中线倍长法和截长补短法学
中线倍长法和截长补短法学
几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD1分析：要证明AD < - (AB+AC)，就是证明AB+AO2AD ，也就是证明两条线 段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中 的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该 进行转化。
待证结论 AB+AO2AD 中，出现了 2AD ，即中线AD 应该加倍。
证明：延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连 CE ,贝U AE=2AD 。
在^ ADB 和^ EDC 中，AD=DE -ZADB 二 /EDCBD=DC•••△ ADB EDC(SAS) ••• AB=CE 又在^ ACE 中， AC+CE > AE小结：⑴涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边 AB 、AC 和两个角/ BAD 和/ CAD 集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且 BD=CD ，求证AB=AC< 1 (AB+AC)••• AC+AB >2AD ，即 AD1 (AB+AC)CC例2:中线一倍辅助线作法例3:\ ABC 中，AB=5 , AC=3，求中线 AD 的取值范围例4:已知在△ ABC 中，AB=AC , D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ,且DF=EF ，求证：BD=CE、ENEF课堂练习：已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF例5：已知：如图，在 ABC 中，AB AC , D 、E 在BC 上，且DE=EC 过D 作DF //BA 交 AE 于点F , DF=AC.求证：AE 平分 BAC课堂练习：已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是^ ABD 的中线, 作业：1、在四边形 ABCD 中，AB // DC, E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 相交于点F 。
倍长中线与截长补短法
∴BE+CF>EF
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：
AB+AC>2AD
A
分析：要证AB+AC>2AD，
由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD，
D
B
C
所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
让我们来大显身手吧！
例如：已知如图6-1：
在△ABC中，
AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点
A 1 2
P
求证：AB-AC>PB-PC。 N
D
C
B
图6 1
M
思路导航
要证：AB-AC>PB-PC，想 到利用三角形三边关系定 理证明。
因为欲证的线段之差，故用 两边之差小于第三边，从 而想到构造第三边AB-AC
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 005:53: 5805:5 3Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 05:53:5 805:53: 5805:5 3Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1005:5 3:5805: 53:58D ecembe r 10, 2020
2020 5:53:58 AM05:53:582020/12/10
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
中学考试专题中线倍长法及截长补短
文档几何证明中常用辅助线:)中线倍长法(一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
1 例1 (AB+AC)﹤已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 21也就是证明两条线段之和分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，2，但题中的三条大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”因此应该进行转线段共点，不能用三角形三边关系定理，没有构成一个三角形，应该加倍。
，即中线AD化。
待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD AE=2AD。
DE=AD，使，连CE，则证明：延长AD至E 中，在△ ADB和△EDC AD=DE AEDCADB=∠∠DCBD=EDC(SAS) ≌△∴△ADB CDB AB=CE∴中，在△ACE又E AE＞AC+CE1 (AB+AC)AD ﹤AC+AB＞2AD，即∴2即中线倍长法。
涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，小结：(1)集中于同一个三CAD和两个角∠BAD和∠它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC 角形中，以利于问题的获解。
BAC?ABC?AB=AC 是BD=CD，求证课题练习:的平分线，且中，AD AC BD文档中线一倍辅助线作法 2:例A A方式1：延长AD△ABC中到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE BC BC D D方式2：间接倍长EA A延长MD到NAD于F，，作CF⊥F作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，M连接BE 连接CD CB D D CBE N例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，A求证：BD=CEDBCF E课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交A?ABCAB?AC，D：已知：如图，在AC于例5、E中，DF//BA A交AE于点F，DF=AC. 作DE=EC在BC上，且，过D FE?BAC求证：AE平分FED第1 题文档BAE ∠ABD的中线，求证：∠C=∠BAD，AE是△课堂练习：已知CD=AB，∠BDA= ABC DE作业：的延长线相交于DC，∠EAFAF与AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=1、在四边形ABCD 中，之间的数量关系，并证明你的结论与AF、CF点F。
倍长中线、截长补短
三角形全等之倍长中线、截长补短所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE△ABC 中AD 是BC边中线方式2：间接倍长①作CF ⊥AD 于F ，②延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠练习：1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF2、如图，AB=AE ，A B ⊥AE ，AD=AC ，A D ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM第 1 题图ABFDECC M角平分线中截长补短方法在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。
例１．已知：如图，在△ABC 中，AB>AC ∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.例２．如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ． 求证：AB -AC >PB -PC ．例3.已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例4.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DC B A12图4-121PD CB A D OECB AF EDC B A练习：1、已知：△ABC 中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围。
中线倍长法
几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:1: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CD1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
2:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC3：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CECADCE4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //6、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论（二）截长补短法1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°.2.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.第 1 题图 A B F D E CABCD图1-13.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.4已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .（三）综合练习1. 已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD2.BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。
倍长中线与截长补短
1 / 15倍长中线与截长补短例题精讲【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ． 则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．题型一：倍长中线EAB C DABCABD【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．典题精练【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中AE BE AEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．E DC B A FCA EB D3 / 15NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD =∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．GFEDCBA FE D C BANABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ，∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS)易证△PCN 为等腰直角三角形，又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．5 / 15题型二：截长补短定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =例题精讲【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =， ∴ACD AED △≌△，∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒思路导航D C B AE DCB A D CE BAEDCBA典题精练【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD = ∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC = ∴AB BD AC +=．方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠∴AE AC =EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠ ∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.7 / 15【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =． ∴ABD AED △≌△．∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
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几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2
1
(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤
2
1
(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。
待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。
证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。
在△ADB 和△EDC 中，
AD =DE ∠ADB =∠EDC
BD =DC
∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE
又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE
∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2
1
(AB+AC)
小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC
C
例2: 中线一倍辅助线作法
△ABC 中
方式1： 延长AD 到
E ，
AD 是BC 边中线
使DE=AD ，
连接BE 方式2：间接倍长
作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，
作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD
例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且
DF=EF ，求证：BD=CE
课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长
BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
作业：
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
第 1 题图 A B F D E
C
2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC
于F ，求证：AF=EF
4：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
5、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
D A B C
M T E
A
D
B
C
E
图2-1
（二）截长补短法 例1.
已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转
化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，
可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图
1-2
∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩⎨
⎧==CD
AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
A
B C
D
图1-1
F
E D
C
B
A
图1-2
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
A
B C
D
P
1
2
N
图3-1
D C
B
A
12
图4-1
作业：
1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
C
E D
B
A
（三）其它几种常见的形式：
1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,
求证：BE＋CF＞EF。
F
E D C
B
A
A
B
C
D
E F
N
1
图
1
234
2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全
等三角形。
例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF
练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。
3、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC
2
图A
B
C
D
E F
M 123
4A B C D
E F
4
图A
B
C
D
E
6
图O
4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。
5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。
求证：BD ＝2CE
6连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。
A
B
C
D
7
图1
2
3
4
D C B A 110 图O
九、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
10图D
C
B A
M
N。