全等三角形之倍长中线法资料讲解
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解
三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。
倍长中线法(经典例题)讲课讲稿
倍长中线法(经典例题)倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】△ABC中延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD 到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE过D作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD为ABC∆的中线，DE平分BDA∠交AB于E，DF平分ADC∠交AC于F. 求证：EFCFBE>+EAB C4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图 DF CBEADABCMTE。
倍长中线法(经典例题)2资料讲解
倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
倍长中线法构造全等三角形例题
倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。
而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。
本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。
二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。
2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。
在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。
对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。
而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。
这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。
三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。
例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。
连接DE并延长到F，使得DF = AB。
证明△ADF≌△ABC。
解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。
2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。
3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。
4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。
5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。
(完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
(完整版)三角形全等之倍长中线(讲义)
三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BC A➢ 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点延长FE 交BC 的延长线于点GD CBAMAB CD F EDCBA➢精讲精练1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC >2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．D C BADBA3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．DCB AFED CA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AGFE DB AFE DCB A7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFE D CB A【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21EDCB A3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G 321MA BCDEF6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3GAFD GFC DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG∵AD =2.7∴CG =2.7∵AE =BE∴∠1=∠B∵AB ⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B +∠G =90°∴∠2=∠G∴EG =AE =5∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180°∴EF ∥CD∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45°∴EG =CG。
全等三角形中的倍长类中线--讲义--学生版
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA例题精讲全等三角形中的倍长类中线【例3】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA家庭作业。
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课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线
△ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E，
例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF
丄AC于F,证明二次全等
方法2 :辅助线同上，利用面积
方法3 :倍长中线AD
E
方式2 :间接倍长
作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到
C
【经典例题】
例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围.
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
N,使DN=MD连接CN
C
例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF
使DE=AD，连接BE
方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB
方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH
例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF
例5:已知：如图，在 ABC 中，AB
求证：AE 平分 BAC
方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH
例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS
A
提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形
AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC.
第1题图
【融会贯通】
1在四边形 ABCD 中，AB // DC E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延长线相交于点 F 。
试探究线 段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长 AE 、DF 交于G,证明AB=GC AF=GF 所以AB=AF+FC
2、如图，AD 为 ABC 的中线，DE 平分 BDA 交AB 于E ，DF 平分 ADC 交AC 于F.求证：BE CF EF
提示：方法1:在DA 上截取 DG=BD ，连结EG 、FG ,证明△ BDE^A GDE △ DCF
DGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边
方法2: 1
倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH-EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边 3、已知：如图， ABC 中， C=90 , CM AB 于M , AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ,过D 作DE//AB
交BC 于E ,求证：CT=BE.提示：过 T 作TN 丄AB 于N,证明A BTN^A ECD
f
C
E 第14题图。