高二数学 8.5 抛物线及其标准方程同步辅导教材

8.5 抛物线及其标准方程
本章主要内容
8.5 抛物线及其标准方程
课本第115页至第119页
一、 本讲主要内容
1、 抛物线的定义
2、 抛物线的标准方程
3、 抛物线定义的运用
4、 运用待定系数法求抛物线方程
三、学习指导
1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。

椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。

椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。

2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有：
（1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。

次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。

（2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的14值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。

3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。

尽管抛物线方程中的参数只有一个p ，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。

4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。

课本P.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。

四、典型例题
例1、互相垂直的两直线1、2交于点M ，点N ∈1，以A 、B 为端点的弧上任一点到2的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 是锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3,|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧C 的方程。

解题思路分析：
因弧C 上任意一点到直线
2的距离与到点N 距离相等，根据抛物线定义可知，AB 是抛物线的一段弧，N 为焦点，
2为准线。

以
1为x 轴，MN 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2=2px （p>0），弧C 方程为
y 2=2px ，x A ≤x ≤x B ，直线
2：2p x -=。

过A 作AA 1⊥
2，A 1为垂足，则|AA 1|=|AN|=3
∵ |AM|=17
∴ |A 1M|=22
即 y A =22
∴ A 2px 2)22(= ①
又 |AA 1|=32
p x A =+ ② 由①②得⎩
⎨⎧==2p 2x A 或⎩⎨⎧==4p 1x A 因△AMN 为锐角三角形，而当x A =2， p=2时，N （1，0），A 在x 轴上的射影在N 右侧，△AMN 为钝角三角形，故舍去。

∵ |BN|=x B +
2p ∴ x B =4
∴ 曲线弧C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y>0） 注：本题也可以以
1、2所在直线分别为x 轴、y 轴建立坐标系，不过曲线弧C 所在抛物线方程不是标准方程。

例2、抛物线拱桥如图，水面宽|AB|=2a 时，拱顶离水面h ，一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG 。

（1） 若矩形长|CD|为a ，则高|DE|为何值时船才能通过；
（2）求矩形面积S 的临界值M ，使当S ≤M 时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当S>M 时，无论怎样调整，船都不能过桥。

解题思路分析：
这是一个实际问题，为了精确地求出|DE|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。

（1）如图建立坐标系xOy ，|DE|最大值为E 在抛物线上，当船高小于|DE|最大值时，货船可以通过。

由抛物线的对称性知，x D =x E =
2a ,因D 到x 轴距离为h ，故欲求|ED|，只需求E 到x 轴的距离，即E 点纵坐标的绝对值。

设抛物线方程为x 2=-2py （p>0）
① ∵ B （a ，-=1（舍）
② 当2a-1<0，0<a<2
1时，x=1-2a 时(|MA|2)min =4a-4a 2 此时，|MA|=1)1a 2(2+--<1
∴ 0<a<2
1 （1） 设M 0（x 0，y 0）
则 x 0=1-2a
又 y 02
=4ax 0
消去a 得：2y 2+4(x-
21)2=1 x ∈(0，1) 七、附录
例1的解：分别以
1、2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则弧C 的方程为
y 2=2px （p>0），x A ≤x ≤x B ，直线
2：2p x -= 过A 作AA 1⊥
2，A 1为垂足，则|AA 1|=|AN|=3 ∴ x A =32
p =+ ① 又 |AM|=17
∴ |A 1M|=22
∴ y A =22
∴ 2)22(=2px A ②
由①②得⎩⎨⎧==2
p 2x A ，或⎩⎨⎧==4p 1x A
∵ △AMN 为锐角三角形
∴ 舍去⎩
⎨⎧==4p 2x A 一组解 又 |BN|=62
p x B =+
∴ x B =4 ∴ 曲线弧C 的方程为y 2
=8x （1≤x ≤4，y>0）
例2的解：（1）如图建立坐标系，设抛物线方程为x 2=-2py （p>0）
∵ B(a ，->0时，A 、B 在第一象限
① 设P ：y 2=2px （p>0） 则 ⎪⎩⎪⎨⎧==p m 4
9pm 2362 ∴ ⎩
⎨⎧==9p 2m ∴ P ：y 2
=18x
② 设P ：x 2=2py （y>0）
则 ⎪⎩⎪⎨⎧==mp 341p 12m 2
∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧==121p 1m ∴ P ：y 6
1x 2= （2）当m<0时，A 在第二象限，同时通过A 、B 的抛物线不存在
∴ 所求抛物线方程为y 2
=18x ，或y 61x 2= 例4的解：设抛物线方程为x 2=2my （m ≠0），准线2m y -
= ∵ |MF|=5
∴ 5)4(2
m =--- ∴ m=-2
∴ 抛物线方程为x 2
=-4y
再令y=4
∴ x 2=16
∴ x=±4
∴ a=±4
例5的解：设M （3，0），r=3，动圆圆心为P ，半径为R
则 ⎩⎨⎧=+=R |x |3R |PM | ∴ |PM|=|x|+3
当x>0时，上式表明点P 到定点M 的距离等于它到直线x=-3的距离，其轨迹是抛物线，方程为y 2
=12x 当x<0时，动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x=3的距离，因M 到x=3的距离正好为3 ∴ 点P 的轨迹为x 轴非正半轴，方程为y=0（x ≤0）。