他到达B站的时刻） rt3=rand; if rt3<0.3 T3=28; elseif rt3>=0.3 & rt3<0.7 T3=30; elseif rt3>=0.7 & rt3<0.9 T3=32; else T3=34; end if T3 < T1 + T2, count=count+1; end end%for prob=count/n
边坡稳定可靠度的蒙特卡罗数值模拟及其应用研究
郑州大学硕士学位论文边坡稳定可靠度的蒙特卡罗数值模拟及其应用研究姓名：李猛申请学位级别：硕士专业：岩土工程指导教师：王复明20040524鎏型查兰堡土兰笪笙塞里：昼圣墨２＆２摘要在岩士工程中，边坡的稳定性分析是一个十分重要的问题，它涉及到诸多工程领域如道桥工程、水利工程和建筑工程等，因此边坡稳定性问题一直是岩土工程界的一个重要问题。
传统的评价方法是安全系数法，将各种设计条件、设计指标和参数都定值化，却忽略了岩土性质参数的不确定性，与实际不相符。
近几年来，人们逐渐认识到岩土工程问题中的不确定性，将可靠性分析方法引入边坡工程的稳定性分析，用概率的方法定量的考虑了实际存在的种种不确定性因素，因而更能客观定量的反映边坡的实际安全性。
蒙特卡罗数值模拟方法是求解失效概率和可靠度指标一种相对精确的方法。
本文采用可靠度分析的蒙特卡罗方法对边坡稳定可靠度进行了分析，并以工程实例为例，讨论了土性参数的均值和变异性及变量之间的互相关性等对可靠指标的不同影响，编制了相应的程序，研究了其中的规律性，所取得的结论对今后的边坡可靠性分析很有参考意义。
关键词：边坡稳定；可靠性分析；蒙特卡罗方法；可靠度。
塑型查堂璺圭兰堡笙茎．一——ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｇｅｏｌｏｇｉｃａｌｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｉｔｉｓａｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｂｌｅｍｔｈａｔｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｌｏｐｅ．Ｉｔｉｎｖｏｌｖｅｓａｇｒｅａｔｄｅａｌｏｆｐｒｏｊｅｃｔｆｉｅｌｄｓ，ｓｕｃｈａｓｐｒｏｊｅｃｔｏｆｈｉｇｈｗａｙａｎｄｂｒｉｄｇｅ，ｔｈｅｈｙｄｒｏｌｏｇｉｃａｌａｎｄｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌｗｏｒｋ，ｅｔｃ・Ｓｏｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｌｏｐｅｈａｓｂｅｅｎａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｔｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｉｌｐｒｏｊｅｃｔｃｉｒｃｌｅｏｆｒｏｃｋａｌｌｔｉｍｅ．Ｉｎｓｌｏｐｅｐｒｏｊｅｅｔ，ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｅｖａｌｕａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｆａｃｔｏｒｏｆｓａｆｅｔｙｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｔｒｅａｔｓｖａｒｉｏｕｓｋｉｎｄｓｏｆｄｅｓｉｇｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｄｅｓｉｇｎｉｎｄｅｘａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒａｓｆｉｘｅｄｖａｌｕｅｓ。
基于蒙特卡洛模拟的结构可靠性分析应用
；
譬 ；
ｊ
◇
４； １０ ｋ ０ 奠
； ｌ ； ＇ ｙＯ
ｃ
。 ｐ
基 于蒙特卡洛模拟 的
结 构 可 靠 性 分 析 应 用
● 陈龙
蒙特卡洛 方法 （Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ Ｍｅｔｈｏｄ），也 称计算 机随机模 拟方法 ，是二十世纪 四十年代 中期随着科学技术 的发展和 电子计算机的发明而被提 出的一种 以概率统计理 论为基础的数值计算方法，最早被用于研制原子弹的 “曼 哈顿计划 ”计划 ，现也被用于求解结构可靠性 问题 。因其 具有不受 限于功能 函数 的复杂性特征 ，随机 变量 的维度也 与函数的收敛速度无关 ，且试验次数越 多，结果越精确 ， 借助于现在 的计算机技术 ，也使得蒙特卡洛法用于结构 可 靠性计算成为 了可能并得到 了广泛 的普及 。 目前结构设计 可靠性往往只是针对框架 ，将概率统计学 引入 到结构 可靠 性 中，实际上形成 了一个全新 的结构设计理念 ，既是结 构 的抵抗力不是 总大于荷载效应 ，所有工程 结构都是在 一定 失效风 险下运行 的，结构可靠性 的理论 中 ，设计人 员所 要 做 的是保证结构失效概率 处于标准值 以下 ，将 蒙特 卡洛模 拟应用于结构可靠性 问题 的研究 回避 了可靠性 分析 中存在 的复杂 的数学 问题 ，也解决 了结构 可靠性研 究中存在的最 大 的问题 。
ｉＶ＝ （ ｔ）
（１０）
ｔ／． 为变异系数 ，由以下公式进 行计 算 ：
＝
虽然这 种计 算结 构可 靠性 方法较 为常用 ，当然 ，也 存在其局限性 ，当极限函数方程ｇ（ ， ．．．…五 ）中，五 变
量间没有任何联 系 ，也有其他的 方法可用于计算可 靠性 指 数 ，例 如Ｈａｓｏｆｅｒ—Ｌｉｎｄ所 提出 的可 靠性指数 的计 算 方法 便是其 中之一 。
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E Pˆ f
1 N
E
N
IF (xj )
j1
E IF ( x j )
Pf
EIF (x) IF
E Pˆf IF
1 N
N
IF ( x j ) Pˆf
j1
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率估计值的方差可以通过对式(1)两边求方差得如下：
Var
Pˆf
Var
1 N
N j 1
如下
将可靠性灵敏度定义式做如下变换，可使可靠性灵敏度变 成数学期望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 数值模 拟来估计可靠性灵敏度。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
Pf
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF ( x) f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn E[IF ( x)]
式中，I
F
(
x)
1, 0,
xF xF
为失效域指示函数；Rn为n维变量空
间；E[.]为数学期望算子。
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率为失效域指示函数的数学期望，依据大数定律，失 效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值 来近似。
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
具有n设计变量的机械系统的功能函数可以表示为
Z g( x) g(x1, x2, ..., xn )
则极限状态方程g(x1, x2, …, xn)=0将结构的基本随机变
量空间分为失效域和可靠区域两部分。
2 机械可靠性
失效概率Pf可表示为
Pf
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf
m N
,
V
ar
Pˆf
Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
3 Monte Carlo 可靠性分析
Ⅰ型极小值 分布
mu --mean parameter
上式表明样本均值
1 n
n i1 xi
是依概率收敛于母体的均值
μ
的。
3 Monte Carlo 可靠性分析
另外，设随机事件 A 发生的概率 P(A), 在n次独立试验中， 事件A发生的频率为m，则随机事件A发生的频率W(A)=m /n, 对于任意ε>0，有
lim P n
mi
N
j1 f X ( x j )
(k ) xi
x x j
xj是按联合概率密度 函数fX(x)抽取N个样 本中的第j个样本。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
当 x为相互独立的n维正态随机变量时
f X ( x) f X1 (x1) f X2 (x2 )
(对上式的求和)
2 机械可靠性
Pf P(Z 0)
fR (r) fS (s)drds
f
S
(
xS
)
xS
f
R
(
xR
)dxR
dxS
rs
FR (xS ) fS (xS )dxS
同理，也可以求得失效概率的另一种表达式
Pf
P(Z 0)
f
R
(
xR
)
xR
fS (xS )dxS
θ(h) xi
(i=1, 2, …, n; k=1, 2, …, mi)，其中mi为第i个变量xi
的分布参数的总数) 的偏导数，将失效概率的积分公式对分
布参数
所P示X(fh,i) ：
求导数，便可以得到可靠Px(ifk性) 灵敏度
F
f X
(x
(h) X ,i
)dx
Pf
y( x)0 fX ( x)dx
由式(1)可以看出，失效概率估计值的随机样本xj (j=1, 2, …, N)的函数，因此也是一个随机变量。为了对计算出的的收敛
性有一个清楚的认识，有必要对的方差进行分析。
对式(1)两边求数学期望，可得失效概率估计值 Pˆf 的期望E Pˆf 如下所示：
E
Pˆf
E
1 N
N
IF (xj )
j1
➢将随机向量样本xj代人极限
状态方程，并根据状态指示函
数IF(xj)进行累加。
➢求得失效概率估计值 Pˆf
➢估计失效概率估计值 Pˆf 的 方差及变异系数。
开始
设置抽样样本数N， 初始值m=0, j=0
j=j+1
由概率密度函数fX(x)参数随机样本点xj 将样本xj 代人功能函数，计算功能函数值g(xj)
Pf对基本随机变量分布参数θx的偏导数予以表达，即。可
靠性灵敏度反应了基本变量分布参数对失效概率的影响程 度，无量纲正则化的可靠性灵敏度可以给出基本变量分布 参数对可靠度的重要排序。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
5.1 Monte Carlo 可靠性灵敏度估计的计算公式
可靠性灵敏度为失效概率 Pf 对基本随机变量 xi 的分布参数
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
式中，f(x1, x2, …, xn) 是基本随机变量x=[x1, x2, …, xn]T的
联合概率密度函数。若基本随机变量是相互独立的，则有
Pf
g( x)0 f X1 (x1) f X2 (x2 ) f Xn (xn )dx1dx2 dxn
mu --location pa
sigma --standard deviatio rameter
由n 均pa值ra和m方ete差r 求Ⅰ型极小值分布的s分ig布m参a 数--scale p
arameter
X aX bX , 0.577...
aX X bX , 0.577...
X bX 6
x
机械系统 构件分布参数
✓应力是指对产品功能有影响的各种因素，比如机械应力、变形、 ✓强度是指产品承受应力的能力，比如机械强度、刚度、抗裂度等
2 机械可靠性
假定机械系统的强度随机变量 xR，应力随机变量为 xS，机
械系统极限状态函数（功能函数）为
Z g(xR , xS ) xR xS
极限状态的定义为：整个机械系统的一部分超过某一特定状 态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态为该功 能的极限状态。
Var Pˆf
1 N
1
(
Pˆf
Pˆf2 )
进而得到估计值的变异系数为
Cov(Pˆf )
Var[Pˆf E[Pˆf ]
]
1 Pˆf (N 1)Pˆf
3 Monte Carlo 可靠性分析
Pˆf
1 N
N
IF (xj)
j 1
Var
Pˆf
Var
1 N
N
IF (xj )
j 1
xj相互独立
Var Pˆf
样本xj与母体 x独立同分布
E Pˆ f
1 N
E
N j1
IF (xj )
E IF ( x j )
Pf
3 Monte Carlo 可靠性分析
由上式可知，E Pˆf Pf ，即为Pf的无偏估计
在数值模拟的过程中，以指示函数IF(x)的样本均值 IF 近似代 替E[IF(x)], 则失效概率估计值的期望可以近似表达为
bX X 6
5 Monte Carlo 可靠性分析
aX X bX , 0.577...
bX X 6
5 Monte Carlo 可靠性分析
采用向量运算代替循环提高Matlab计算效率
4 可靠性灵敏度
可靠性灵敏度定义为基本随机变量分布参数的变化引起失 效概率变化的比率，在数学上可靠性灵敏度是由失效概率
Pf
(k ) xi
fX ( x)dx
(k)
xi
fX ( x)
(k)
xi
f
1 X(
x)
f
X
(
x
)dx
Rn
IF
(
x)
fX ( x)
(k ) xi
1 fX (
x)
fX
(
x)dx
E
IF fX
(x) (x)
fX ( x)
(k ) xi
采用样本均值代替总体
均值
Pˆf 1 N IF ( x j ) fX ( x)
IF
(
x
j
)
x
j独立
1 N2
N
Var IF ( x j )
j1
xj与母体x独立同分
布
Var
Pˆf
1 N
VarIF (x)
(2)
由于样本方差依概率收敛于母体的方差，所以可以用IF(.)的样
本方差
S 2
1
N
1
N j1
I
2 F
(
x
j
)
NI
2 F
3 Monte Carlo 可靠性分析
指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
xS
fR (xR )dxR
应力xS落在小区间dxS内，同时强度xR小于应力xS的概率
为P xR xS , xS dxS
fS (xS )dxS
xS
fR (xR )dxR
根据可靠度的定义，对于应力xS所有的可能值强度xR均小于应