2020届 三湘名校教育联盟 高三第二次大联考数学(理)试题(解析版)

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 【详解】 解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =.故选:C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 3332f -⎛===- ⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C【解析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角. 【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a ba b a b⋅=r r r r r r 进行计算.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（）A．45 B．60 C．75 D．100【答案】B【解析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意12315234S⨯⨯⨯=，60S=．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A【解析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种C ．480种D ．600种【答案】B【解析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ） A ．B ．4C ．5D ．【答案】D【解析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==.1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B CD【答案】D【解析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7ca== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B【解析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．【答案】2【解析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______．【答案】23【解析】由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【详解】解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-由22211x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22132y x +=所以3,223a a ==故答案为:3【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 15．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则12x x +=_______；12sin()x x -=_______． 【答案】23π45-【解析】求出()sin(2)6f x x π=-在()0,π 上的对称轴，依据对称性可得12x x +的值;由2123x x π=-可得121sin(cos(2)6)x x x π-=--，依据13sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求出1cos(2)6x π-的值. 【详解】 解：令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈ 因为120x x π<<<，所以12,x x 关于3x π=对称.则122233x x ππ+=⨯=. 由2123x x π=-，则121112sin(sin(2)sin(2)cos(2)36)26x x x x x ππππ-=-=--=-- 由120x x π<<<可知，1112,6612x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为13125<< ，所以12662x πππ<-<，则14cos(2)65x π-==，即124sin()5x x -=-故答案为: 23π;45-. 【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断126x π-的取值范围，导致求出14cos(2)65x π-=±.在求()()sin f x A x =+ωϕ的对称轴时，常用整体代入法，即令,2x k k Z πωϕπ+=+∈ 进行求解.16．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】28π【解析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=o ，从而在平面PFG 中建立坐标系，则,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则23sin 603,22319PF PG =⨯==-=o设PAD ∆的外接圆圆心为1O，则1O 在直线PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯，120PFG ∴∠=o .在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于x 轴的直线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y ，则113333,,,2222O P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1OO PF ⊥，所以3332213122y -=+ 解得23y =.则2233328123222PO ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以球的表面积为228428ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是n a 与1na 的等差中项. （1）证明：{}2n S 为等差数列，并求n S ； （2）设11n n nb S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足5n T ≥的最小正整数n 的值.【答案】（1）见解析，=n S （2）最小正整数n 的值为35. 【解析】（1）由等差中项可知12n n nS a a =+，当2n ≥时，得1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理后可得2211n n S S --=，从而证明{}2n S 为等差数列，继而可求n S . （2）n b ==，则可求出1n T =15≥，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值. 【详解】解析：（1）由题意可得12n n n S a a =+，当1n =时，11112S a a =+，∴211a =，11a =， 当2n ≥时，1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理可得2211n n S S --=，∴{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴()2211n S S n n =+-=，=n S .（2）由（1）可得n b ==，∴15n T =≥L ，解得35n ≥，∴最小正整数n 的值为35. 【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了n a 与n S 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有n a 与n S 的递推关系时，常代入11,1n nn a n a S S -=⎧=⎨-⎩ 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，190BAC BAC ∠=∠=︒，侧面11BAA B 是菱形.（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A BC C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）22211【解析】（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，通过证明1AOA AOB ∆≅∆，得1A O AO ⊥，结合1A O BC ⊥可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设2BC =，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 和平面1BCC 的法向量，继而可求二面角的余弦值. 【详解】解析：（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，由已知可得AO BC ⊥，1A O BC ⊥，112AO AO BC OB ===， ∵侧面11BAA B 是菱形，∴1AB AA =，1AOA AOB ∴∆≅∆，190AOB AOA ∴∠=∠=︒，即1A O AO ⊥，∵AO BC O =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1A BC .（2）设2BC =，则11AO AO BO OC ====，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()111,0,1AA CC ==-u u u r u u u u r，1(1,1,1)C --，()11,2,1BC =--u u u u r ，()1,1,0BA =-u u u r，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，则20x y z x y --+=⎧⎨-=⎩，令1x =得()1,1,3m =u r . 同理可求得平面1BCC 的法向量()1,0,1n =r ，∴222cos ,11112m n <>==⨯u r r. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.【答案】（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】 解：（1）()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+()()()()2226047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦-()22 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()03300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望30.7 2.1EX =⨯=（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， 所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2.【解析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+. ∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．已知函数()1ln f x a x x=+. （1）讨论()f x 的零点个数；（2）证明：当02e a <≤时，()12xe f x ->.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）求出()21'ax f x x -=，分别以当0a <，0a =，0a >时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令()ln 1h x ax x =+，结合导数求出()11()12a h x h e e ≥=-+≥；同理可求出()112x g x xe -=满足()()112g x g ≤=，从而可得11ln 12x ax x xe -+>，进而证明()12xe f x ->.【详解】解析：（1）()21'ax f x x -=，()0,x ∈+∞， 当0a <时，()'0f x <，()f x 单调递减，10f a e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，1110a af e e ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有1个零点； 当0a =时，()f x 无零点；当0a >时，由()'0f x <得1(0,)x a ∈，由()'0f x >得1(,)x a ∈+∞，∴()f x 在1(0,)a单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴()f x 在1x a =处取得最小值1()ln f a a a a=-+， 若ln 0a a a -+>，则a e <，此时()f x 没有零点； 若ln 0a a a -+=，则a e =，此时()f x 有1个零点； 若ln 0a a a -+<，则a e >，()10f >，求导易得21()0f a >，此时()f x 在211(,)a a，1(,1)a上各有1个零点. 综上可得0a e ≤<时，()f x 没有零点，0a <或a e =时，()f x 有1个零点，a e >时，()f x 有2个零点.（2）令()ln 1h x ax x =+，则()()'1ln h x a x =+，当1x e >时，()'0h x >；当10x e<<时，()'0h x <，∴()11()12a h x h e e ≥=-+≥. 令()112x g x xe -=，则()()11'12x g x e x -=-， 当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <，∴()()112g x g ≤=， ∴()()h x g x >，11ln 12x ax x xe -+>，∴11ln 2x e a x x -+>，即()12xe f x ->.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-=【解析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164xy +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=， 直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l 的距离32543d ==+.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明： （122211()2a b a b+≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。