2016年高三数学(理)创新设计资料包探究课二_图文
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修1-2)课件第3章数系的扩充与复数的引入3.1
规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实 部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋ 3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i) ＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
m2－2m＝－1，
解得 m＝1；
m2＋m－2＝0，
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
m2－2m＝0，
解得 m＝2.
m2＋m－2＝4，
综上可知m＝1或m＝2.
1234
1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则 实数a，b的值分别是_±___2_，__5_.
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.
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课堂小结 1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复 数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用 两个复数相等的条件进行判断.
a2＝2， 解析 由
－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
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2.在复数集中，方程x2＋2＝0的解是x＝__±__2_i___.
1234
3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为 ___0_____.
m(m＋1)＝0， 解析 由题意知
m2－1≠0， ∴m＝0.
要点二 复数的分类m2－m－6源自例2 求当实数m为何值时，z＝
创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第11节导数在研究函数中的应用课件理新人教A版
• (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立 实际问题的数学模型，写出相应的函数关系 式y＝f(x)并确定定义域；
• (2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
• (3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值 点；
• (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际 问题中作答．
1．(2015·哈尔滨模拟)函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为( )
当 a＝0 时，f′(x)＝1，函数在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，函数 f(x)的单调递增区间是－∞，－a2＋a 1，单调 递减区间是－a2＋a 1，＋∞；
(2)根据(1)，当 a>0 时，只要－a2＋a 1≤－4，即 a2－4a＋1≥0， 解得 0<a≤2－ 3或者 a≥2＋ 3. 当 a＝0 时，函数在(－4,4)单调递增；
________；
极大值点
• 则点极大x＝值b叫做函数y＝f(x)的_____极_值__点_，f(b) 叫做函数y＝极值f(x)的_______；极小值点与极大 值点统称为_______，极小值与极大值统称为 _____．
• (3)求可导函数极值的步骤
• ①求导数f′(x)，写出导数的定义域；
• ②求方程f′(x)＝0的根；
________．
• (2)单调性的应用
• 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x) 在该区间上不变号．
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何2.2
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥ 平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由. 解 棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
理由如下： 由已知条件知D→S是平面 PAC 的一个法向量， 且D→S＝ 22a，0， 26a，C→S＝0，－ 22a， 26a，
k∈R .
2.空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝ (a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv.
第3章——
3.2.2 空间线面关系的判定
[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系. 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三 垂线定理). 3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
跟踪演练1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都 为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的 点，且CN＝14 CC1.求证：AB1⊥MN. 证明 方法一 (基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
B→C＝－ 22a， 22a，0. 设C→E＝tC→S，则B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋tC→S
＝－ 22a， 22a1－t， 26at， 而B→E·D→S＝0⇔t＝31. 即当 SE∶EC＝2∶1 时，B→E⊥D→S. 而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
2016年高三数学(理)创新设计资料包3-1
f′(x)＝________ －sin x f′(x)＝____ ex axln a f′(x)＝________
1 f′(x)＝____ x 1 xln a f′(x)＝______
基础诊断 考点突破 课堂总结
4. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
f′(x)±g′(x) ； (1)[f(x)±g(x)]′＝_______________ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)· g(x)]′＝____________________
答案
D
基础诊断
考点突破
课堂总结
3．(2015· 保定调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切 线的斜率为
1 C. e
(
)
1 A．e B．－e D．－ e 1 解析 y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝ ，设切点为 x 1 1 (x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝ ，切线方程为 y－ln x0＝ (x－ x0 x0 x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 1 故此切线的斜率为 . e
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练1】 分别求下列函数的导数：
1 1 (1)y＝ ＋ ； 1＋ x 1－ x 2x (2)y＝sin ； 2 ln（2x＋1） (3)y＝ . x
解 (1)∵y＝ 1 1 2 ＋ ＝ ， 1＋ x 1－ x 1－x
0－2（1－x）′ 2 ∴y′＝ ＝ 2 2. （1－x） （1－x）
第 1讲
导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观 理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常 1 数)，y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本 x 初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的 导数．
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 探究课5
把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面
体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既 有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几
何体体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试
题．从内容上看，主要考查对定义、定理的理解及符号语 言、图形语言、文字语言之间的相互转换；从能力上来 看，主要考查考生的空间想象能力和逻辑思维能力．
第四步：转化为线面平行． 第五步：反思回顾，检查答题规范．
证明面面垂直问题
第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一 个平面内的一条直线．
第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内
的两条相交直线． 第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面． 第四步：转化为面面垂直． 第五步：反思回顾，检查答题规范．
法二
如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.
(4 分)
因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HF∥AB， (6 分) 又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点， 所以 EC1 綉 AH， 所以四边形 EAHC1 为平行四边形， 所以 C1H∥AE，又 C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A， 所以平面 ABE∥平面 C1HF，又 C1F⊂平面 C1HF， 所以 C1F∥平面 ABE. (10 分) (8 分)
何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要 注意几何体中数据的正确利用．
【训练 2】 如图 1，在边长为 1 的等边△ABC 中，D，E 分别 是 AB，AC 上的点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起， 得到如图 2 所示的三棱锥 A 2 －BCF，其中 BC＝ 2 .
2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.3 导数在研究函数中的应用
第1课时函数的单调性与导数[核心必知]1，.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P26的内容，回答下列问题．(1)观察教材P22图1.3－1，，回答下列问题：①函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h′(t)>0．②函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)<0．(2)观察教材P23图1，.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数；②在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数；③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－1x2<0，y(x)是减函数．(3)观察教材P26图1.3－7，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．(4)观察函数f(x)＝错误!，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0,1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f′(x)在(0,1)和(1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f′(x)在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．2．归纳总结，核心必记(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：(2)一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．[课前反思](1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？；(2)函数图象的变化趋势与导数绝对值的大小有什么关系？．讲一讲1．(1)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )[尝试解答] (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．[答案] (1)D (2)D研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．练一练1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：选D因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，所以f′(x)<0.(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是________．解析：由图象可知，f′(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，故f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．答案：(－∞，0)，(2，＋∞)[思考1]若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．[思考2]若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？名师指津：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．[思考3]如何判断(证明)可导函数f(x)在(a，b)上的单调性？名师指津：利用f′(x)的符号，规律方法同[思考2]．讲一讲2．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[尝试解答]由于f(x)＝e x－x－1，所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数， 当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．利用导数判断函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)得出结论． 练一练2．试证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，2)上是单调递增函数．证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. 由于0<x <2， 所以ln x <ln 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，所以函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数．[思考] f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集与函数f (x )的单调区间有什么关系？名师指津：f ′(x )>0的解集对应函数f (x )的单调递增区间；f ′(x )<0的解集对应函数f (x )的单调递减区间．讲一讲3．(链接教材P 24－例2)求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . [尝试解答] (1)f ′(x )＝1－3x 2， 令1－3x 2>0，解得－33<x <33. 因此，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3．3，33.令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x .因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 练一练3．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x （x －2）－e x （x －2）2＝e x （x －3）（x －2）2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).讲一讲4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.讨论f (x )的单调区间．[思路点拨] 由题意，可先求f ′(x )，然后根据a 的取值情况，讨论f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集即可．[尝试解答] f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3. 当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数． 当a >0时，f (x )在⎝⎛⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．练一练4．(1)本讲中f (x )不变，若f (x )为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)本讲中f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，求a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)本讲中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1，1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≤3,所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)本讲中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3．a．3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.(5)本讲中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0，3)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1函数与导函数图象间的关系1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：选A由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是()解析：选B选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的单调递增区间为________．解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin xx 2.由于x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0. 故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax ，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax <0，得0<x <－a ，所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上减 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增．2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 第2课时 函数的极值与导数[核心必知]1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 29的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 27图1.3－8，函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y ＝h (t )在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y ＝h (t )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值比它附近的函数值都大；此处的导数为0；在这个点的附近，左侧h ′(t )>0，右侧h ′(t )<0．(2)观察教材P 27图1.3－10和图1.3－11，函数y ＝f (x )在a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y ＝f (x )在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝f (x )在a ，c ，e ，g 的函数值比它附近的函数值都小，在b ，d ，f ，h 处的函数值比它附近的函数值都大；y ＝f (x )在这些点的导数值都是0；在a ，c ，e ，g 点的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0；在b ，d ，f ，h 点的附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0．2．归纳总结，核心必记 (1)极值点与极值 ①极小值点与极小值如图，函数f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[问题思考](1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P94图3.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．_x1、x3是极大值点．(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．[课前反思](1)函数的极大值、极小值的定义是：；(2)函数的极大值点、极小值点的定义是： ； (3)求函数y ＝f (x )的极值的方法是什么？．讲一讲1.(链接教材P 28－例4)求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2e－x;(2)y ＝ln x x.[尝试解答] (1)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.(2)函数y ＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－ln x x 2.令y ′＝0，即1－ln x x 2＝0，得x ＝e. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由表可知，当x ＝e 时，函数有极大值1e.求可导函数f (x )的极值的步骤为：(1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f ′(x )；(3)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(4)列表：方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间 内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．练一练1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x ∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)极小值当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.讲一讲2．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [尝试解答] ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：)由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．练一练2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，(1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a ＝0， ①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，② 又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．讲一讲3．求函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)的极值．[思路点拨] 分类讨论a 取不同值时，函数的单调性，进而求极值． [尝试解答] f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a . 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：)f )f (∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论．练一练3．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)，递增区间为(1－m ，1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m ) ＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求函数的极值，见讲1； (2)已知函数的极值求参数，见讲2； (3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反，这是本节课的易错点．课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上， f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－3 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3. 8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫－13，1，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内递减，在⎝⎛⎭⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内． 2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ，∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．第3课时函数的最大(小)值与导数[核心必知]1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P29～P31的内容，回答下列问题．(1)观察教材P29图1.3－13，回答下列问题：①你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？提示：极大值有f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有f(x1)，f(x3)，f(x5)．②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．(2)观察教材P30图1.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)观察教材P30图1,3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值.(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．2．归纳总结，核心必记(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[问题思考]在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a ，b ]上一定存在最值和极值吗？在区间(a ，b )上呢？提示：在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f (x )在[a ，b ]上是单调的，此时f (x )在[a ，b ]上无极值；如果f (x )在[a ，b ]上不是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上有极值．当f (x )在(a ，b )上为单调函数时，它既没有最值也没有极值；当f (x )在(a ，b )上不是单调函数时，它有极值但不一定有最值．[课前反思](1)如何求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值？(2)函数f (x )的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？.讲一讲1，.(链接教材P 30－例5)求下列各函数的最值． (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x(x <0)．[尝试解答] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2.又因为f (x )在区间端点处的取值为 f (－3)＝0，f (3)＝－18. 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 练一练1．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1，1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32.。
第二课时 频数分布直方图与频率分布直方图
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课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
[微思考] 1.为什么要对样本数据进行分组？
提示 不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从 而可估计总体的分布特征. 2.频数、频率分布直方图有什么优缺点？ 提示 (1)优点：可以直观、形象地反映样本的分布规律，清楚地看出数据分布 的总体趋势. (2)缺点：从频数、频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率 (或频数)分布直方图后，原有的具体数据信息就抹掉了.
13
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
3.在柱形图中，若纵轴表示频数(或频率)，这种柱形图与频数(或频率)分布直方 图有什么本质区别？ 提示 柱形图中，纵轴表示原始数据的频数或频率，频数分布直方图的纵轴表 示区间对应的频数，频率分布直方图的纵轴表示的不是频率，而是区间对应的 频率与区间宽度之比.
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
拓展深化 [微判断]
频数 1.在频率分布直方图中，相应的频率＝样本容量.( √ ) 2.在频数或频率分布折线图中，折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义
的.( √ ) 3.上节所学的统计图没有丢失原始数据，频数或频率分布直方图看不出原始数
据.( √ )
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课前预习
课堂互动
@《创新设计》
4
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
问题 1.直接用前面提到过的统计图来表示上述数据，方便可行吗？ 2.怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况(比如指出哪个区间的数据比 较多，哪个区间的数据比较少)? 提示 1.由于数据太多，直接用前面提到的统计图表示太麻烦也无必要. 2.将数据按照一定的方式进行“压缩”，然后再用图来直观地表示压缩后的数据. 因为我们关心的是数据的大致分布情况，因此可以事先确定出几个区间，然后统 计落在每一个区间内的数的个数，最后将统计的结果用图示表示.
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何2.1
1234
3.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为 平面γ的法向量的是___②_____. ①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8) 解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.
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4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向
[预习导引] 1.直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 方向向量 . 2.平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那 么称向量n 垂直于平面α，记作 n⊥α ，此时，我们把向量n 叫做平面α的 法向量.
要点一 直线的方向向量及其应用 例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向 量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝____2____. 解析 由题意，得a⊥b， 所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0， 所以m＝2.
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 n·A→B＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0， n·A→C＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0. 于是得 y＝abx，z＝acx. 不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab. 因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量.
规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求 解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方 程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保 证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴.
跟踪演练2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ 12，求平面SCD与平面SBA的法向量. 解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以A→D、A→B、A→S的方向为 x 轴，
2016年高三数学(理)创新设计资料包2-9
随x的增大 逐渐表现为 y轴 平行 与_____
随x的增大逐 随n值变化 x轴 渐表现为与____ 而各有不同 平行
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
基础诊断 考点突破 课堂总结
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(× ) (×) (×) (√ )
y元，则y关于x的解析式为
基础诊断
考点突破
课堂总结
0，0＜x≤800， y＝5%（x－800），800＜x≤1 300， 10%（x－1 300）＋25，x＞1 300. 若 y＝30 元，则他购物实际所付金额为________元．
解析
若x＝1 300元，则y＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，
(2)第 x 个月旅游消费总额为 （－3x2＋40x）（35－2x）（x∈N*，且1≤x≤6）， g(x)＝ 160 2 （－ 3 x ＋ 40 x ） · （x∈N*，且7≤x≤12）， x 即
3 2 * 6x －185x ＋1 400x（x∈N ，且1≤x≤6）， g(x)＝ * － 480 x ＋ 6 400 （ x ∈ N ，且7≤x≤12）.
答案
B
基础诊断 考点突破 课堂总结
考点三 分段函数模型 【例 3】 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人 1 数的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)＝ x(x 2 ＋1)(39－2x)(x∈N*，且 x≤12)．已知第 x 个月的人均消费 额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)＝ 35－2x （x∈N*，且1≤x≤6）， 160 * （ x ∈ N ，且7≤x≤12）. x
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何2.3
3.二面角
(1)二面角的取值范围：[0，π].
(2)二面角的向量求法：
①若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异
面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，
C(1,1,0)，D21，0，0，S(0,0,1). ∴A→S＝(0,0,1)，C→S＝(－1，－1,1).
显然A→S是底面的法向量，它与已知向量C→S的夹角 →→
β＝π2－θ，
故有 sin θ＝cos β＝|AA→SS|·|CC→SS|＝1×1 3＝ 33，
量
A→B与
→ CD
的夹角.
②设n1、n2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1 与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.
要点一 求两条异面直线所成的角 例1 如图所示，三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1 ⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝ OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的 大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，
因为△DBA1和△BDC1都是正三角形， 所以A1E⊥BD，C1E⊥BD， 故∠A1EC1 是二面角 A1－BD－C1 的平面角，也就是E→A1与
E→C1的夹角. 又 E(21，21，0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)， 可得E→A1＝(12，－21，1)，E→C1＝(－12，12，1).
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量 夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
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构建模板
求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤
第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)．
第二步：求函数f(x)的导数f′(x)． 第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数 分类讨论． 第四步：求解(令f′(x)＞0或令f′(x)＜0)．
第五步：下结论．
探究提高
(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值
等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)
＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．若
含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨 论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而 解．分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式 是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的 是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正 负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的 正负，目的是比较根的大小．(2)若已知f(x)的单调性，则转化
一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念．
【例2】 已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0，1]上单调递减 且满足f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)求a的取值范围．
(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最 小值． 解 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1， 则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex， 依题意对于任意x∈[0，1]，有f′(x)≤0. 当a＞0时，
从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e
＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e. (2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax ＝(2x－ax2)e－ax. ①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0. (5分)
所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区
导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性．这类问题
主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区 间；(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围．
【例1】 (12分)(2015· 济南模拟)已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处 的切线方程． (2)讨论f(x)的单调性． 解 (1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x ＝(2x－x2)e－x， 所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.
x x
1 1 1 x－1 令 g(x)＝x＋ln x(x＞0)， 则 g′(x)＝－ 2＋x＝ 2 (x＞0)， 由 g′(x) x x ＞0 得 x＞1，故 g(x)在(0，1]上为单调递减函数，在[1，＋∞) 上为单调递增函数，此时 g(x)有最小值为 g(1)＝1，但 g(x)无最 大值．故 f(x)不可能是单调递减函数． 若 f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，则 f′(x)≥0 在(0，＋∞) 1 1 上恒成立，即 －a＋ln x≥0，所以 a≤ ＋ln x，由上述推理可 x x 知此时 a≤1.故 a 的取值范围是(－∞，1]．
为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题．
【训练1】 已知函数f(x)＝exln x－aex(a≠0)．
(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ey －1＝0垂直，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的
取值范围．
1 1 x 解 (1)f′(x)＝e ln x＋e ·x－ae ＝(x－a＋ln x)ex(x＞0)， 1 f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e· ＝－1 得 a＝2. e 1 (2)由(1)知 f′(x)＝(x－a＋ln x)ex(x＞0)， 若 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，则 f′(x)≤0 在(0， 1 1 ＋∞)上恒成立，即x－a＋ln x≤0，所以 a≥x＋ln x.
间(0，＋∞)上为增函数．
2
(7分)
2 ②当 a＞0 时，由 2x－ax ＜0，解得 x＜0 或 x＞ ， a 2 2 由 2x－ax ＞0，解得 0＜x＜ . a 所以当 a＞0 时，函数 f(x)在区间(－∞，0)， 2 ，＋∞上为减函数， a 2 在区间0，a上为增函数． (9 分) 2 2 ③当 a＜0 时，由 2x－ax ＜0，解得 ＜x＜0，由 2x－ax2＞0， a 2 解得 x＜a或 x＞0.
题占据，所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题 的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在 每年的高考试题中都有体现．另外，在压轴题中常考查导数
与含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用等，且难
度往往较大．热点一ຫໍສະໝຸດ 利用导数研究函数的单调性问题
函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用 导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用
热点二
利用导数研究函数的极值、最值问题
用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之 一．对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，
需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导
数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才 是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是
所以，当 a＜0 时，函数
2 f(x)在区间－∞，a，(0，＋∞)上为增
2 函数，在区间a，0上为减函数．
(11 分)
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递增； 2 2 当 a＞0 时，f(x)在(－∞，0)，a，＋∞上单调递减，在0，a上 单调递增； 2 2 当 a＜0 时，f(x)在a，0上单调递减，在－∞，a，(0，＋∞)上 单调递增． (12 分)