函数的奇偶性的经典总结归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f (x)?，那么函数f(x) 是偶函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f －x(1) f(－x)＝f(x)? f(－x)－f(x)＝0? f x＝1?f(x)为偶函数；fx2．函数的周期性(1) 周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有T)＝f (x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使 f (x＋T) ＝f(x)为恒等式，即自变量x 每增加一个T后，就会重复出现一次．(2) 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．二、常用结论(2)f(－x)＝－f(x)? f(－x)＋f(x)＝0? ＝－1? f(x)为奇函数．f(x＋函数值f(x)fx1．函数奇偶性常用结论(1) 如果函数 f(x)是奇函数且在 x ＝0 处有定义，则一定有 f(0) ＝0；如果函数 f(x)是偶函 数，那么 f(x)＝ f(|x|)．(2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性．(3) 在公共定义域内有： 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶， 偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量 x ：(1) 若 f(x ＋a)＝－ f(x)，则 T ＝2a(a>0)．1(2) 若 f(x ＋ a)＝ ，则 T ＝ 2a(a>0)． fx1 (3)若 f(x ＋a)＝－ f x ，则 T ＝2a(a>0)．fx3．函数图象的对称性(1) 若函数 y ＝ f(x ＋ a)是偶函数，即 f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数 y ＝f( x)的图象关于直线 x ＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a －x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则 y ＝f(x)的图象关于直 线 x ＝ a 对称．(3) 若函数 y ＝f(x ＋b)是奇函数，即 f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，则函数 y ＝f(x)关于点 (b,0)中 心对称．考点一 函数奇偶性的判断［典例 ］ 判断下列函数的奇偶性： 36－x 2(1) f(x)＝|x ＋3－|－3；(2) f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－ 1； log 2 1－ x 2 (3)f(x)＝ |x －22－|－2 ；义域为 (－6,0)∪ (0,6］，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)＝x 2＋x ，x<0，x 2－x ，x>0.［解］ (1) 由 f(x)＝36－x 2≥0，|x ＋ 3|－－ 6 ≤ x ≤ 6，故函数 f( x)的定x ≠0且x ≠－6，|x ＋3|－31－x 2≥ 0，(2) 由 ? x 2＝1? x ＝±1，故函数 f(x)的定义域为 { － 1,1} ，关于原点对称， 且x 2－1≥0f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－ f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．1－ x 2>0 ， (3)由 ? －1<x<0 或 0<x<1，|x － 2|－ 2≠0定义域关于原点对称．2 2 2 log 2 1－ x log 2 1－x log 2 1－ x此时 f(x)＝ 2＝ 2＝－ 2x ， |x －2|－2 2－ x －2 x22log 2[1 － － x ] log 2 1－ x＝－ f(x) ，－x所以函数 f(x)为奇函数．(4) 法一：图象法故 f(－x)＝x 2－x ＝f(x)，故原函数是偶函数．法三： f(x)还可以写成 f(x)＝ x 2－ |x|(x ≠0)，故 f(x)为偶函数．[题组训练 ]1． (2018 福·建期末 )下列函数为偶函数的是 ( )πA ． y ＝ tan x ＋4 B ．y ＝x 2＋e |x|C ．y ＝xcos xD ． y ＝ ln|x|－ sin x解析：选 B 对于选项 πA ，易知 y ＝tan x ＋ 4 为非奇非偶函数；对于选项B ，设 f(x) ＝＋e |x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e |－x|＝ x 2＋ e |x|＝ f (x)，所以 y ＝ x 2＋ e |x|为偶函数；对于选项 C ，设 f(x)＝xcos x ，则 f(－x)＝－ xcos(－x)＝－xcos x ＝－ f (x)，所以 y ＝ xcos x 为奇函数； 对于故有 f(－ x)＝－ 画出函数 f(x)＝x 2＋x ， x<0，故 f(x)为偶函数．法二：定义法x 2－x ， x>0的图象如图所示， 图象关于 y 轴对称，易知函数 f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋ ∞ )，关于原点对称，当 x>0 时， f(x)＝ x 2－ x ， 则当 x<0 时，－ x>0，故 f(－x)＝x 2＋x ＝ f(x)； 当x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ x ，则当 x>0 时，－ x<0，选项D，设 f(x)＝ln|x|－sin x ，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2 ≠ f(2)，所以 y＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.e x － e－xf(x)＝ 2 ，则下列结论错误的是A ．|f(x)|是偶函数B ．－ f(x)是奇函数C ．f(x)|f(x)|是奇函数D ．f(|x|)f(x)是偶函数∴f(x)是奇函数． ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴ f(|x|)f(x)是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用［典例］ (1)(2019 福·建三明模拟 )函数 y ＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时， f(x)＝2x，则 当 x>0 时， f(x)＝ ( )A ．－ 2xB ．2－xC ．－ 2－xD ．2x(2)(2018 贵·阳摸底考试 )已知函数 f(x)＝a －e x ＋21(a ∈ R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为()A ．(－1,1)B ． (－ 2,2)C ．(－3,3)D ． (－ 4,4)［解析］ (1)当 x>0 时，－ x<0，∵x<0时，f(x)＝2x ，∴当x>0 时，f(－x)＝2－x .∵f(x)是 R上的奇函数，∴当 x>0 时， f (x)＝－ f(－ x)＝－ 2－x2．设函数 解析： 选 D ∵f(x)＝e x－e－x则 f(－ x)＝e －x －e x＝－ f(x)．(2)法一： 由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－ f(x)，所以 a －2e－x＋1＝－ a ＋2e x ＋1，2得 2a ＝e x ＋ 12 1 e x 2 1 ＋－x，所以a＝x＋x＝1，所以f(x)＝1－x .因为 e ＋1>1，所以0< x<1，e－x＋1 e x＋1 e x＋1 e x＋ 1 e x＋1－1<1 －x2 <1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．e＋1法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所2 1 2以f(x)＝1－x .因为e x＋1>1，所以0< x <1，－1<1－x <1，所以函数f(x)的值域为e x＋1e x＋ 1 e x＋1(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3) 求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x) ±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组) ，进而得出参数的值．(4) 画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019 ·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2 D ．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－ 2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当x<0 时，函数 f (x)的最大值为解析：法一：当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)1 1 1＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋22＋4，所以当x<0 时，函数f(x)的最大值为4.1 1 1法二：当x>0 时，f(x) ＝x2－x＝x－22－4，最小值为－4，因为函数f(x)为奇函数，所1以当x<0 时，函数f(x) 的最大值为4.答案：143．(2018 合·肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__ .解析：∵f(x)＝xln( x＋a＋x2)为偶函数，∴f (－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x) ＝xln( x＋a＋x2)，从而ln［( a＋x2) 2－x2］＝0，即ln a＝0，故a＝ 1.答案：1考点三函数的周期性［典例］ (1)(2018 开·封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2］时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )1A ． 5 B.2C．2 D ．－2(2)(2018 江·苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2］上，f(x) ＝πxcos2，0<x≤2，2则f(f(15)) 的值为_____________________ ．1x＋2，－2<x≤0，［解析］ (1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为 4 的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－ 2.(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，11所以f(15)＝f(－1)＝－1＋2＝2，所以f(f(15))＝ f 21＝cos4π＝22.［答案］ (1)D (2) 22[ 题组训练 ]1 1．(2019 山·西八校联考 )已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x ＋2)＝－f x ，当2≤x ≤3 fx11时， f(x)＝x ，则 f － 2 ＝ _____ .1解析： ∵f(x ＋2)＝－ f x ，∴f(x ＋4)＝f(x)， fx55 － 1152 ＝ 2，∴f －2 ＝ 2.答案 ：522．(2019 哈·尔滨六中期中 )设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3的函数，当 x ∈[－2,1)时，f(x)4x 2－ 2，－ 2≤x ≤0，21 则f f 241 ＝ __________ .解析：21 3 3 3 1 1 1由题意可得 f 241 ＝f 6－34 ＝f －34 ＝ 4×－34 2－2＝1，f 1 ＝1. 答案： 14[课时跟踪检测 ]A 级1．下列函数为奇函数的是 ()31－ xA ． f(x)＝ x 3＋ 1B ．f(x)＝ln1＋xC ．f(x)＝e xD ． f(x)＝ xsin x解析： 选 B 对于 A ，f(－x)＝－x 3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B ，f(－ x)＝1 ＋ x 1－ x ln ＝－ ln ＝－ f(x)，所以其是奇函数；对于 C ，f(－ x)＝ e －x ≠ －f(x)，所以其不是奇函 1－ x1＋ x数；对于 D ，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x ＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.9x＋12． (2019 ·南昌联考 )函数 f(x)＝ 3x 的图象 ( )112f 25 ，又 2≤x ≤3 时，f(x)＝x ，1 4A ．403B ．405111又当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，所以 f 2 ＝ 2 2－ 2＝6．(2019 ·益阳、 湘潭调研 )定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x ＋ 5)＝f(x)，当 x ∈(－3,0］时， f(x)＝－x －1，当 x ∈(0,2］时，f(x)＝log 2x ，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 019)的值等于 ()A ．关于 x 轴对称 C ．关于坐标原点对称 B ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y ＝ x 对称解析： 选 B 因为 f(x)＝93＋x 1＝ 3x ＋ 3－x ，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于y 轴对称．log 2 x ＋1 ，x ≥ 0，3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝则 f(－ 7)＝( )gx ，x <0，A ．3B ．－ 3C ．2D ．－ 2解析： 选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，log 2 x ＋ 1 ，x ≥0， 且 f(x) ＝g x ， x <0，所以 f(－7)＝－ f(7)＝－log 2(7＋1)＝－ 3.4．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x ，则 g(x)＝( )－1－A ．e x － e －xB.21(e x ＋e －x )1 － 1－C.21(e －x －e x )D.21(e x － e －x )解析： 选 D 因为 f(x)＋ g(x)＝e x ，所以 f(－ x)＋ g(－x)＝f(x)－ g(x)＝e －x ，1所以 g(x)＝2(e x － e －x )．5．设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 50≤x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，则 f －2 ＝ ()A ．B ．C.14D.2解析： 选 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以52＝1 2.15 14，则 f－2 14.解析：选 B 定义在R 上的函数f(x) ，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为 5.又当x ∈(0,2］时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0］时，f(x) ＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－ 1.故f(1) ＋f(2)＋ f (3)＋⋯＋f(2 019)＝403×［f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)］＋f(2 016) ＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.17．已知函数f(x)是偶函数，当x> 0时，f(x)＝ln x，则 f f e2 的值为_____ ．11解析：由已知可得 f e2 ＝ln e12＝－2，1所以 f f e2 ＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，1所以 f f e2 ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.答案：ln 218．(2019 惠·州调研)已知函数f(x)＝x＋x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝__ .x1解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋x1，x设g(x)＝f(x)＋1＝x＋x1，1易判断g(x)＝x＋x为奇函数，11故g(x)＋g(－x)＝x＋x－x－x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－ 2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－ 4.1法二：由已知得f(a)＝a＋1－1＝2，a1 1 1即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－a＋－1＝－3－1＝－ 4.a a a答案：－49．(2019 ·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈［a－4，a］的图象关于原点对称，则函数g(x)a＝bx ＋x ，x ∈［－4，－ 1］的值域为．x解析： 由函数 f(x)的图象关于原点对称，可得 a － 4＋a ＝0，即 a ＝2，则函数 f(x)＝2x ＋2b ，其定义域为 ［－2,2］，所以 f(0)＝0，所以 b ＝ 0，所以 g(x)＝x ，易知 g(x)在［－ 4，－ 1］上单1 调递减，故值域为 ［g(－1)，g(－4)］，即 －2，－ 2 .1答案 ： － 2，－ 1210．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ____ ．解析： 当 x>0 时， lg x>0 ，所以 x>1，当 x<0 时，由奇函数的对称性得－ 1<x<0 ， 故填(－1,0)∪(1，＋ ∞)． 答案 ：(－1,0)∪(1，＋∞ )11．f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x 2＋3x ＋1，求 f(x)的解析式．解：当 x<0 时，－ x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－ 2x 2－3x ＋1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－x)， 所以当 x<0 时， f(x)＝2x 2＋ 3x －1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝ 0.－2x 2＋ 3x ＋1，x>0， 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝0， x ＝ 0，2x 2＋3x － 1， x<0.(1)证明 y ＝ f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝ 2，求 f(2)＋ f(3)的值． 33解： (1)证明：由 f 2＋ x ＝－ f 2－x ，且 f(－x)＝－ f(x)，知 f(3＋x)＝f 23＋ 23＋x所以 y ＝f(x)是周期函数，且 T ＝3 是其一个周期．(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝ 0，且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T ＝3 是 y ＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x 有f 23＋x ＝－f 23－x成立．＝－f 23－ 32＋x ＝－ f(－x)＝f(x)，f(0)＝ －2＋0＝－ 2.B 级1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时， f(x)＝ x 3－ x ，则函数 y ＝f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点的个数为 ( )A ． 6B ．7C ．8D ． 9解析： 选 B 因为 f( x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤ x<2 时，f(x)＝x 3－x ＝x(x － 1)(x ＋1)，所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时， f(x)＝0 有两个根，即 x 3＝ 2， x 4＝ 3；当4≤x ≤6 时， f(x)＝0 有三个根，即 x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故 f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点个 数为 7.2．(2019 洛·阳统考 )若函数 f( x) ＝ ln(e x＋ 1)＋ ax 为偶函数，则实数 a ＝ .解析： 法一： (定义法 )∵函数 f(x)＝ ln(e x ＋ 1)＋ ax 为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e －x ＋ 1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ ax ，－xxe －x＋ 1 1∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x ＋1)＝ln e x ＋1 ＝ ln e x ＝－ x ，1∴ 2a ＝－ 1，解得 a ＝－ 12.法二： (特殊值法 )由题意知函数 f(x)的定义域为 R ，由 f(x)为偶函数得 f(－ 1)＝f(1)，－ 11 －1 1 e 1 ＋ 11 ∴ ln(e －1＋ 1)－a ＝ ln(e 1＋ 1)＋a ，∴ 2a ＝ln(e －1＋ 1)－ ln(e 1＋1) ＝ln e ＋1 ＝ln e ＝－ 1， e ＋ 1 e∴a ＝－ 1.21答案 ：－12－x 2＋2x ，x>0，3．已知函数 f(x) ＝0， x ＝0， x 2＋mx ， x<0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数f(x)在区间［－1，a－2］上单调递增，求实数 a 的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f( x)，于是x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在［－1，a－2］上单调递增，a －2>－ 1 ，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1< a≤3，a－2≤1，故实数 a 的取值范围是(1,3］．。
函数的奇偶性的经典总结
xx x f 1)(+=1)(2+=x xx f xx f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。
（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。
题型一 判断下列函数的奇偶性。
⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。
当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。
（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。
在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数的奇偶性1. 定义一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 性质（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。
（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。
（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。
（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。
3. 举例（1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。
二、函数的周期性1. 定义一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
2. 性质（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。
（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。
（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)也是周期为T的周期函数。
3. 举例（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。
三、奇偶性与周期性的关系1. 性质（1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。
（2）对于一个函数f(x)，若它既是偶函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍且f(0)为其最小正周期。
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则这个函数叫奇函数 .（ 2）偶函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则这个函数叫做偶函数 .（3）奇偶性：若是函数 f ( x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x)拥有奇偶性 .（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ 1）奇函数若在 x 0 时有定义，则 f (0)0 ．（ 2）若f ( x)0 且 f ( x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数．2．奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法○1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若 f(－ x) = f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－ x) = －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．例题精讲2【例 1】若函数 f ( x)ax bx 是偶函数，求b的值.∴f(－x)＝ f(x)．∴ ax2＋bx= ax2-bx.∴2bx=0. ∴ b＝ 0.【例 3】已知函数 f (x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象. x题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断以下函数的奇偶性. （ 1）f ( x)| x |( x21) ；（ 2）f ( x)x 1 ；x（ 3） f ( x) | x 1| | x 1| ； （ 4） f (x) x 22 x ；（ 5） f ( x) 1 x 2x 2 1（ 6） f ( x)x 2 x , x0 xx 2 , x解：（ 1） f ( x) | x | ( x 2 1) 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f ( x) | x |[( x)2 1] | x | ( x 2 1) f ( x)∴ f ( x)f (x) ，即 f ( x) 是偶函数． （2） f ( x)x1的定义域为 { x | x 0}x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（3） f ( x)| x 1| | x 1| 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f(－ x)＝|－ x ＋1|－ |－x －1|＝|x － 1|－ |x ＋1|＝－ (|x ＋1|－|x －1|)＝－ f(x)，∴ f(x)＝ |x ＋ 1|－|x －1|是奇函数．（4） f ( x)x 22 x 的定义域为 {2} ，由于定义域关于原点不对称， 故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（5） f ( x)1 x 2x 2 1 的定义域为 {1 ，－ 1} ，由 f (1) 0 且 f ( 1) 0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，－ x<0，f(－x)＝x 2－x ＝－ (x －x 2)；当 x<0 时，－ x>0，f(－x)＝－ x － x 2＝－ (x 2＋x)．即 f ( x)( x 2 x) , x 0 ( x x 2 ) , x 0即 f ( x)f ( x)∴ f ( x) 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3)＝ 2，求 f(－ 3)和 f(0)的值 .解：∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f (－3)＝－ f(3)＝－ 2，f(0)＝0.【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－1)＝4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f ( x)f (x) ， g( x) g( x)所以 － f(1)＋ g(1)＝2 ①f(1)＋ g(1)＝4 ②由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数剖析式【例 6】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求 f(x)的剖析式 .解：当 x 0 时，有 x所以 f ( x) ( x)3 ( x)2 x 3 x 2又由于 f (x) 在 R 上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x 3 x 2所以当 x 0 时， f ( x)x 3 x 2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x) g( x) e x ，求 g ( x) .解：由于 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ，g ( x)g(x)由于 f ( x) g( x) e x①所以 f ( x) g ( x) e x所以 f ( x)g (x)e x②由①②式消去 f (x) ，得 g( x)e x e x.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1. 函数 f (x)x 11 x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数2. 已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x) x21，则 f ( 1) （）x3. f(x)为偶函数，且当 x ≥0 时， f(x) ≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f(x) ≤ 2B ．f(x) ≥ 2C ．f(x) ≤－2D.f(x) ∈R4. 已知函数 y=f （x ）是偶函数， y=f （x －2）在［ 0，2］上是单调减函数，则（）（0）＜ f （－ 1）＜ f （ 2） （－ 1）＜ f （ 0）＜ f （ 2）（－ 1）＜ f （2）＜ f （0） （2）＜ f （－ 1）＜ f （0）5. 已知函数 f （ x ） =ax 2＋ bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋ bx 2＋ cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，又 f （－ 3）=0，则不等式 xf （x ）＜0 的解集为（）A.（－ 3，0）∪（0，3）B.（－ ∞，－ 3）∪（3，+∞）C.（－ 3，0）∪（3，+∞）D.（－ ∞，－ 3）∪（ 0， 3）7. 若 f(x) 在[ －5,5] 上是奇函数，且f(3)<f(1) ，则以下各式中必然成立的是()A ．f( － 1)<f( － 3)B ． f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ． f( －3)<f(5)8. 设 f(x) 在[ －2，－ 1] 上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x) 在[1,2] 上( )A ．为减函数，最大值为 3B ．为减函数，最小值为－ 3C ．为增函数，最大值为－ 3D ．为增函数，最小值为 39. 以下四个函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋ ∞)上为增函数的是 ()A ．y ＝x^3B ．y ＝－ x^2 ＋ 1C ．y ＝|x| ＋1D ．y ＝2－|x|10. 若函数 f(x) ＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则 a ＝( )A ．1B ．－ 1C ．0D ．不存在11. 偶函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝ 0 的所有根之和为 ．12. 如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较 f (1) 与 f (3)的大小 .y13. 已知函数 f ( x) xp2m( p 0) 是奇函数，求 m 的值 .x14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝ x 2＋x －2，求 f(x) ，g(x)的表达式．–3–1x215. 定义在 ( －1,1) 上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1 －a)＋ f(1－ a )<0 ，求实O 数 a 的取值范围．1216. 函数 f(x)＝ 1＋ x 2 是定义在 (－ 1,1)上的奇函数，且 f 2 ＝5，求函数 f(x)的剖析式ax ＋b17. 判断函数 f (x)(1 x)1x的奇偶性.1 x。
高中数学奇函数、偶函数、函数奇偶性知识点总结大全
高中数学：奇函数、偶函数和函数奇偶性知识点总结大全一、奇函数、偶函数的概念1、奇函数：假如一个函数()f x 的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x 都有()()f x f x -=-,则称函数()f x 为奇函数。
2、偶函数：假如一个函数()g x 的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x 都有()()g x g x -=,则称函数()g x 为偶函数。
【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。
如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
二、奇函数、偶函数的图像特点1、奇函数图象关于原点对称。
奇函数的图象，是个以原点为对称中心的中心对称图象。
2、偶函数图象关于y 轴对称。
偶函数的图象，是个以y 轴为对称轴的轴对称图象。
3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
4、如果奇函数()f x 的定义域中有“0”，则一定有()00f =。
因此，如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。
5、如果偶函数()g x 的定义域中有“0”，则()0g 不一定为0。
因此，如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。
6、偶函数在对称区间上的值域相同，奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。
三、判定奇函数、偶函数的几个充要条件假设函数()f x 、()g x 的定义域都关于原点对称。
则1、()f x 是奇函数的几个充要条件为：（1）对定义域中的任意x 都有：()()f x f x -=-;（2）对定义域中的任意x 都有：()()0f x f x +-=;（3）对定义域中的任意x 都有：()()/1f x f x -=-;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x 都有：()()/1f x f x -=-;【注】分母不为0.（5）()f x 的函数图象关于原点对称。
2、()g x 是偶函数的几个充要条件为：（1）对定义域中的任意x 都有：()()g x g x -=;（2）对定义域中的任意x 都有：()()0g x g x --=;（3）对定义域中的任意x 都有：()()/1g x g x -=;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x 都有：()()/1g x g x -=;【注】分母不为0.（5）()g x 的函数图象关于y 轴对称。
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结1. 知识点概述指数函数是数学中常见且重要的函数之一。
在研究指数函数时，了解其奇偶性质十分重要。
奇偶性是指函数在定义域内的对称性质，通过判断函数的奇偶性，可以简化对函数性质的分析和推导。
2. 奇函数和偶函数- 奇函数：当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，称之为奇函数。
奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
- 偶函数：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，称之为偶函数。
偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性的性质及应用- 奇函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$-f(x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为奇函数，那么$f'(x)$为偶函数，即奇函数的导数为偶函数。
- 偶函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$f(-x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为偶函数，那么$f'(x)$为奇函数，即偶函数的导数为奇函数。
- 通过判断函数的奇偶性，可以进行以下应用：- 确定函数图像关于哪个轴对称，从而简化图像的绘制；- 判断函数的导数的奇偶性，从而简化导数计算。
4. 提示题型- 判断题型：给定一个函数，判断该函数是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数；- 求导题型：已知一个函数为奇函数或偶函数，求其导数的奇偶性；- 求对称轴题型：给定一个函数，求其对称轴是x轴还是y轴。
5. 总结了解指数函数的奇偶性质对于分析和推导函数性质起到重要的作用。
通过判断函数的奇偶性，可以简化图像的绘制和导数的计算，为求解问题提供便利。
以上就是根据指数函数的奇偶性知识点及题型的归纳总结。
(文字总数：230字)。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
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函数的奇偶性的经典总结归纳
1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
奇函数具有以下性质：
-奇函数关于坐标原点对称；
-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；
-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。
常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。
2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
偶函数具有以下性质：
-偶函数关于y轴对称；
-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；
-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。
常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。
3.奇偶性的判断：
-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；
-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。
若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；
-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。
4.常见函数的奇偶性：
-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；
-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；
-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；
-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；
-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。
通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。
在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。
注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。
在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。
总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。
通过奇偶性的判断，可以方便地推导出函数的性质和进行函数的分析和计算。
根据函数的定义和特点，可以准确判断函数的奇偶性，更好地理解和应用函数的性质。