三湘名校教育联盟2020届高三
三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考理科数学试卷(word版,含解析)
三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 22*{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ⊆B,则a 的最小值为 A.1B.2C.3D.42.设i 是虚数单位，5,32,aiai a i+∈=-+R 则a= A. -2B. -1C.1D.23.已知函数32,0(),log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则3(())3f f =2.2A1.2B3.log 2C - 3.log 2D4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45°B.60°C.90°D.120°5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。
问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。
A.45B.60C.75D.1007.要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像A.向左平移2π个单位B.向左平移712π个单位 C.向右平移12π单位 D.向右平移3π个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有A.120种B.240种C.480种D.600种9.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC 的面积为3,2,则c= AB.4C.5D 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=A. -1B.0C.1D.211.已知12F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点,O 为坐标原点,若122,||||OA BF AF BF ⊥=,则C 的离心率为A.2BCD 12.已知A,B 是函数2,0()ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A 、B 处的切线重合,则实数a的最小值是A. -11.2B -1.2C D.1二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。
湖南三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考文科数学试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，UA =（ ）A. {}2,7B. {}1,2,7C. {}2,7,8D. {}1,2,7,8【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得UA .【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以UA ={}2,7.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数12iz i-=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z ，进而求得z 对应点所在象限.【详解】依题意()()()122i i z i i i -⋅-==--⋅-，所以2z i =-+，对应点为()2,1-，在第二象限. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3. 已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A.2B.12C. 3log 2-D. 3log 2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式先计算3f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再计算3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】12331=log log 32f -==-⎝⎭，所以121=222f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题.4. 若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为（ ）B. 2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到221a m ，2b m =，1c =，从而得到2m =，再求长轴长即可.【详解】因为椭圆C ：22211x y m m +=-，焦点()0,1，所以221a m ，2b m =，1c =，即211m m ，解得2m =或1m =-（舍去）.所以a ==故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.5. α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用线面判定定理、面面平行的性质定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，若//αβ，则//m β，所以//αβ是//m β的充分条件；若//m β不能推出//αβ，故不是充分条件∴//αβ是//m β的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了线面、面面之间的关系，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）A. 45B. 60C. 75D. 100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7. 已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A.2223B.1123C.2021D.1021【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到21n a n =-，从而得到1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项法求前10项的和即可. 【详解】因为511113124271252a a a d a a a a d d -=+-==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和等于11111111101+12335192122121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本题主要考查裂项法求和，同时考查等差数列的通项公式，属于简单题.8. 以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据方差表示的意义选出正确选项.【详解】方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B 选项. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图估计方差的大小，属于基础题. 9. 设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ） A. 2e - B. 1e-C. 2D. 2e【答案】D 【解析】 【分析】 利用()'fx 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x fx e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=. 故选：D【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10. 已知函数()cos |sin |f x x x =-，有下列四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 是周期函数③()f x 在[],0π-上是增函数 ④()f x 在[],ππ-上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②④D. ①③④【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=+=，所以()f x 是周期为2π的周期函数，故②正确.当[],0x π∈-时，sin 0x ≤，所以()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[],0π-上先减后增，③错误.当[],x ππ∈-时，令()0f x =，得cos sin x x =，所以tan 1x =±，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点12,44x x ππ=-=，所以④正确.综上所述，正确结论的编号有①②④. 故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题.11. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-，()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12. 正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O的球面上，AB =则1B 到平面1A BC的距离为（ ） A. 1B.65C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离.【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin 3a R R A π===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =12AA ===.在三角形1A BC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h⨯⨯=⨯，解得65h =. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．【答案】2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14. 已知向量(3,2)AB =，(5,1)AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为______． 【答案】90︒ 【解析】 【分析】利用向量夹角公式，计算出向量0AB BC ⋅=，由此判断出向量AB 与BC 的夹角为90︒.【详解】由于()2,3BC AC AB =-=-，所以()()3,22,30AB BC ⋅=⋅-=，所以向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故答案为：90【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n a S +=，则7S =______．【答案】1274【解析】 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证得数列{}n a 是等比数列，由此求得7S 的值.【详解】由于32n n a S +=，当1n =时11232,16a a ==.当2n ≥时113232n n n n a S a S --+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()11120,22n n n n a a a a n ---==≥.所以数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，所以77116112721412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：1274【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.16. 已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为__________.7【解析】 【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接2EF ，设1F A x =，根据双曲线定义可得2x a =，再由勾股定理可得到227c a =，进而得到e 的值.【详解】解：取AB 中点E ，连接2EF ， 则由已知可得12BF EF ⊥，1F A AE EB == 设1F A x =，则由双曲线定义可得22AF a x =+，12322BF BF x a x a -=--=，即2x a =，在12Rt F EF 中， 由勾股定理可得()()()2224232a ac +=，则7ce a==.7【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的定义，考查了基本运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1O 是11A C 的中点，E 是BC 的中点.（1）证明：平面1O AB ⊥平面11B EC ； （2）证明：1//C E 平面1O AB . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由1BB AB ⊥，AB BC ⊥证得AB ⊥平面11BCC B ，由此证得平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ，通过证明四边形11EFO C 是平行四边形，证得11//O F C E ，由此证得：1//C E 平面1O AB .【详解】（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1BB AB ⊥，AB BC ⊥， 又1BB BC B =，且1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B∴AB ⊥平面11BCC B ，即AB ⊥平面11B EC .因为AB 平面1O AB ，所以平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ， 则//EF AC ，12EF AC =，111//2O C AC ，1112O C AC =， 所以11//EF O C ，且11EF O C =∴11EFO C 是平行四边形，∴11//O F C E ， ∵1O F ⊂平面1O AB ，且1C F 平面1O AB ，∴1//C F 平面1O AB .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 18. 疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，选定2000个样本分成三组，测试结果如“下表:A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x ，y z +的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，求C 组应抽取多少个? （3）已知465y ≥，30z ≥，求疫苗能通过测试的概率. 【答案】（1）660x =，y z +=500（2）90（3）23【解析】 【分析】（1）根据“在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效概率”列方程，解方程求得x 的值，进而求得y z +的值.（2）根据C 组占总数的比例，求得C 组抽取的个数.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. ∴0.332000x=，∴660x =， ()20006737766090500y z +=-+++=.（2）应在C 组抽取的个数为500360902000⨯=. （3）由题意疫苗有效需满足7790200010%z ++≤⨯，即33z ≤，C 组疫苗有效与无效的可能情况有(465,35) (466,34)(467,33) (468,32)()469,31()470, 30，共6种结果，有效的可能情况有(467,33) (468,32)()469,31()470, 30， 共4种结果， ∴疫苗能通过测试的概率4263P ==. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题. 19. ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆半径为R ，面积21sin 6S R B =，()2cos 3A C -=.（1）求B ；（2）若3b =，求a c +的值.【答案】（1）23B π=（2）a c += 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和与差的余弦公式，求得()cos A C +的值，由此求得A C +的大小，进而求得B 的大小.（2）根据正弦定理求得R ，由此求得ac ，结合余弦定理列方程，求得228a c +=，化简后求得a c +的值. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得211sin sin 26ac B R B =，即2112sin 2sin 26R A R C R ⨯⨯=，∴1sin sin 12A C =， ∵()2cos cos cos sin sin 3A C A C A C -=+=， ∴7cos cos 12A C =， ∴()1cos cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=，()0,A C π+∈∴3A C π+=，23B π=. （2）2sin b R B ==，R 2113ac R ==， 由已知及余弦定理得2222292cos 1b a c ac B a c ==+-=++，228a c +=， ∴()222210a c a c ac +=++=，a c +=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y=的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2.【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=， 同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+.∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-， ∴直线AB 过定点1(,2)2.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21. 设函数()xae f x x=，0a ≠. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若22a e ≥，证明：()ln 0x f x -<. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数()'fx ，对a 分成0,0a a <>两种情况进行分类讨论，求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()ln x ae F x x x=-，利用导数证得()F x 的最大值小于零，由此证得不等式成立.【详解】（1）()'2(1)x ae x f x x-=，0x ≠， 若0a <，则当1x <且0x ≠时，()'0fx <，当1x >时，()'0f x >，∴()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 若0a <，则()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）令()ln x ae F x x x =-（0x >），则()()2'211xx x x a x e axe ae F x x x x---=-=， 当01x <≤时，()'0F x >，()F x 单调递增，∴()()10F x F ae ≤=-<，当1x >时，()()()2'1[]1x a x xF x e x a x -=-⋅--， 令()()1xx g x e a x =--，则()()2'101x g x e a x =+>-，()222220ae g e a a-=-=≥（22a e ≥），由于22a e ≥，所以222,11ae ae ≥-≥，所以，存在m 使得22222111112111ae ae m ae ae ae -+<<==+≤---.由2211ae m ae <<-得()21m e a m >-. 故取()1,2m ∈，且使()21m e a m >-，即()21m e a m -<--，而2m e e <，所以有()()2201m mg m e e e a m =-<-=-.∵()()20g m g ⋅<，∴()g x 存在唯一零点()01,2x ∈， ∴()F x 有唯一的极值点且为极大值点、最大值点()01,2x ∈， 由()00g x =可得()0001x x ea x =-，∴()0001ln 1F x x x =--，∵()()020'01101F x x x =+>-，∴()0F x 为()1,2上的增函数， ∴()()202ln 2ln 2102ae F x F <=-≤-<（22a e ≥），∴()0F x <. 综上可知，当 22a e≥时，()ln 0x f x -<. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=.（1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点,M N 到l 的距离都为3？若存在，求12θθ-的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）4ρ=，43250x y +-=；（2）存在，1243πθθ-=. 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=，直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l 的距离32543d ==+.∴由图像可知，存在这样的点,M N则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴1243πθθ-=. 【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考文科数学试题(带答案解析)
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，U A =ð（ ）A ．{}2,7B ．{}1,2,7C ．{}2,7,8D ．{}1,2,7,82．已知复数12iz i-=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 24．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为（ ）A ．3B ．2C ．22D ．235．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45 B ．60C ．75D ．1007．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11{}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．2223B ．1123C ．2021 D ．10218．以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e10．已知函数()cos |sin |f x x x =-，有下列四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 是周期函数③()f x 在[],0π-上是增函数 ④()f x 在[],ππ-上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（ ） A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O 的球面上，AB =则1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．5D第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．已知向量(3,2)AB =u u u r ，(5,1)AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为______．15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n a S +=，则7S =______．16．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为_____．三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1O 是11A C 的中点，E 是BC 的中点.（1）证明：平面1O AB ⊥平面11B EC ； （2）证明：1//C E 平面1O AB .18．疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，选定2000个样本分成三组，测试结果如“下表:已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33.（1）求x ，y z +的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，求C 组应抽取多少个? （3）已知465y ≥，30z ≥，求疫苗能通过测试的概率.19．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆半径为R ，面积21sin 6S R B =，()2cos 3A C -=. （1）求B ；（2）若3b =，求a c +的值.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.21．设函数()xae f x x=，0a ≠.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若22a e ≥，证明：()ln 0x f x -<. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得U A ð. 【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以U A =ð{}2,7.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z ，进而求得z 对应点所在象限. 【详解】 依题意()()()122i i z ii i -⋅-==--⋅-，所以2z i =-+，对应点为()2,1-，在第二象限.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log3332f-⎛===-⎝⎭，12122f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 4．D【解析】【分析】利用交点坐标求得m的值，由此求得C的长轴长.【详解】由于方程22211x ym m+=-为椭圆，且焦点()0,1在y轴上，所以22210111mmm mm m>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=⎩，解得2m=，所以a==2a=故选：D【点睛】本小题主要考查根据椭圆焦点坐标求参数，考查椭圆长轴长的求法，属于基础题.5．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．B【解析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 7．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得数列11{}n n a a +的前10项的和. 【详解】依题意等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，所以11114271252a d a a a d d +-==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭.所以数列11{}n n a a +的前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L . 故选：D 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查裂项求和法，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】根据方差表示的意义选出正确选项. 【详解】方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B 选项.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图估计方差的大小，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】 利用()'fx 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】 依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据()f x 的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=+=，所以()f x 是周期为2π的周期函数，故②正确.当[],0x π∈-时，sin 0x ≤，所以()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[],0π-上先减后增，③错误. 当[],x ππ∈-时，令()0f x =，得cos sin x x =，所以tan 1x =±，且,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点12,44x x ππ=-=，所以④正确.综上所述，正确结论的编号有①②④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12．B 【解析】 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin 3a R R A ===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =所以侧棱长12AA ===.在三角形1A BC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC 的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h ⨯⨯=⨯，解得65h =.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.13．2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．90︒ 【解析】 【分析】利用向量夹角公式，计算出向量0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，由此判断出向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.【详解】由于()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，所以()()3,22,30AB BC ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，所以向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为90︒. 故答案为：90o 【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15．1274【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证得数列{}n a 是等比数列，由此求得7S 的值.【详解】由于32n n a S +=，当1n =时11232,16a a ==.当2n ≥时113232n n n n a S a S --+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()11120,22n n n n a a a a n ---==≥.所以数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，所以77116112721412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：1274【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的前n 项和公式，属于基础题. 16【解析】 【分析】根据勾股定理求得,a c 的关系式，化简后求得双曲线离心率. 【详解】取AB 的中点E ，连接2EF ，由于22||||AF BF =，所以12BF EF ⊥，而1OA BF ⊥，所以2//OA EF ，OA 是三角形12F F E 的中位线.1F A AE EB ==，设1F A x =，则由双曲线的定义可得2122,322AF a x BF BF x a x a =+-=--=，所以2x a =，24AF a =，所以2EF ===，在三角形12F F E 中，由勾股定理可得()()()22242a c +=，化简得227c a =，所以ce a==【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由1BB AB ⊥，AB BC ⊥证得AB ⊥平面11BCC B ，由此证得平面1O AB ⊥平面11B EC . （2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ，通过证明四边形11EFO C 是平行四边形，证得11//O F C E ，由此证得：1//C E 平面1O AB . 【详解】（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1BB AB ⊥，AB BC ⊥， 又1BB BC B =I ，且1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B∴AB ⊥平面11BCC B ，即AB ⊥平面11B EC .因为AB Ì平面1O AB ，所以平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ， 则//EF AC ，12EF AC =，111//2O C AC ，1112O C AC =，所以11//EF O C ，且11EF O C =∴11EFO C 是平行四边形，∴11//O F C E ， ∵1O F ⊂平面1O AB ，且1C F Ë平面1O AB ， ∴1//C F 平面1O AB .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.18．（1）660x =，y z +=500（2）90（3）23【解析】 【分析】（1）根据“在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率”列方程，解方程求得x 的值，进而求得y z +的值.（2）根据C 组占总数的比例，求得C 组抽取的个数.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. ∴0.332000x=，∴660x =， ()20006737766090500y z +=-+++=.（2）应在C 组抽取的个数为500360902000⨯=. （3）由题意疫苗有效需满足7790200010%z ++≤⨯，即33z ≤，C 组疫苗有效与无效的可能情况有(465,35) (466,34)(467,33) (468,32)()469,31()470, 30，共6种结果，有效的可能情况有(467,33) (468,32)()469,31()470, 30， 共4种结果， ∴疫苗能通过测试的概率4263P ==. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题.19．（1）23B π=（2）a c += 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和与差的余弦公式，求得()cos A C +的值，由此求得A C +的大小，进而求得B 的大小.（2）根据正弦定理求得R ，由此求得ac ，结合余弦定理列方程，求得228a c +=，化简后求得a c +的值. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得211sin sin 26ac B R B =，即2112sin 2sin 26R A R C R ⨯⨯=， ∴1sin sin 12A C =， ∵()2cos cos cos sin sin 3A C A C A C -=+=， ∴7cos cos 12A C =， ∴()1cos cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=， ()0,A C π+∈Q∴3A C π+=，23B π=.（2）2sin b R B ==，R ∴2113ac R ==， 由已知及余弦定理得2222292cos 1b a c ac B a c ==+-=++，228a c +=，∴()222210a c a c ac +=++=，a c +=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题. 20．（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+. ∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数()'f x ，对a 分成0,0a a <>两种情况进行分类讨论，求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()ln xae F x x x=-，利用导数证得()F x 的最大值小于零，由此证得不等式成立. 【详解】（1）()'2(1)x ae x f x x-=，0x ≠， 若0a <，则当1x <且0x ≠时，()'0fx <，当1x >时，()'0f x >，∴()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；若0a <，则()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）令()ln x ae F x x x =-（0x >），则()()2'211xx x x a x e axe ae F x x x x---=-=， 当01x <≤时，()'0F x >，()F x 单调递增，∴()()10F x F ae ≤=-<，当1x >时，()()()2'1[]1x a x xF x e x a x -=-⋅--， 令()()1xx g x e a x =--，则()()2'101x g x e a x =+>-，()222220ae g e a a-=-=≥（22a e ≥）， 由于22a e≥，所以222,11ae ae ≥-≥，所以，存在m 使得22222111112111ae ae m ae ae ae -+<<==+≤---. 由2211ae m ae <<-得()21m e a m >-. 故取()1,2m ∈，且使()21m e a m >-，即()21m e a m -<--，而2m e e <，所以有()()2201m mg m e e e a m =-<-=-.∵()()20g m g ⋅<，∴()g x 存在唯一零点()01,2x ∈， ∴()F x 有唯一的极值点且为极大值点、最大值点()01,2x ∈，由()00g x =可得()0001x x e a x =-，∴()0001ln 1F x x x =--， ∵()()020'01101F x x x =+>-，∴()0F x 为()1,2上的增函数， ∴()()202ln 2ln 2102ae F x F <=-≤-<（22a e ≥），∴()0F x <. 综上可知，当 22a e≥时，()ln 0x f x -<. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-= 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=， 直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l的距离5d ==.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
三湘名校教育联盟2020届高三第一次大联考物理参考答案
14.解析：（1）根据动能定理
mgh
mg cos
h sin
mg(h h cos )
1 2
mv12
（2
分）
求得
v1 4
2 gh （1 分） 15
在圆弧雪道最低点，
F mg m v12 （1 分） h
求得 F 47 mg （1 分） 15
根据牛顿第三定律可知，在最低点对圆弧雪道的压力大小为 F F 47 mg （1 分） 15
4R 正确，B 错误；对小球 A，设圆环对小球 A 的支持力大小为 F，圆环对小球 A 的摩擦力大小 为 f，方向为沿圆环切线向下，由牛顿第二定律知，在竖直方向有 Fcos53°－mg－fsin53°＝0， 在水平方向有 fcos53°＋Fsin53°＝mω2Rsin53°，联立解得 f＝－mg，即小球 A 与圆环之间的
定是先向右后向左，所以可确定 a、b 之间的电场线方向一定是先向右后向左，且 a、b 之间
一定有一位置的合电场强度为 0 位置，根据电场叠加可知，Q2 一定带正电且电荷量小于 Q1，
则 A 错误；a、b 之间的电场强度一定是先减小后增大，则 B 错误；根据电场线方向可知电
势一定是先降低后升高，则 C 正确；根据动能定理 q(a b ) 0 0 可知a b ，故粒子
物理参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
B
D
C
B
C
AB ABC BC AD
1.B 解析：研究短跑运动员终点撞线时间时不可以将运动员看成质点，选项 A 错误；在 田径比赛中跑步运动员的比赛成绩是一个时间间隔，选项 B 正确；短跑运动员跑 100m 和 200m 都是指路程，选项 C 错误；400m 比赛的平均速度为 0，200m 比赛的平均速度不为 0， 选项 D 错误。
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理科数学试题(带答案解析)
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2 3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A．2 B ．12C ．3log 2-D ．3log 2 4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）A ．45B ．60C ．75D ．1007．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．B ．4C ．5D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______． 15．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则12x x +=_______；12sin()x x -=_______．16．在四棱锥P ABCD -中，PAB是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是n a 与1n a 的等差中项. （1）证明：{}2n S 为等差数列，并求n S ；（2）设11n n nb S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足5n T ≥的最小正整数n 的值. 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，190BAC BAC ∠=∠=︒，侧面11BAA B 是菱形.（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1A BC C --的余弦值.19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 21．已知函数()1ln f x a x x=+. （1）讨论()f x 的零点个数；（2）证明：当02e a <≤时，()12xe f x ->. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．B【解析】【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2．C【解析】【分析】 由532ai i a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值.【详解】 解：532ai i a i+=-+Q ，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．A【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 3332f -⎛===- ⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．C【解析】【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r . 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r r r r r r 进行计算. 5．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．B【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =． 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．A【解析】【分析】 运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．B【解析】【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．D【解析】【分析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值. 【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==. 1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴= 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．D 【解析】 【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝，由勾股定理可得（4a ）2+（a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2，则e ca== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 12．B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 13．2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．【解析】 【分析】由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【详解】解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-由22211x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22132y x +=所以a a ==故答案为:【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 15．23π45- 【解析】【分析】求出()sin(2)6f x x π=-在()0,π 上的对称轴，依据对称性可得12x x +的值;由2123x x π=-可得121sin(cos(2)6)x x x π-=--，依据13sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求出1cos(2)6x π-的值.【详解】 解：令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈ 因为120x x π<<<，所以12,x x 关于3x π=对称.则122233x x ππ+=⨯=. 由2123x x π=-，则121112sin(sin(2)sin(2)cos(2)36)26x x x x x ππππ-=-=--=-- 由120x x π<<<可知，1112,6612x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为13125<< ，所以12662x πππ<-<，则14cos(2)65x π-==，即124sin()5x x -=-故答案为: 23π;45-. 【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断126x π-的取值范围，导致求出14cos(2)65x π-=±.在求()()sin f x A x =+ωϕ的对称轴时，常用整体代入法，即令,2x k k Z πωϕπ+=+∈ 进行求解. 16．28π 【解析】 【分析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=o ，从而在平面PFG 中建立坐标系，则,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则sin 603,PF PG ====o设PAD ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯，120PFG ∴∠=o .在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于x 轴的直 线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y，则113,,,2222O P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，因为1OO PF ⊥，所以2213122y -=+解得y =则2PO ==所以球的表面积为2428ππ⨯=⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解. 17．（1）见解析，n S （2）最小正整数n 的值为35. 【解析】 【分析】（1）由等差中项可知12n n nS a a =+，当2n ≥时，得1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理后可得2211n n S S --=，从而证明{}2n S 为等差数列，继而可求n S .（2）n b ==，则可求出1n T15≥，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值. 【详解】解析：（1）由题意可得12n n n S a a =+，当1n =时，11112S a a =+，∴211a =，11a =， 当2n ≥时，1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理可得2211n n S S --=，∴{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴()2211n S S n n =+-=，n S .（2）由（1）可得n b ==，∴15n T ==≥L ，解得35n ≥， ∴最小正整数n 的值为35. 【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了n a 与n S 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有n a 与n S 的递推关系时，常代入11,1n n n a n a S S -=⎧=⎨-⎩ 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数. 18．（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，通过证明1AOA AOB ∆≅∆，得1A O AO ⊥，结合1A O BC ⊥可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设2BC =，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 和平面1BCC 的法向量，继而可求二面角的余弦值. 【详解】解析：（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，由已知可得AO BC ⊥，1A O BC ⊥，112AO AO BC OB ===， ∵侧面11BAA B 是菱形，∴1AB AA =，1AOA AOB ∴∆≅∆，190AOB AOA ∴∠=∠=︒， 即1A O AO ⊥，∵AO BC O =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1A BC .（2）设2BC =，则11AO AO BO OC ====，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()111,0,1AA CC ==-u u u r u u u u r，1(1,1,1)C --，()11,2,1BC =--u u u u r ，()1,1,0BA =-u u u r ，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =u r， 则200x y z x y --+=⎧⎨-=⎩，令1x =得()1,1,3m =u r .同理可求得平面1BCC 的法向量()1,0,1n =r ，∴cos ,11m n <>==u r r.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19．（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】 解：（1）()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+()()()()2226047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦-()22 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()03300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望30.7 2.1EX =⨯=（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， 所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同. 20．（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+.∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出()21'ax f x x-=，分别以当0a <，0a =，0a >时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令()ln 1h x ax x =+，结合导数求出()11()12a h x h e e ≥=-+≥；同理可求出()112x g x xe -=满足()()112g x g ≤=，从而可得11ln 12x ax x xe -+>，进而证明()12x e f x ->. 【详解】解析：（1）()21'ax f x x-=，()0,x ∈+∞， 当0a <时，()'0f x <，()f x 单调递减，10f a e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，1110aa f e e ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有1个零点； 当0a =时，()f x 无零点；当0a >时，由()'0f x <得1(0,)x a ∈，由()'0f x >得1(,)x a ∈+∞，∴()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴()f x 在1x a =处取得最小值1()ln f a a a a=-+，若ln 0a a a -+>，则a e <，此时()f x 没有零点； 若ln 0a a a -+=，则a e =，此时()f x 有1个零点； 若ln 0a a a -+<，则a e >，()10f >，求导易得21()0f a >，此时()f x 在211(,)a a，1(,1)a 上各有1个零点.综上可得0a e ≤<时，()f x 没有零点，0a <或a e =时，()f x 有1个零点，a e >时，()f x 有2个零点.（2）令()ln 1h x ax x =+，则()()'1ln h x a x =+，当1x e >时，()'0h x >；当10x e<<时，()'0h x <，∴()11()12a h x h e e ≥=-+≥.令()112x g x xe -=，则()()11'12x g x e x -=-， 当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <，∴()()112g x g ≤=， ∴()()h x g x >，11ln 12x ax x xe -+>，∴11ln 2x e a x x -+>，即()12xe f x ->. 【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明. 22．（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-= 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=， 直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l的距离5d ==.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
三湘名校教育联盟●2020届高三第二次大联考理科数学参考答案
；
；
；
出循环，由题意可得 ＝15，解得 k＝60．
7．A 解析：把 y＝sin2x－ 3cos2x＝2sin(2x－π)＝2cos(2x－5π)的图像向左平移π个单位，得到 y
3
6
2
＝2cos(2(x＋π)－5π)＝2cos(2x＋π)＝ 3cos2x－sin2x，故选 A.
26
6
8．B 解析：由题意 5 天中，有 2 天阅读同一名著，故每周不同的阅读计划共有 C25A44＝240 种．
2
x2
2
22．解析：(1)曲线 C 的普通方程为 x2 ＋y2＝1，纵坐标伸长到原来的 2 倍， 16 4
得到曲线 C1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝16，其极坐标方程为ρ＝4.
直线 l 的直角坐标方程为 4x＋3y－25＝0.(5 分)
(2)曲线 C 是以 O 为圆心，4 为半径的圆，
|4×0＋3×0－25|
a
a
a
a
∞)单调递增，∴f(x)在 x＝1处取得最小值 f(1)＝－alna＋a，
a
a
若－alna＋a>0，则 a<e，此时 f(x)没有零点；
若－alna＋a＝0，则 a＝e，此时 f(x)有 1 个零点；
若－alna＋a<0，则 a>e，f(1)>0，求导易得 f(a12)>0，此时 f(x)在(a12，1a)，(1a，1)上各有 1 个零点．
－x－2y＋z＝0
则
，令 x＝1 得 m＝(1，1，3)．
x－y＝0
同理可求得平面 BCC1 的法向量 n＝(1，0，1)，∴cos<m，n>＝
4 11×
＝2 22.(12 分) 2 11
三湘名校教育联盟2020届高三第一次大联考英语试题参考答案
高三英语参考答案听力1—5ACABC6—10BCACB11—15ABACB16—20ABACB阅读理解21.C细节理解题。
根据第三段的“It is published every month September through June”可知，这份杂志在七、八月份不出版。
故答案选C项。
22.B细节理解题。
根据最后一段的“You should also remember that in the April and November issues we also publish some contents about universities to go with the National College Fairs.”可知，四月和九月刊还会增加一些有关大学的内容，这是这两期刊物有别于其它几期的特点。
23.D推理判断题。
根据第三段的“Your advertising reservation deadline is...for the next month's issue”以及倒数第二段“The publisher reserves the right to refuse any of your advertisements that...”可知，这篇文章主要是写给那些想要在杂志上刊登广告的广告商。
24．B推理判断题。
根据文章第一段中的“I've always loved snow.”和“...so when it did it was always very exciting!”可知，作者非常喜欢雪，对于下雪这种事情，作者显得非常兴奋。
25．C细节理解题。
根据文章第二段中的“After the bus turned the corner to the village where I work，I was amazed to see the entire village covered in a blanket of snow！”可知，作者在去上班的路上，发现自己工作的村庄整个被雪覆盖了，所以作者心情非常好。
2020届湖南省三湘名校教育联盟高三第一次大联考语文试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2020届高三第一次大联考语文一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成下列小题。
白话小说作家最重视的，是白话小说对社会大众的教育功能。
他们认为文艺作品通常固然都有宣传教育的功能，白话小说这种文体更有趣味一些，对知识程度不高的读者有更大的吸引力；笔记小说、传奇小说固然也有趣味，但它们使用的是不为大众所掌握的文言。
只有白话的小说，才能“通于俗人”“触于里耳”，让一般的大众甚至妇女儿童都能理解。
冯梦龙编辑的“三言”以喻世、醒世、警世命名，非常直观地揭示了白话小说这种后起形式的新型功能。
教化大众的功能又衍生出普及历史知识、报道当代政情等功能。
明清小说家希望通过小说把陶冶士人的经史之学向下输入到民众当中，因此把宋元时代充满民间趣味的讲史改造成为历史演义。
历史演义用白话取代民众难以掌握的文言，调整史传的叙述次序以增强历史事件的故事性，增添必要的细节以增强叙述的生动性，吸引读者通过这种通俗的文学形式学习历史，进而领悟其中所包含的训诫。
明清作家还以小说的形式对当代的人物和事件进行报道。
如崇祯初年，大阉魏忠贤被法办后，署名吴越草莽臣的作者根据邸报及其他材料，及时创作了《魏忠贤小说斥奸书》，叙述大阉一生经历，控诉他的罪行。
现代读者可能惊讶这样的作品也可以堂而皇之地冠以小说之名，小说居然可以运用于这种目的。
但明清作家觉得这样的做法不足为怪，既然小说的内容可以是非虚构性的历史人物和事件，为什么不可以是非虚构性的当代人物与事件呢？又如崇祯年间，明朝对后金(清)作战屡屡失利，陆云龙于是创作《辽海丹忠录》回顾战事情况，表彰忠烈，谴责覆军误国之人。
这些作品，有的类似人物传记，有的类似长篇通讯或报告文学。
作者的创作带有教育民众的意图，实际上提供了关于当代政治情形的知识与见解，具有新闻的舆论引导功能。
唐代宗教人士宣教的“变文”是白话小说的渊源之一，曾刺激了说话技艺与小说艺术的发展。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学(文)试题
两式相减得 Tn 21 22 2n n 2n1 1 n 2n1 2 ，
∴ Tn n 1 2n1 2 .
21. 解析：（1）定义域为 0, ， f ' x 2x a 1 ，
x
∵ f x 在其定义域上是增函数，∴ f ' x 0 ， a 2x 1 ，
1 n n 12n 1 .
6
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn an log2 an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
3
21. 设函数 f x x2 ax 2 ln x . （1）若 f x 在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围；
1 e2
3 e
21
1 e2 3e e2
0
，
f
e2
1 e4
3 e2
0 ，∴ n 的最大值为-2.
22. 解析：（1）当 a 0 时， f x ex 2 ， f 1 e 2 .
f ' x ex ， f '1 e ，∴切线方程为 y e 2 e x 1 ，即 y ex 2 .
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. “ 0 x 1”是“ log2 x 1 1 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.
1
A.
B. 1
2
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三生物第一次大联考试题(含解析).doc
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三生物第一次大联考试题（含解析）一、选择题1.下列关于细胞分子组成的叙述，正确的是A. 糖原和脂肪氧化分解的终产物相同B. 磷脂和ATP的元素组成不同C. 酶、激素和抗体的本质均为蛋白质D. 纤维素和淀粉的基本组成单位不同【答案】A【解析】【分析】1、酶是活细胞产生的具有催化作用的有机物，绝大多数是蛋白质，少数是RNA，有的酶在细胞内发挥作用如呼吸酶，有的酶在细胞外发挥作用如唾液淀粉酶。
2、人体内的激素是由内分泌腺分泌的化学物质，有的是蛋白质如胰岛素、生长激素等，有的是固醇如性激素等，有的是氨基酸衍生物如甲状腺激素，可随着体液运输到达靶器官，使靶细胞原有的生理活动发生改变。
3、抗体是浆细胞产生的免疫球蛋白。
【详解】A、糖原和脂肪氧化分解的终产物相同，为CO2和H2O，A正确；B、磷脂和ATP的元素组成都为C、H、O、N、P，B错误；C、部分激素是蛋白质，部分是脂质等，酶绝大多数是蛋白质，少数是RNA，抗体是蛋白质，C 错误；D、纤维素和淀粉都是多糖，基本单位是葡萄糖，组成元素是C、H、O，D错误。
故选A。
【点睛】本题考查人体内酶和信息分子的相关知识，意在考查考生对生物大分子知识的记忆及知识迁移能力，并能综合运用知识进行分析和判断的能力，考生对相关化合物的化学本质和功能的识记和理解是解题的关键。
2.下列关于细胞结构的叙述，正确的是A. 真核细胞mRNA的合成只能发生在细胞核中B. 各细胞器之间互不联系，分别执行不同的功能C. 原核细胞的生物膜系统简单，只含有核糖体膜D. 细胞骨架与细胞分裂、分化以及能量转换有关【答案】D【解析】【分析】1、细胞骨架是真核细胞中由蛋白质聚合而成的三维的纤维状网架体系。
细胞骨架包括微丝、微管和中间纤维。
细胞骨架在细胞分裂、细胞生长、细胞物质运输、细胞壁合成等等许多生命活动中都具有非常重要的作用。
2、细胞器中，具有双层膜有线粒体、叶绿体，具有单层膜的有内质网、高尔基体、溶酶体、液泡。