三角形全等之倍长中线(讲义及答案)
三角形全等之倍长中线(类倍长一)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________．问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线．三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．如图，先在图上走通思路后再填写空格内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABE，△ECF；③AB=CF；④等角对等边B.②SAS，△ABE，△DEC；③AB=CF，∠BAE=∠F；④等边对等角C.②SA S，△ABE，△FCE；③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F；④等边对等角D.②SAS，△ABE，△FCE；③AB=FC，∠BAE=∠F；④等角对等边答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．∵E是BC的中点∴BE=CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED（SAS）∴____________________________∵∠BAE=∠D____________________________∴AB=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：①BF=CD，∠EBF=∠C；②BF=CD，∠F=∠D；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线3.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．如图，先在图上走通思路后再填写横线上的内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长GE到点H，使EH=GE，连接CH；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④再与已知条件重新组合，经过推理，可得BG=CF．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABD，△FEC；③BG=CF；B.②SAS，△BEG，△CEH；③BG=CH，∠BGE=∠H；C.②SAS，△BEG，△CEH；③GE=HE，∠BGE=∠H；D.②SAS，△BEG，△EHC；③BG=CH；答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线4.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．证明：延长FE到点H，使得EH=FE，连接BH．∵E为BC的中点∴BE=CE在△BEH和△CEF中∴△BEH≌△CEF（SAS）∴____________________________∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵AD∥EF∴____________________________∴∠3=∠H∴BG=BH∴BG=CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠H=∠F，BH=CF；②BH=CF，∠EBH=∠C；③∴∠1=∠3；④∴∠1=∠3，∠2=∠F．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线。
三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解
三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。
全等三角形倍长中线知识点
全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。
在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。
全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。
当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。
倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。
具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。
我们来看倍长中线的性质。
根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。
也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。
2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。
接下来，我们来探讨倍长中线的应用。
倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。
当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。
通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。
2. 求解三角形的面积。
由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。
通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。
3. 寻找三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。
在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。
因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。
总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )＜AB＜12 ＜AB＜12 ＜AB＜19 ＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 答案：A解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。
由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 答案：A解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。
④不正确。
4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）答案：C解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE 个个个个答案：D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)
全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
三角形全等之倍长中线(习题及答案).docx
三角形全等之倍长中线（习题）＞例题示范例1：己知：如图，在厶ABC 中，ABHAC, D, E在B C上，且DE=EC,过D 作DF〃BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE平分ZBAC.读题标注:见中线，要倍长，倍长之后证全等.结合此题，DE二EC,点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法:考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长屮线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△ DEF竺HCEG,由全等转移边和角，重新组织条件证明即可.【过程书写】证明：如图，延长FE到G,使EG=EF,连接CG・①考虑倍长FE,如图所示: ②考虑倍长AE,如图所示:（这个过程需要【思路分析】G在ADEF 和ACEG 中，ED = EC< ZDEF =乙 CEGEF = EG:・\DEF 竺HCEG (SAS):.DF=CG, ZDFE=ZGVZ)F=AC・•・CG=AC:.ZG=ZCAE:.ZDFE=ZCAE'JDF//AB:.ZDFE=ZBAE:.ZBAE=ZCAE:.AE 平分 ZBAC1. 已知：如图，在中，AB=4, AC=2,点D 为BC 边的中点，且AD 是 整数，贝IJAD 二 .2. 已知：如图，BD 平分ZABC 交AC 于 D 点E 为CD 上一点，且AD 二DE, EF//BC交 BD 于 F.求证：AB=EF ・巩固练习3.已知I：如图，在△ ABC中，AD是BC边上的屮线，分别以AB, AC为直角边向外作等腰直角三角形,AB=AE,AC=AF,ZBAE= ZCAF=9Q°.求证：EF=2AD.4.如图，在厶ABC屮，AB >AC, E为BC边的屮点，AD为ZBAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在BC上，点F 是CD的屮点，连接AF, EF, AE,若ZDAFLEAF,求证：AFLEF.＞思考小结1.如图，在厶ABC屮，AD 平分ABAC, _BL BD=CD.求证：AB=AC,比较下列两种不同的证明方法，并回答问题.方法1:如图，延长AD到E,使连接BE在△BDE和屮BD = CD<ZBDE = ZCDADE = DA:./XBDE^^CDA (SAS)・・・AC=BE, ZE=Z2TAD 平分ABACAZ1 = Z2AZ1 = ZE:.AB=BE:.AB=AC方法2：如图，过点B作BE〃AC,•: BE〃ACAZE=Z2在ZXBDE和△(?»中ZE = Z2<ZBDE = AC DABD = CD；・^BDEmaCDA (AAS):・ BE二ACVAD 平分ABAC・・・Z1二Z2AZ1 = Z£:.AB=BE:.AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题.方法1是看到中点考虑通过 _____________________________ 构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等.不同点：倍长中线的方法在证明全等吋，利用的判定是,实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹屮点证明全等时，利用的判定是,实质是利用平行构造了一组相等.2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：育•角三角形斜边中线等于斜边的一半•请你尝试进行证明.己知：如图，在RtAABC中，ZBCA=90。
三角形全等之倍长中线(含问题详解和练习)
三角形全等之倍长中线1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ．（2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DBAD CB AE D CBF EDC AGFE DB ADB A6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．FE DCB A GF EDCBA【参考答案】1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，∴AE =2AD ．∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由①可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE ．4321ECDBA在△ADC 和△EDB 中34CD BD AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 3. 证明：如图，54EC AFB31D2延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ． ∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中21BD AD DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠3=∠A ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =AC ∴BE =BF∵∠CBE 是△ABC 的一个外角 ∴∠CBE =∠BCA +∠A=∠BCA +∠3∵AC =AB ∴∠BCA =∠CBA ∴∠CBE =∠CBA +∠3 =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠4=∠5 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM ．MCDBEFA∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠CAD =∠M ，AC =MB∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠BEM ∴∠CAD =∠BEM ∵∠AEF =∠BEM ∴∠CAD =∠AEF 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM ．321MBG EDCA F∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠3=∠M ∴∠3=∠F ∵AD ∥EF∴∠2=∠F ，∠1=∠3 ∴∠1=∠2即AD 为△ABC 的角平分线．6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G ．54321GA B CD EF∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中312G DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠5=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠4+∠5=90° ∠B +∠G =90° ∴∠4=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG ，交CD 的延长线于M ．MAFEBGC D由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中FEG M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠ECG =∠MCG =45° ∴EG =CG全等三角形之倍长中线每日一题1. （4月21日）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点． 求证：AE ⊥BE ．EDCB A A2.（4月22日）已知：如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．3.（4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．求证：△DEF为等腰直角三角形．4.（4月24日）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．FEDCFEDCBA【参考答案】1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F ．FEDC B A∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点 ∴DE =CE在△ADE 和△FCE 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠AEB =∠FEB =90°即AE ⊥BE2. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下：延长DF 交AC 于点P .P FE D CBA∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =CF在△EDF 和△CPF 中DEF PCF EF CFEFD CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （ASA ） ∴DE =CP ，DF=PF∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AC -DE=AC -CP 即AD =AP在△DAF 和△P AF 中DF PF AF AF AD AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△P AF （SSS ）∴∠DF A =∠PF A =90°，∠DAF =∠P AF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF3. 证明：延长ED 到点G ，使DG =DE ，连接BG ，FG ．GFE DCB A∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD在△EDA 和△GDB 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠GBF =∠GBD +∠FBD =90° 在△ECF 和△GBF 中EC GB ECF GBF CF BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴DE =DF∴△DEF 为等腰直角三角形 4. 解：AB =AF +CF ，理由如下：延长AE 交DF 的延长线于点G ．FECBA∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC =GF +FC ∴AB =AF +CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________．2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥AB 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．FE CBA【参考答案】1. 3<AB <132. 证明略（提示：延长AE 到点G ，使EG =EF ，连接CG ，证明△DEF ≌△CEG ）．三角形全等之倍长中线（作业）1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CB A2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．F E DA3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．FED CA4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．G FE CBA5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，连接AF ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．FE DB CA【参考答案】1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得AD =GD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）。
三角形全等之倍长中线习题及答案
三角形全等之倍长中线（习题）➢例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ． 【思路分析】 读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？G？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ． 在△DEF 和△CEG 中， ∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ． 求证：AB =EF ．3.已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°．求证：EF =2AD ．如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．F E DCBAG FEDCBA➢ 思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E21ECDBA 21ECDBA∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD 1AB．2【参考答案】➢巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）➢思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。
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9
∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即 AD 为△ABC 的角平分线 6. 解：如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G
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2. 证明：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
在△ADC 和△EDB 中 CD BD ADC EDB AD ED ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC=EB，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 3. 证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BF
4. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点， BE=AC，BE 的延长线交 AC 于点 F． 求证：∠AEF=∠EAF．
3
5. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点， EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于点 G，BG=CF． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
=52.7 =2.3
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7. 证明：如图，延长 EG 交 CD 的延长线于点 M
由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90° ∴∠DCB+∠FEB=180° ∴EF∥CD ∴∠FEG=∠M ∵点 G 为 FD 的中点 ∴FG=DG 在△FGE 和△DGM 中 1 M FGE DGM FG DG ∴△FGE≌△DGM（AAS） ∴EF=MD，EG=MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF=EB ∴BE=MD 在正方形 ABCD 中，BC=CD ∴BE+BC=MD+CD 即 EC=MC ∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG=MG ∴EG⊥CG，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG=CG
∵AD∥BC ∴∠3=∠G ∵点 F 是 CD 的中点 ∴DF=CF 在△ADF 和△GCF 中 3 G AFD GFC DF CF ∴△ADF≌△GCF（AAS） ∴AD=CG ∵AD=2.7 ∴CG=2.7 ∵AE=BE ∴∠1=∠B ∵AB⊥AF ∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90° ∴∠2=∠G ∴EG=AE=5 ∴CE=EGCG
三角形全等之倍长中线（讲义）
一、知识点睛
1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，________之后______________．
2. 中点的思考方向：
延长 AD 到 E，使 DE=AD， 延长 MD 到 E，使 DE=MD，
连接 BE
连接 CE
延长FE交BC的延长线于点G
1
二、精讲精练
5
【参考答案】
1. （1）证明：如图，
延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE ∴AE=2AD ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD 在△BDE 和△CDA 中 BD CD 1 2 ED AD ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴BE=AC 在△ABE 中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （2）解：由（1）可知 AE=2AD，BE=AC 在△ABE 中， ABBE<AE<AB+BE ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥AB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE 的长．
4
7. 如图，在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上取一点 E，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接 FD，取 FD 的中点 G， 连接 EG，CG． 求证：EG=CG 且 EG⊥CG．
CB 平分∠DCE 4. 证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BM
∵D 是 BC 边的中点
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∴BD=CD 在△ADC 和△MDB 中 CD BD ADC MDB AD MD ∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 5. 证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM=EF，连接 BM
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∴CF=2CD ∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD=AD 在△BDF 和△ADC 中
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BD AD ADC BDF DF DC ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE 和△CBF 中 CB CB CBE CBF BE BF ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD
1. AB+AC >2AD． （2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围．
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD． 求证：AB=AC．
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3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB 平分∠DCE．