三角形全等之倍长中线

三角形全等之倍长中线
课前预习
1. 填空
（1）三角形全等的判定有：
三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．
（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全．
2. 想一想，证一证
已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ．
O
B
C D
A
➢ 知识点睛
1. “三角形全等”辅助线：
见中线，要__________，构造______________． 2. 中点的思考方向：
① （类）倍长中线
延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE
D C
B A
M A
B
C
D
②平行夹中点
F E
D
C
B
A
延长FE 交BC 的延长线于点G
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．
（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．
求证：AB =AC ．
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．
求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．
D C
B A
D
B A
D C
B A
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长
线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．
5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA
的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，
且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．
7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，
过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．
求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．
F E
D
B
A
G
F
E
D
B
A
G
D
A
F
E D
C
B A
【参考答案】
➢ 课前预习
1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；
直角，HL
（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图
∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO
在△AOC 和△BOD 中
AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B
在△AOC 和△BOD 中
A B AO BO
AOC BOD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 解：（1）如图，
2
1B
C
D
A
（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线
∴BD =CD
在△BDE 和△CDA 中
12BD CD ED AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD
在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，
AB -BE <AE <AB +BE
由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <4
2. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE
在△ADC 和△EDB 中
CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE
∴AB =AC
3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF
∴CF =2CD
∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD
2
1E
D
C
B A
在△BDF 和△ADC 中
BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中
CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD
CB 平分∠DCE
4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM
∵D 是BC 边的中点
∴BD =CD
在△ADC 和△MDB 中
321A B
C
D
E F
ADC MDB AD MD ⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF
5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM
∵点E 是BC 的中点
∴BE =CE
在△CFE 和△BME 中
FE ME
CEF BEM CE BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF
∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3
即AD 为△ABC 的角平分线
6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G
∵AD ∥BC
∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF
在△ADF 和△GCF 中
3
21
M
A
B
C
D E
F G
AFD GFC DF CF ⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△GCF （AAS ）
∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG
=5-2.7
=2.3
7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M
由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90° ∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG
在△FGE 和△DGM 中
1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FGE ≌△DGM （AAS ）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG
6.(本小题17分)已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠CDE=90°，AB=BC，DC=DE，，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点．
求证：MD⊥MB，MD=MB．
证明：如图，延长BM交DE于点N．
3.(本小题17分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M是CD的中点，若AB=AD+BC，∠ABC=50°，
则∠BAM=( )
• A. 75°
• B. 65°
• C. 50°
• D. 40°。