2020中考将军饮马+变式最值
中考数学常见几何模型专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG 的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，mABmmABm菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC =∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠===，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '==，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC于点F，则EF FB+的最小值就是线段ED的长度，则EF FB+的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，60ABC∠=︒，将ABD∆沿射线BD的方向平移，得到A B D'''∆，分别连接A C'，A D'，B C'，则A C B C''+的最小值为____________．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
中考数学专题利用”将军饮马“解决线段最值问题
针对训练 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，且E、F为边OA上的两个动点，且 EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
在平面直角坐标系中矩形oacb的顶点o为坐标原点顶点ab分别在x轴y轴轴的正半轴上oa3ob4d为边ob的中点且ef为边oa上的两个动点且ef2当四边形cdef的周长最小时求点ef的坐标
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一 “一线两点”型(一个动点＋两个定点) (1)异侧线段和最小值问题 模型分析
5. 如图，抛物线的顶点D(-1，4)，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C(0，3)．已知点E(0，-3)，点F为抛物线对称轴上一动点，当△CEF的周长取得 最小值时，点F的坐标为___________．
第5题图
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．
第1题图
中考培优竞赛专题经典讲义最值问题之将军饮马问题
2
2
2
∵ C( 1 ， 0) ，∴ CN＝ 3﹣ 1 ﹣ 3 ＝ 1，在 Rt△ DNC 中，由勾股定理得： DC＝ 31 ，
2
22
2
即 PA＋ PC 的最小值是 31 ． 2
【 思考 】
若把题中条件点“ C 的坐标为 ( 1 ， 0) ”改为“点 C 为 OA 边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2
∴ OE＝ 1 OA′＝ 2，A′E＝
2
4
2
2 ＝2 3 ．
2
∴ AM ＋MP ＋ PN 的最小值为 2 3 ．
【巩固练习】
1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点
上有一点 P，使 PD ＋ PE 的和最小，则这个最小值为
．
E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC
；
(2) 求△ AMN 的周长最小值．
解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N，则 A′A″即为△ AMN 的周
长最小值． ⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠ BAE＝ 120°，∴∠ AA′A″＋∠ AA″A′＝ 60°，
PA＋ PC 最小值又是多少呢？
解答：∵ PA＋ PC＝PC ＋PD＝ CD≥ DN ＝ 3 3 ，∴ PA＋ PC 的最小值为 3 3 ．
2
2
例题 2、某长方体的长、宽、高分别为 4、 3、 5，
(1) 如图 1，点 A、 B 分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点
A 沿长方体侧面爬到点 B，则最短路线
则 Rt△A′HA 中，∵∠ EAB＝ 120°，∴∠ HAA ′＝60°， ∵ A′H⊥ HA，∴∠ AA″H＝ 30°，∴ AH ＝ 1 AA′＝ 1，∴ A′H＝ 3 ， A″H＝ 1＋ 4＝5，
2020中考数学复习微专题：最值问题(将军饮马)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.BB【答案】3 【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，13AB =，故答案为32、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BBBB3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值=22+=，6561∴AM+AN的最小值为61．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P（32，32）．故答案为：（32，32）．。
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.BB【答案】3 【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，13AB =，故答案为32、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BBBB3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值=22+=，6561∴AM+AN的最小值为61．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P（32，32）．故答案为：（32，32）．。
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讲“将军饮马”型最值问题
例 1 （中考题 - 改编）如图，已知点 A（-4 ，8）和点 B（2 ，n ）在抛物线y ax2上.
（ 1 ）求 a 的值；
（2）在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+BQ 最短，求出点 Q 的坐标；
（3 ）平移抛物线，记平移后 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B ，当抛物线向左平移到某个位置时，AC CB 最短，求此时抛物线的函数解析式
例 2 如图，抛物线y 3x2 18x 3和 y 轴的交点为 A，M 为OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直
例 3 （2017 花都一模 16 题）如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，∠ B= ∠ D=90 °，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN+ ∠ANM 的度数为 .
例 4 如图，∠ MON=20 °， A 为射线 OM 上一点， OA=4 ， D 为射线 ON 上一点， OD=8 ， C 为射线 AM 上线运动到点 A ，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长 .
任意一点， B 是线段 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值是 .
例 5 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3 ，3 ），1
点 C的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 __________ ．
2
例 6 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a a 0 图象的顶点为 H ，与 x 轴交于 A ，B 两点(B 在 A 点右3侧 ) ，点 H 、 B 关于直线l : y3x3 对称．
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(1)A 坐标为； B 坐标为；H 坐标为；
(2) 求二次函数解析式；
(3) 过点 B 作直线 BK∥AH 交直线l 于K 点， M、N 分别为直线 AH 和直线l上的两个动点，连接 HN、NM 、 MK ，求 HN+NM+MK 和的最小值．
例 7 如图，地上放着一个长、宽、高分别为 50cm 、40cm 、 30cm
的箱子，位于角 A 处的一只蚂蚁发现了位于角 B 处的一只苍蝇，问：蚂蚁沿着箱面怎样爬才能使它到 B 处的路程最短，最短路程是多少？（结果精确到 0.01cm ）
例 8 如图所示，已知一个圆柱体杯子高为18
6 ，直径为18，点 O 是 CD 的中点，一只蚂蚁在 A 处（杯子外面），想吃到杯子内部点 O 处的糖，当 P 在何处即 PC= 时，蚂蚁爬行的路程最短．
例 9 圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，一只蚂蚁从底面圆周上的点 B 出发沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 的中点 D ．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？
【巩固练习】
1. 已知点 A（1，1）和点 B（3 ， 2 ），在直线 y=-x 上有一个点 P，满足 PA+PB 最小，则 PA+PB 的最小值是 .
建在
公路 l 的何位置，可使邮递员走的路程最短？
2. 如图，长方体的长、宽、高分别为 8 、4 、5 ，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点 A 爬到顶点 B ，则它走过的路程最短为 .
4.八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的A O ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子， OB
桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给 D 处的小红，最后回到 C 处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）
5.如图：有一圆锥形粮仓，其轴截面是边长为 6m 的正三角形 ABC ，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上点 B 出发，
沿着圆锥的侧面爬行到达母线 AC 的中点 P ，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
6. 如图，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接
PB 、 PQ ，则△PBQ 周长的最小值为cm（结果不取近似值） .
7. 已知点 A 是半圆上的一个三等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若⊙ O 的半径长为 1 ，则 AP+BP 的最小值为 ________
8. 如图所示，有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm ， AA 1， BB 1为相对的两条母线，在 AA 1上有 只蜘蛛在 Q 点， QA=3cm ；在BB 1上有一只苍蝇在 P 点， PB 1 =2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇， 最短的路径是 cm. （结果用带和根号的式子表示）
9. 已知直线 l 为 x+y=8 ，点 P （x ，y ）在 l 上，点 A 的坐标为（ 6 ， 0 ）．在直线 l 上有一点 P ，使 OP+PA 的 和最小，求点 M 的坐标．
10. （2018 越秀八下期末 16 题）如图，在边长为 2 的等边三角形中， D 是BC
的中点，点
E
在线段 AD 上， 连接 BE ，在 BE 的下方作等边△ BEF ，连接 DF.当△ BDF 的周长最小时，∠ DBF 的度数是 .
11. 如图，∠ AOB= α，P 在∠AOB 内， OP=2 ，M 和 N 分别为 OA ，OB 上一动点，当 △PMN 的周长为最小 值 2 时， α= .
使用日期： 2020 年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练
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41 1 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 x=4 与 y= x+b 的图象交于点 A （4 ， ），直线 y=- x+4 与直 3
3 2 线 y= x+b 交于点 B ，与 x 轴交于点 C ．
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（ 1 ）求点 B 的坐标；
1 （2）直线 l ：y=- x+4 与 y 轴交于点 D ，在直线 x=4 上是否存在点 P 使得△PDC 是等腰直角三角形？若存 2
在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3 ）在平面直角坐标系中，点 Q 从点 B 出发沿适当路径运动到直线 x=4 上的点 M ，然后再沿适当路径运动到 y 轴上的点 N ，最后再沿适当路径运动到点 C ．当 Q 点的运动路径最小时，求点 M ，N 的坐标及运动路径的最 小值；。