人教版高一必修2数学期末测试题
高一数学必修2期末试题及答案解析(K12教育文档)
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高一数学必修2期末试题及答案解析参考公式:圆台的表面积公式：()22''S r r r l rl π=+++（'r r 、分别为圆台的上、下底面半径,l 为母线长）柱体、椎体、台体的体积公式: =(V Sh S 柱体为底面积,h 为柱体高）1=(3V Sh S 椎体为底面积,h 为椎体高）()1=''3V S S S S h ++台体(',S S 分别为上、下底面面积，h 为台体高）一、选择题1。
下列几何体中是棱柱的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是A 、11,,122⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,1,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,1,22⎛⎫⎪⎝⎭D 、11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中,130BAB ∠=°，则1C D 与1B B 所成的角是A、60°B、90°C、30°D、45°4。
下列直线中，与直线10x y+-=的相交的是A、226x y+=B、0x y+=C、3y x=-- D、1y x=-5。
在空间四边形ABCD的各边AB BC CD DA、、、上的依次取点E F G H、、、，若EH FG、所在直线相交于点P,则A、点P必在直线AC上B、点P必在直线BD上C、点P必在平面DBC外D、点P必在平面ABC内6. 已知直线aα⊂，给出以下四个命题：①若平面//α平面β，则直线//a平面β；②若直线//a平面β，则平面//α平面β;③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β。
人教版高中数学必修二期末测试卷及答案详解
人教版高中数学必修二期末检测卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，在正方体EFGH−E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A. 平面E1FG1与平面EGH1B. 平面FHG1与平面F1H1GC. 平面F1H1H与平面FHE1D. 平面E1HG1与平面EH1G2.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊂a，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α.则m//α；④若α⊥β，m//α，则m⊥β．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l=β∩γ，l//α，m⊂α和m⊥γ，那么()A. α⊥γ且l⊥mB. α⊥γ，且m//βC. m//β且l⊥mD. α//β且α⊥γ4.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A. 2√5B. 5√2C. 4D. 85.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. −1或2B. 0或2C. 2D. −16.已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0，l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>c1C. b <0，d >0，a >cD. b <0，d >0，a <c7. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0，l 2:2x +(a +1)y +6=0，圆C:x 2+y 2+2x =b 2−1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为 ( )A. (√2,3√22)B. (0,√2)C. (0,3√22)D. (√2,3√22)∪(3√22,+∞) 8. 直线y =kx +3与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k 的值是( )A. −34B. 0C. 0或−34D. 34 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ．10. 过两圆x 2+y 2−2y −4=0与x 2+y 2−4x +2y =0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y −1=0上的圆的方程是_________________．11. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________．12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则截面的面积为 ．13. 已知点M 是点P(4,5)关于直线y =3x −3的对称点，则过点M 且平行于直线y =3x −3的直线的方程是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，O 为AB 的中点，CA =CB ，AB =AA 1，∠BAA 1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．15.已知直线m:(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n:x−2y+3=0．(1)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为√5，判断m与n的位置关系．16.求过点P(4,−1)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程．317.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心C(a,b)在直线l：y=2x−4上．(1)若圆心C也在直线y=−x+5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：(1)A1B1//平面DEC1；(2)BE⊥C1E.19.已知ΔABC的顶点B(3,4)，AB边上的高所在的直线方程为x+y−3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x+3y−7=0．(Ⅰ)求顶点A的坐标；(Ⅱ)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程．20.已知直线l：x−ay+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A，B两点，|AB|=2√3．(1)求a的值；(2)求与直线l平行的圆C的切线方程．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于中档题．根据几何体中的线段特征确定平行关系，再确定线面的平行关系，E1G1//面EGH1，E1F//面EGH1，即可得出确定的平行平面．【解答】解：如图：在正方体EFGH−E1F1G1H1中，连接EG，E1F，E1G1，H1E，H1G，∵EG//E1G1，EG⊂面EGH1，E1G1⊄面EGH1，∴E1G1//面EGH1，∵E1F//H1G，H1G⊂面EGH1，E1F⊄面EGH1，∴E1F//面EGH1，∵E1G1∩E1F=E1，E1G1，E1F⊂面E1FG1，∴面EGH1//面E1FG1，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论5结果，可得答案．【解答】解：根据面面垂直的性质，故①正确；由α⊥γ，β⊥γ，得到α//β或相交，故②错误;由α⊥β，且m⊥β，得到m与α可能平行，也可能m在平面面α内，又m⊄α，则m//α，故③正确；若α⊥β，m//α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故④错误；其中正确命题的个数为2．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，属于基础题．m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ.然后推出l⊥m，得到结果．【解答】解：∵m⊂α且m⊥γ，∴α⊥γ，∵l=β∩γ，∴l⊂γ．又∵m⊥γ，∴l⊥m，即α⊥γ且l⊥m，故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用函数的几何意义求函数的最值，考查两点之间的距离公式的运用，属于中档题．由题意得到f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离，即要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|即可求解．【解答】解：∵f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0−3)2，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离之和．设点A(−2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(−2,−4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|=√(−1+2)2+(3+4)2=5√2，即f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为5√2．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a·a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a.经过验证即可得出．【解答】解：由题意知a⋅a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的一般式向斜截式转化，属于基础题．将直线转化成斜截式，根据图象得两直线斜率、截距的不等关系，解不等式即可得解．【解答】解：l1 :y=−1a x−ba，l2 : y=−1cx−dc，由图象知：①−1a >−1c>0,②−ba<0,③−dc>0，，故选C．77.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及应用，属于中档题．结合新定义，求出圆心到直线的距离，根据相离相切的条件求出b 的范围，进而求出平行相交时b 的范围．【解答】解：圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2，由两直线平行得a(a +1)−6=0，解得a =2或a =−3．又当a =2时，直线l 1，l 2重合，应舍去，∴两平行线的方程分别为x −y −2=0和x −y +3=0．由直线x −y −2=0与圆(x +1)2+y 2=b 2相切，得b =√2=3√22; 由直线x −y +3=0与圆相切，得b =√2=√2．当两直线与圆都相离时，b <√2．∴“平行相交”时，b 满足{b >√2,b ≠3√22, ∴b 的取值范围是(√2,3√22)∪(3√22,+∞)． 故选D ． 8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 由点到直线距离公式可得弦心距d =√k 2+1，再由弦长，半径，弦心距之间关系列出关于k 的等式，由此解得k 的值．【解答】解：圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离d =√k 2+1，则|MN|=2 √4−(3k+1)2k 2+1=2√3，解得k =0或k =−34． 故选C ．9.【答案】√105．【解析】【分析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定，属于中档题．根据正方形条件得到线线垂直，再由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直找到点C1在面BB1D1D上的射影O，即线面角∠OBC1，进一步利用锐角三角形求解．【解答】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1，而BB1∩B1D1=B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1=12A1C1=12√22+22=√2．在矩形BB1C1C中，BC1=√BC2+CC12=√4+1=√5．9∴sin∠C1BO=OC1BC1=√2√5=√105．故答案为√105．10.【答案】x2+y2−3x+y−1=0【解析】【分析】本题考查求圆的一般方程，圆系方程及其应用，属于中档题．可设新圆方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)，通过整理，不难表示出新圆的圆心坐标，接下来根据新圆的圆心在直线l上，将所得圆心坐标代入，解方程即可得解．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)．整理得x2+y2+−41+λx+2−2λ1+λy−4λ1+λ=0，所以圆心坐标为(21+λ,λ−11+λ)，因为圆心在直线2x+4y=1上，故41+λ+4(λ−1)1+λ=1，解得λ=13．所以所求圆的方程为x2+y2−3x+y−1=0．故答案为x2+y2−3x+y−1=0．11.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与圆相切的性质的应用，求圆的标准方程，难度一般．先求出圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=√2=5√2.再求过点C1且垂直于x+ y−2=0的直线y=x，所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22=√2，则圆C2的半径长为√2.设C2的坐标为(x0,x0)，则00√2=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，即可求出所求．【解答】解：曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，=5√2．其圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2|√2过点C1且垂直于x+y−2=0的直线为y−6=x−6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，=√2，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22则圆C2的半径长为√2．设C2的坐标为(x0,x0)，=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，则00√2所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．故答案为(x−2)2+(y−2)2=2．12.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查截面面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1.由已知得四边形A1MCN是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于H，由题意能求出截面的面积．【解答】解：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，11∵A1N//PC1//MC，且A1N=PC1=MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N//PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴A1N//平面PBC1，同理可证A1M//平面PBC1，∵A1N∩A1M=A1，且A1N，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN//平面PBC1,因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M=A1N=√5，MN=2√2，∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H=√3，∴S△A1MN =12×2√2×√3=√6．故S▱A1MCN =2S△A1MN=2√6．故答案为2√6．13.【答案】3x−y+1=0【解析】【分析】本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的点斜式，是基础题．设出M的坐标，利用点到直线的距离以及两平行线间的距离公式求解．【解答】解：因为点M是点P(4,5)关于直线y=3x−3的对称点，所以两点到直线y=3x−3的距离相等，所以过点M且平行于直线y=3x−3的直线与y=3x−3之间的距离等于点P到直线y=3x−3的距离．点P(4,5)到直线3x−y−3=0距离为√12+32=√10．设过点M且与直线y=3x−3平行的直线的方程为3x−y+c=0，13所以由两平行线间的距离公式有√12+32=√10，即|c +3|=4，解得c =1或c =−7， 即所求直线的方程为3x −y −7=0或3x −y +1=0．由于点P(4,5)在直线3x −y −7=0上，故过M 点且平行于直线y =3x −3的直线方程是3x −y +1=0．14.【答案】(1)证明：∵CA =CB ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ．∵AB =AA 1，∠BAA 1=60∘，∴△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB ，又OC ∩OA 1=O ，∴AB ⊥平面A 1OC ．(2)解：∵AB =CB =2，∴△ABC 为边长是2的等边三角形，则S △ABC =12×2×√3=√3．∵OA 1⊥AB ，OA 1⊥OC ，AB ∩OC =O ，∴OA 1⊥平面ABC ，即OA 1是三棱锥A 1−ABC 的高，又OA 1=√3，∴三棱锥A 1−ABC 的体积V =13×√3×√3=1．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出CO ⊥AB ，A 1O ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面A 1OC ．(2)推导出A 1O ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A 1−ABC 的体积．15.【答案】解：(1)当a =0时，直线m:x −3y −6=0，由{x −3y −6=0x −2y +3=0，解得{x =−21y =−9， 即m 与n 的交点为(−21,−9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0; 当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入得b =−12，所以直线l 的方程为x −y +12=0．故满足条件的直线l 的方程为3x −7y =0或x −y +12=0．(2)设原点O 到直线m 的距离为d ，则d =√(a−1)2+(2a+3)2=√5，解得a =−14或a =−73，当a =−14时，直线m 的方程为x −2y −5=0，此时m//n;当a =−73时，直线m 的方程为2x +y −5=0，此时m ⊥n.【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，两条直线平行与垂直的判定，点到直线的距离公式，属于中档题．(1)当a =0时，由题意可求出x 与y ，可求出m 与n 的交点，当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0，当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入即可求解．(2)求出原点O 到直线m 的距离d ，求出a ，当a =−14时，证明m//n ，当a =−73时，证明m ⊥n. 16.【答案】解：∵所求直线与直线3x −4y +6=0垂直，∴设其为4x +3y +m =0．∵该直线过点P(4,−1)，∴4×4+3×(−1)+m =0，解得m =−13．故所求直线方程为4x +3y −13=0．【解析】考查对于直线方程的求解问题，利用垂直性质求解，属于基础．17.【答案】解：(1)由{y =2x −4y =−x +5 得圆心C 为(3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：(x −3)2+(y −2)2=1；(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx −y +3=0，∴√k 2+1=1，∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k(4k +3)=0，∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3，即y =3或者3x +4y −12=0；(3)设M 为(x,y)，由√x 2+(y −3)2=√x 2+y 215整理得直线m ：y =32， ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上，即：圆C 和直线m 有公共点，∴|2a −4−32|≤1，∴94≤a ≤134，终上所述，a 的取值范围为：[94,134]．【解析】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l 与直线y =−x +5，求出方程组的解得到圆心C 坐标，可得圆C 的方程；(2)根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；(3)设M(x,y)，由|MA|=|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为直线y =32，由M 在圆C 上，得到圆C 与直线相交，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．18.【答案】证明：(1)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE//AB ，AB//A 1B 1，∴DE//A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．解：(2)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB =BC ．∴BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E .【解析】(1)推导出DE//AB ，AB//A 1B 1，从而DE//A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．(2)推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E .本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，∴k AB =−1−1=1． ∴直线AB 方程为：y −4=x −3，化为：x −y +1=0，联立{x −y +1=0x +3y −7=0，解得x =1，y =2．∴A(1,2)．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4)．联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得a =4，b =1.∴E(4,1)． 由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，①当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为：y =kx ．把E 的坐标代入可得：1=4k ，解得k =14．∴直线l 的方程为：y =14x.②当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为：x +y =m ．把E 的坐标代入可得：m =5．∴直线l 的方程为：x +y =5．综上直线l 的方程为：x −4y =0或x +y −5=0．【解析】本题考查了直线的方程、直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，可得k AB =1.把直线AB 方程与AE 的方程联立解得A 的坐标．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4).联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得E 坐标．由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，对截距分类讨论即可得出．20.【答案】解：(1)∵圆C ：(x −2)2+(y −1)2=4，∴圆心为(2,1)，半径r =2，∴圆心到直线x −ay +1=0的距离为：d =√12+a 2=√r 2−(√3)2=√4−3=1， 解得a =43，(2)由(1)知直线l ：3x −4y +3=0，因为切线与直线l 平行，所以设所求的切线方程为3x −4y +D =0．因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离d =√32+(−4)2=|2+D |5=2．所以D =8或D =−12．所以所求切线方程为3x −4y +8=0或3x −4y −12=0．【解析】本题主要考查了点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．(1)首先确定圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式可以列出等式，由此求出a的值．(2)由(1)知直线l：3x−4y+3=0，依题意，设所求切线方程为3x−4y+D=0，则圆心到=2.求解即可得结果切线的距离d=|2+D|517。
高一数学必修第二册期末测评(一)
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2．已知复数z满足(i－1)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则 z 的虚部为( B )
A．－1
B．1
C．0
D．2
解析 由(i－1)z＝1＋i，得z＝1i－＋1i＝1i－＋1i－ －11－ －ii＝－－11＋2－ii22＝－22i＝－i，∴ z
＝i，则 z 的虚部为1.故选B.
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10．下列式子中正确的是( BD )
A．sin
15°＋cos
15°＝
2 2
B．cos 75°＝
6－ 4
2
C．2 3tan 15°＋tan2105°＝1
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
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解析 对于A，∵(sin 15°＋cos 15°)2＝1＋2sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝32，∴sin
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19．(12分)已知函数f(x)＝4tan xsinπ2－xcosx－π3－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间－4π，π4上的单调性．
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7．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测
量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可
以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E，
H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为
Hale Waihona Puke 数 学 BS第 22 页
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设P(－3，－2)，Q(x,2)，则O→P与O→Q的夹角为钝角时，x的取值范围为 －43，3∪(3，＋∞) ．
人教版高中数学必修二期末测试题(附参考答案)
高一数学必修二期末测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是()．A ．21B ．23C ．22D ．2232．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是()．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是()．A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝04．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是()．A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是()．A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于()．A ．－1B ．－2C ．－3D ．0（4）（3）（1）（2）8．圆A :x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B :x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是()．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝()．A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9dm 3，则其表面积S 的值为()．A ．183dm 2B ．18dm 2C ．123dm 2D ．12dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是()．A ．515B ．22C ．510D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为()．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为()．A ．2πB ．32＋ 4πC ．32＋ 5πD ．37π14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是()．A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3B ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为362C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30°D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°PABCDE (第14题)(第11题)二、填空题15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________．16．若圆B :x 2＋y 2＋b ＝0与圆C :x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C :x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．三、解答题20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26．(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)DBACOEP参考答案一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D7．B8．C9．B10．A11．D12．B13．D14．D二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6．16．－4＜b ＜0或b ＜－64．17．17，10．18．－1．19．－3．三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0．21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角．∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角．∴tan ∠PAO ＝26．设AB ＝a ，AO ＝22a ，∴PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ，tan ∠PMO ＝MOPO＝3．∴∠PMO ＝60°．MDBACO EP(第21题(1))(2)连接AE ，OE ，∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ，∴tan ∠AEO ＝EOAO＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ．∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ．∴平面PMN ⊥平面PBC ．又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21MA ＝EG ，∴EF ∥MG ．∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3，①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12．显然两方程都无解．②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72．解得a ＝2±210，或a ＝2±26．∴所求圆的方程为(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16；或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16．MDBAC OEP(第21题(2))MDBACO EPN G F(第21题(3))。
人教B版高中数学必修二-第二学期期末考试高一年级试卷
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2015-2016学年第二学期期末考试高一年级数学试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷分第I 卷、第n 卷（共 2页）和答题卡，满分 150分，考试用时110分钟。
考试结束后，请将答 题卡交回，试题卷自己保存。
2.答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、用 0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3. 作答非选择题必须用 0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第I 卷（选择题，共 60分） 、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 已知全集 U {0, 1, 2, 3, {0, 1, 2} , N {2, 3},则(？U M) N ()2、 3、A. 2sin135 A. 12B.C. 2, 3, 4D. 0, 1, 2, 3, 4的值为（）B .C' 2 C ・2D .已知点P （tan ,sin）在第三象限，则角的终边在（） 4、 若 cos( ),则 sin(2 )5、 A. 1 2 已知弧度数为 A. 2 B.C3 C. 2D .2的圆心角所对的弦长是 4,则这个圆心角所对的弧长是（）2 B. 一 C. 2sin1sin 1sin16、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f (x) x 2 2x,则 y f (x)在 x (0)上的解析式为（） A. f(x)x(x 2) B. f(x) x(x 2) C. f(x) x (x 2) D. f (x)x(|x| 2)7、 如果 sin x cosx 8、 9、 A. 1 —,且0 5B. 45 ,那么sinx cosx 的值是（）函数 A. C. y 3sin(2x 向左平移一 3 已知函数 f(x) A.( C-( ,2) ,1] 210、已知 cos2 A.g18C.452 ______ 一..———）的图象，可看作是把函数3，，一 2B.向右平移一3D.向右平移一33sin2x 的图象作以下哪个平移得到（）ax (2, [2, B.11、若实数x 满足log 2x A. 2x 8 B. 2(a . 4sin11 18 1）在区间4 cos2 cos8 2x（1, 2）内存在零点，则实数 a 的取值范围为（）B-4,2 r 1 D. [~, 2的值为（） C.则|x1| |xC. 102)2]D.19 |的值等于（）D. 1012、已知a 是实数，则函数 f(x) 1 1 .一 sin ax 的图象不可能是a共20分）二、填空题（本题共 4道小题，每小题 5分,1、x . 13、函数y（一）x1在区间［2, 1］上的值域为 2奋斗没有终点任何时候都是一个起点14、计算 2log 310 log 3 0.27 5 4 -)一 ,sin一求 sin 13516、方程2sin(2x —) 1在区间(0,)内的解为 6tan 的值.19、(本题满分12分)已知函数f(x) 2x b 经过定点(2, 8) (1)求实数b 的值；(2)求不等式f(x) 3/32的解集.20、(本题满分12分)设函数f(x) sin2x J 3cos2x(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)当x [0,—]时，求函数f(x)的最大值和最小值.621、(本题满分12分)如图所示，函数 f (x) Asin( x ) (A 0,0, 一)的一段图象过2点(0, 1)(1)求函数f (x)的解析式；1(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标变为原来的一(横坐标不变)，得到函数y g(x)的图像，求 2 y g(x)的解析式及单调增区间.15、若三、解答题(共 70分，要求要有必要的文字说明和解题过程) 17、(本题满分 10分)设90180 ,角 的终边上一点为 P(x,可’5),且cos、2x,求sin 与418、(本题满分 12分)求值:(1) 若tansin2 ,求—— 3sin2.cos sincos2(2)1 sin13 cos1022、(本题满分12分)已知二次函数 f(x) x 2 16x q(1)若当x [ 1, 1]时，方程f (x)3有解，求实数q 的取值范围；；⑵ 问：是否存在常数q (0 q 10),使得当x [q, 10]时，f (x)的最小值为 54?若存在，求出q 的值，若不存在，说明理由.12*y11122015-2016学年第二学期期末考试高一年级数学试卷答案、选择题BCDBDAADBCCB二、填空题133 八13、[ -, 3] 14、3 15、—16、一或一265 6 2三、解答题17、x 310 , 15sin ------- tan --------------4 318、10(1)319、(1) b 1⑵ x (2,)320、(1) f (x) 2sin(2x —) , T(2)当 x [0,—]时,f(x)[隹 2] 621、(1) f (x) 2sin(2x —)6(2)g(x) sin(2x —),单调增区间为[k —, k -] ( k Z )6 3 622、1)q [ 20, 12]2)q 9。
高一数学必修二期末测试题及答案解析
(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4（B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D GAC 与三棱锥P GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．数学必修二期末测试题及答案CA一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径22(52)(62)5R -+-=， ……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得NM BD CA16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85. (3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面P AD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aaDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。
高一数学必修2期末试题及答案解析
高一数学必修2期末试题及答案解析参考公式：圆台的表面积公式：（分别为圆台的上、下底面半径，为母线长）柱体、椎体、台体的体积公式： 为底面积，为柱体高）为底面积，为椎体高）分别为上、下底面面积，为台体高）一、选择题1. 下列几何体中是棱柱的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是A 、B 、C 、D 、3. 如图所示，长方体中，°，则与所成的角是A 、60°B 、90°()22''S r r r l rl π=+++'r r 、l =(V Sh S 柱体h 1=(3V Sh S 椎体h ()1=''3V S S S S h +台体(',S Sh 11,,122⎛⎫⎪⎝⎭11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,22⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -130BAB ∠=1C D 1B BC 、30°D 、45°4. 下列直线中，与直线的相交的是 A 、B 、C 、D 、5. 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则 A 、点必在直线上 B 、点必在直线上C 、点必在平面外D 、点必在平面内6. 已知直线，给出以下四个命题： ①若平面平面，则直线平面； ②若直线平面，则平面平面；③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面。
其中正确的命题是A 、②B 、③C 、①②D 、①③7. 已知直线与直线垂直，则实数的值等于A 、B 、C 、D 、8. 如图所示，已知平面，则图中互相垂直的 平面有A 、3对B 、2对C 、1对D 、0对9. 已知是圆的弦的中点，则弦 所在的直线的方程是 A 、 B 、C 、 3D 、10x y +-=226x y +=0x y +=3y x =--1y x =-ABCD AB BC CD DA 、、、E F G H 、、、EH FG 、P P AC P BD P DBC P ABC a α⊂//αβ//a β//a β//αβa βαβ()110a a x y -+-=210x ay ++=a 123210,230,2AB ⊥,BCD BC CD ⊥()2,1P -()22125x y -+=AB AB 30x y --=10x y +-=230x y +-=250x y --=10. 已知直线都是正数）与圆相切，则以为三边长的三角形 A 、是锐角三角形 B 、是直角三角形C 、是钝角三角形D 、不存在二、填空题11. 直线与直线的交点坐标是 。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
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期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．
2
1 B ．
2
3 C ．
2
2 D ．
2
2
3 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
3．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋
2
1
y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y －1＝0
5．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．0
（4）
（3）
（1）
（2）
8．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．内含
9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6
B ．26
C ．2
D ．22
10．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2
B ．18 dm 2
C ．123dm 2
D ．12 dm 2
11．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．
A ．
5
15 B ．
2
2 C ．
5
10 D ．0
12．正六棱锥底面边长为a ，体积为2
3a 3
，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23
，此梯形绕下底所在直线旋转一
周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．
A ．2π
B ．
3
2
＋ 4π C ．
3
2
＋ 5π D ．
3
7π 14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )．
A ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为3
B ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为3
6
2
C ．BE 与平面P A
D 不平行，且B
E 与平面P AD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30°
P
A
B
C
D
E (第14题)
(第11题)
二、填空题
15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________． 16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．
17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．
18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．
19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．
三、解答题 20．求斜率为4
3
，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．
21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为
2
6． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；
(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；
(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．
22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．
(第21题)
B
P
参考答案
一、选择题 1．D
2．A
3．B
4．B
5．C
6．D
7．B
8．C
9．B
10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题
15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3． 三、解答题
20．解：设所求直线的方程为y ＝
43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－3
4b ，由已知，得
21 34 － ⎪⎭
⎫
⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3．
故所求的直线方程是y ＝
4
3
x ±3，即3x －4y ±12＝0． 21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，
则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，
∴∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠P AO ＝
26． 设AB ＝a ，AO ＝
2
2
a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝2
3
a ， tan ∠PMO ＝
MO
PO
＝3． ∴∠PMO ＝60°．
M
D
B
A
C
O
E
P
(第21题(1))
(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ，
∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角． ∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ．
∵OE ＝21
PD ＝
2122 ＋ DO PO ＝4
5
a ，
∴tan ∠AEO ＝EO
AO
＝5102．
(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ． ∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ． ∴平面PMN ⊥平面PBC ．
又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．
取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21
MA ＝EG ，
∴EF ∥MG ．
∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．
22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．
又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．
即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．
②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．
即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72． 解得a ＝2±210，或a ＝2±26． ∴所求圆的方程为
(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16； 或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.
M
D
B
A
C
O E
P
(第21题(2))
M D
B
A
C
O
E P
N G F
(第21题(3))。