高二数学上学期期末考试题及答案
2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省曲靖市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则{}2430A x x x =-+<{}480xB x =->A B =A ．B ．C ．D ．3(3,)2--3(3,2-3(1,)23(,3)2【答案】D【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B ，再利用交集的定义求出.A B ⋂【详解】，，则()(){}{}31013A x x x x x =--<=<<{}233222x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，故选D.332A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．复数（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）31iz i +=-A ．B ．C ．D ．21-i-2i【答案】D【分析】根据复数的乘除法运算法则可得复数，再根据复数的概念可得其虚部.12z i =+【详解】因为，()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+所以复数的虚部是2，z 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的乘除法算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则210θ（ ）c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭A BC D 【答案】D【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sin θ，cos θ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6，∴sin θ，cos θ，35=45=∴sin （）﹣cos （）＝﹣cos θ﹣（cos θcos ）sin θ）cos θ2πθ-6πθ+66sin sinππθ-12=1=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）A ．甲、丙B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果.【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设，1234x x x x <<<则()()()()()222221234112812812812813512819.85x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦∴，()()()()2222123412812812812850x x x x -+-+-+-=∴，()211112850128128120x x x -≤⇒-≤⇒≥->∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选:A5．函数的部分图象是（ ）()22sin 1x f x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.()f x 06x π<<()f x 【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-()f x ()f x轴对称，排除C ，D ；当时，，排除B.y 06x π<<()0f x <故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．的内角，，的对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c cos cos 3cos a B b A c C +=，则（ ）sin sin sin 0a A c C b A -+=b a =A ．B ．C ．D ．53737252【答案】A【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=1cos 3C =，得，结合余弦定理，即可求得本题答sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-222cos 2a b c C ab +-=案.【详解】在中，由正弦定理及，ABC cos cos 3cos a B b A c C +=得，sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=∴，sin()sin 3sin cos A B C C C +==又，∴；sin 0C ≠1cos 3C =由正弦定理及，得，sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-又由余弦定理得，22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===所以，得．213b a -=53b a =故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.7．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，22221x y a b +=12,F F 122FF c =A ， ，则椭圆的离心率1120AF F F ⋅= 212AF AF c ⋅=e =A B CD【答案】C【详解】由于，则， ， 1120AF F F ⋅= 2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()12,0,,0F c F c -22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ， ， ， ， ，，42122b AF AF c a ⋅== 2b ac=22a c ac -=21e e -=210e e +-=e = ，则，选C.01e <<e 二、多选题9．如图，在长方体中，，M ，N 分别为棱的中点，1111ABCD A B C D -14,2AA AB BC ===111,C D CC 则下列说法正确的是（ ）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面平面ADM ⊥11CDDC C ．直线与所成角的为D ．平面BN 1B M 60︒//BN ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外判断；B.平面，11ABC D 11ABC D AD ⊥11CDD C 再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由，得到为1//BE B M EBN ∠异面直线与所成的角判断；D.利用反证法判断.BN 1B M【详解】A.点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外，故错误；11ABC D 11ABC DB.在正方体中，平面，又平面ADM ，所以平面平面，故正确；AD ⊥11CDD C AD ⊂ADM ⊥11CDD CC.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得，则 为异面直线与所成的角，易知1//BE B M EBN ∠BN 1B M 是等边三角形，则 ，所以直线与所成角的为，故正确；EBN △60EBN ∠= BN 1B M 60︒D. 若平面，又 平面ADM ，又，所以平面 平面ADM ，//BN ADM //BC BC BN B = 11//BCC B 而平面平面，矛盾，故错误；11//BCC B 11ADD A 故选：BC10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，a b c d 从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d (),c d 对于A ，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A 错(),a b 116P =误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次(),a d (),b d (),c d品的概率，故B 正确；23162P ==对于C ，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率(),a b (),a c (),b c ，故C 错误；33162P ==对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d 故两件中至少有1件是一等品的概率，故D 正确.456P =故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.11．下列四个命题中，正确命题有（ ）A ．当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线()1210a x y a --++=的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是()5,020x y -=221520x y -=C ．抛物线的准线方程为()20y ax a =≠14y a =-D ．已知双曲线，其离心率，则m 的取值范围是2214x y m +=()1,2e ∈()12,0-【答案】ABCD【分析】对于A ，求出点的坐标即可判断，对于B ，根据条件可得P ,a b ==对于C ，根据抛物线的知识可判断，对于D ，得到，然后可判断.22222244c a b me a a +-===【详解】对于A ，当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，()1210a x y a --++=因为方程可化为()1210a x y a --++=()210a x x y +--+=所以，而过点，故A 正确；()2,3P -243x y=()2,3P -对于B ，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，()5,020x y -=则， ， ，解得，故双曲线的标准方程是，故B 正5c =2ba =222c ab =+,a b ==221520x y -=确；对于C ，抛物线的准线方程为，故C 正确；()20y ax a =≠14y a =-对于D ，根据题意，双曲线，其离心率，2214x y m -=-()1,2e ∈即，则，故D 正确.22222244c a b m e a a +-===4141204m m -<<⇒-<<故选：ABCD.12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层球的球的总数为，则（ ）n a n S A ．B ．11(2)n n a a n n --=+≥784S =C ．D ．9898992a ⨯=1232022111140442023a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】BCD 【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项123a a a 、、1n n a a n --=n a A 、C ；计算前7项的和即可判断B ；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，121321=1=2=3n n a a a a a a a n ----= ，，，，以上n 个式子累加可得，(1)=12(2)2n n n a n n ++++=≥ 又满足上式，所以，故A 错误；11a =(1)=2n n n a +则，2345673610152128a a a a a a ======，，，，，得，故B 正确；7127==1+3+6+10+15+21+28=84S a a a +++ 有，故C 正确；9898992a ⨯=由，1211=2((1)1n a n n n n =-++得，12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023a a a +++=-+-++-=-=故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数，则________．3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩(2020)f -=【答案】1-【解析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=【详解】根据题意，当时，，0x <()(3)f x f x =+所以，(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=当时，，0x ≥3()log (1)2f x x =+-所以.3log (21)(22)1f +-=-=故答案为：.1-【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.14．若数列，都等差数列，且有，则__________．{}n a {}n b 1212532n n a a a n b b b n ++++=++++ 77a b =【答案】6815【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.n 【详解】设等差数列、的前项和分别为{}n a {}n b n n nS T 、由1131137711312131131977113121313()25133682213()21321522a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b++++++⨯+=======+++++++ 故答案为:681515．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________;【答案】【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而R求出这个球的体积【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，R 即解得2R =R=则其体积，343V Rπ===故答案为：．16．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第x 1F 2F 一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范P 12PF F △2PF 210PF =围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．()1,2【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率(1,2)102102cc c ∈⇒>-521(,1).2105532c c c c c ==-∈+++【解析】椭圆离心率四、解答题17．已知函数.()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期；()f x (2)在中，角所对的边分别为，若，且的面积为ABC ,,A B C ,,a b c ()3,24f C a ==ABC 的值.c【答案】(1)π(2)c =【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，即可得到结果；()f x （2）根据条件求出，由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出c 即可.C b 【详解】（1），π111cos 21π1()sin sin()sin sin 2sin(2)3222264x f x x x x x x x x ⎛⎫-=+==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭故最小正周期为.2ππ2T ==（2），即，1π13()sin(22644f C C =-+=πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，所以，ππ22,62C k k π-=+∈Z ,3C k k ππ=+∈Z 因为，所以，()0,C π∈π3C =由三角形面积公式，且，解得，1sin 2S ab C ==2a =4b =由余弦定理，22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=解得.c =18．若数列满足，.{}n a 11a =-121(N ,2)n n a a n n *-=-∈≥(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a -{}n a (2)设，若数列的前项和为，求证：.2log (1)n n b a =-11(N )n n n b b *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n n T 1n T <【答案】(1)证明见解析，12n n a =-(2)证明见解析【分析】（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列121n n a a -=-()1121n n a a --=-{}1n a -的通项公式，可得数列的通项公式．{}n a （2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．n b n =11111n n b b n n +=-+【详解】（1）证明：∵，121n n a a -=-()2n ≥∴，()1121n n a a --=-又，1120a -=-≠∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n a -2-2∴， ()11222n nn a --=-⋅=-∴．12n n a =-（2）解：由（1）知，()22log 1log 2n n n b a n =-==∴，()1111111n n b b n n n n +==-++∴.11111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．[)[)[]4050506090100 ，，，，，，（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；[)7080，（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．[)4050，[]90100，【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．0.2572.50.4【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=平均分的估计值为：；（3）450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在[)40,50[]90,1003,3[)40,503,,a b c的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成[]90,1003,,A B C [)40,50[]90,10015绩在同一分组区间的结果共种，利用古典概率计算公式即可得出所求概率．6试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为[)70,80，频率分布直方图如图所示；()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：；450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由题意可得，成绩在的人数为，记他们分别是，成绩在[)40,50600.005103⨯⨯=,,a b c 的人数为，记他们分别是，则从成绩在和的学生[]90,100600.005103⨯⨯=,,A B C [)40,50[]90,100中任选两人的结果分别是，共()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c B C B a B b B c C a C b C c a b a c b c 15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C B C a b a c b c 所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．60.415P ==【解析】1、频率分布直方图；2、古典概率．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．20．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=，点A 在平面3πBCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到1CE BB ⊥1AE BB ⊥1BB ⊥AEC ，问题得证；1AA AC ⊥（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法E EC 1EB EA x y z 1EB C 向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.11A B C 【详解】（1）因为平面，所以，⊥AE 11BB C C 1AE BB ⊥又因为，，，所以1112BE BB ==2BC =3EBC π∠=CE 因此，所以， 222BE CE BC +=1CE BB ⊥因此平面，所以，1BB ⊥AEC 1BB AC ⊥从而，又四边形为平行四边形，1AA AC ⊥11ACC A 则四边形为矩形；11ACC A （2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以E EC 1EB EA x y z，11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),A A B C 平面的法向量，设平面的法向量，1EB C (0,0,1)m = 11A B C (,,)n x y z =由，1(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅=⇒= 由，11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=令，1x y z =⇒==n =所以，cos ,m n <>== 所以，所求二面角的余弦值是【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该25︒库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化25︒ 2 6402016万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．12060(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，0.120%那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留25︒1位小数，，)91.2 5.16≈81.2 4.30≈【答案】(1)年2023(2)万立方米543.6【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；n （2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，{}n a 由题意知数列是等差数列，且首项，公差．{}n a 1120a =60d =设第n 年后可以使绿化任务完成，则有，解得．(1)12060 2 6402n n n S n -=+⨯≥8n ≥所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.2023（2）因为年造林数量为，20238120760540a =+⨯=设到年年底木材总量为万立方米，2023S由题意得876120 1.2180 1.2240 1.2540 1.0(.)21S =⨯+⨯+⨯++⨯⨯ ．8762 1.23 1.2)9 1.2(=⨯⨯+⨯++⨯ 令①，872 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ 两边同乘以，得②．1.29821.22 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ ②①，得-98720.22 1.2 1.2 1.2(1).29 1.2S'=⨯++++-⨯ 2791.2(1 1.2)2 1.210.81 1.2-=--⨯⨯+．97 1.218=⨯-所以，所以．957 1.218(90).6S'=⨯⨯-≈690.6543.6S =⨯=故到年年底共有木材万立方米．2023543.622．已知点与点的距离比它的直线的距离小2．M ()4,0F :60l x +=(1)求点的轨迹方程；M (2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出,OA OB M AB x 该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)216y x=(2)直线过定点.()16,0【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系y 数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三()0,0P x A B P 点共线，结合向量共线定理，即可求解.【详解】（1）（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，M ()4,0:6l x =-即动点到的距离与它到直线的距离相等，M ()4,04x =-由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，M ()4,0则点的轨迹方程为；M 216y x =（2）（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，AB设直线的方程为，，AB ()0x ty m m =+≠()()1122,,,A x y B x y 联立方程，消去，可得，即，216y x x ty m ⎧=⎨=+⎩x 216160y ty m --=0∆>240t m +>，，121216,16y y t y y m +==-22212121616y y x x m =⨯=由题意知，即，则，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=故， ，，直线的方程为，2160m m -=0m ≠16m =AB 16x ty =+故直线过定点，且定点坐标为；AB ()16,0法二：假设存在定点，设定点，()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠， ， 故，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=在抛物线上，即代入上式，可得，A B 、221212,1616y y x x ==()212120256y y y y +=故，三点共线， ，，12256y y =-A B P 、、PA PB ∥2221121212120121216161616y y y y y x x y y y x y y y y --===-=--假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．AB x ()16,0【点睛】本题考查了根据定义求抛物线轨迹，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线垂直转化为向量垂直计算是解题的关键.。
2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案
永春一中20221-2023学年（上）期末考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==- ，，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15C ．35D ．752．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．40963．已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11AC 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1A G =（）A ．73B ．279C ．273D．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．355D ．526．设等差数列{}n a 的前n 项的和为527,9,16n S a a a =+=，则下列结论不正确的是（）A ．21n a n =-B ．3616a a +=C ．2n S n n=+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 和为21nn +7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆22:49O x y +=，直线l 过点(2,6)N ，且交圆O 于,P Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．||PQ 的最小值为6C ．若圆O 上仅有三个点到直线l 的距离为5，则l 的方程是43100x y -+=D ．使||PQ 为整数的直线l 共有16条10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121nin i aa a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（）A ．934a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．20212202120221i i aa a ==⋅∑D ．201920211ii aa ==∑11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,32+C ．ABF △面积的最大值是)9214+D ．OAB 的周长不存在最大值12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ 平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B A O ⋅为定值2D ．若17A Q =，则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题，第一空答对得2分，共20分．13．在空间直角坐标系O xyz -中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.14．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x '=的图象的顶点的横坐标为12-，且()10f '=，则ba的值为__________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第三象限，若113AF BF ≤，则C 的离心率的取值范围是__________.16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =_____；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知曲线31:C y x =和22:2,(R)C y ax x a =+-∈.(1)若曲线1C ､2C 在1x =处的切线互相垂直，求a 的值；(2)若与曲线1C ､2C 在0x x =处都相切的直线的斜率大于3，求a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点),(1,0)(1,2A B -.(1)若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||3MN =l的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得222||||1PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，PC ⊥底面ABCD ，且1,PC BC E ==是棱PB 上动点.(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是l ，证明：//CD l(2)线段PB 上是否存在点E ，使二面角P AC E --的余弦值是23？若存在，求PE PB 的值；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈.(1)若12a =，2nn b =.①求数列{}n a 的通项公式；②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点，12121cos ,24F PF PF PF ∠==，且焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，点(),0B t 为x 轴上一动点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,M N 两点，直线,AM AN 分别交直线2a x =于,S T 两点，若π02SBT ∠<<，求t 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N，其中1x 为正实数．(1)用n x 表示1n x +；(2)若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．(3)若14,2n n x b x ==-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <．。
2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析
2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)
唐山市2022~2023学年度高二年级第一学期学业水平调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线2330x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】C 【解析】【分析】当直线的斜率存在时，由直线的方向向量为(,)n x y = ，则yk x=代入计算即可.【详解】因为2330x y +-=，所以23k =-，设直线的方向向量为(,)n x y = ，则23yk x=-=，取3x =，则=2y -，所以直线的一个方向向量为(3,2)n =-.故选：C.2.在等差数列{}n a 中，11a =，923a =-，则5a =（）A.－11B.－8C.19D.16【答案】A 【解析】【分析】代入等差数列通项公式求出公差，再代入公式即可求得.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，923a =-，所以91823a a d =+=-，解得3d =-，则51411211a a d =+=-=-.故选：A3.已知向量()0,1,1a =- ，()1,2,b y = ，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（）A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先得到b的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.【详解】根据题意可得，0231a b y y ⋅=-+=-⇒=-，即()1,2,1b =-则cos ,2a b a b a b⋅<>==-，且[],0,πa b <>∈r r ，所以a 与b的夹角为150︒故选:D4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为（）A.5B.105-C.4D.4-【答案】A 【解析】【分析】设出正方体的棱长，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，表达出1B C 和DE，即可得出异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值.【详解】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，设正方体的棱长为2a ，建立空间直角坐标系如下图所示，则()10,0,0A ，()12,0,0B a ，()2,2,2C a a a ，()12,2,0C a a ，()0,2,2D a a ，(),2,0E a a ∴()10,2,2B C a a = ，(),0,2DE a a =-，设异面直线1B C 与DE 所成角为θ，1110cos 5B C D B EC DEθ==⋅ ，∴异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为105，故选：A.5.F 为抛物线C :24x y =的焦点,点A 在C 上,点()0,5B ,若AF BF =,则ABF △的面积为（）A. B. C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】求出焦点F 的坐标,根据两点间距离公式求得BF ,即AF 的长度,根据抛物线定义可求得A 点坐标,进而可求出面积.【详解】解:因为抛物线C :24x y =,所以()0,1F ,准线为:1y =-因为()0,5B ,所以4BF AF ==,设()11,A x y ,根据抛物线定义可知:114y +=,解得13y =,所以()A ±,所以111422ABF S BF x =⋅⋅=⨯⨯= .故选:B6.设直线210x y --=与x 轴的交点为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点2F ，过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，132F M =，则椭圆的离心率为（）A.33B.22C.12D.32【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得()21,0F 以及2132b F M a =±=，再结合椭圆,,a bc 的关系，列出方程即可得到结果.【详解】根据题意可得，直线210x y --=与x 轴的交点为()1,0，即()21,0F ，所以1c =，且过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，将x c =-代入椭圆方程可得，2by a=±，即2132b F M a =±=，所以232b a =所以2222132c ba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12c e a ==故选:C7.已知圆O ：2216x y +=和点(P ，若过点P 的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（）A.(B.(]1,2C.( D.(]0,2【答案】A 【解析】【详解】圆半径4r =，OP r ==，则点P 在圆内，则过点P 的弦长[]2,8d Î=，（乱码，查看原文亦是乱码）故所求公比的取值范围是（乱码，查看原文亦是乱码）1,纟çúçú棼，即(.故选：A8.已知数列{}n a 满足11a =，()121n n n a a a ++=，令1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2022项和2022S =（）A.40444045B.20224045C.40434045D.20244045【答案】B 【解析】【分析】化简()121n n n a a a ++=，得1112n na a +-=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的方法求数列{}n b 的前2022项和即可.【详解】因为数列{}n a 满足()121n n n a a a ++=，即112n n n n a a a a ++⋅+=，即1112n na a +-=，111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，所以121n n a =-，则121n a n =-，因为1n n n b a a +=，则()()1111(212122121n b n n n n ==-+-+-，数列{}n b 的前2022项和2022111111112022(1(1233522022122022122202214045S =-+-++-=-=⨯-⨯+⨯+ .故选：B【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线l ：y x =+，圆O ：222(0)x y r r +=>，且圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1，则r 的值可以是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】根据圆的对称性，结合圆心到直线距离列式求解即可.【详解】圆O 到直线的距离2d ==，由圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1得13r d r -侈.故选：CD.10.将数列{}n 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，…，进行排列：()1，()2,3，()4,5,6，()7,8,9,10，…，则（）A.第8个括号内的第一个数是29B.前9个括号内共有45个数C.第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大136D.2022在第64个括号内【答案】ABD 【解析】【分析】第n 个括号有n 个数，则括号里数的数量满足等差数列，且括号里的数同为等差数列，根据等差数列的通项公式及求和公式逐个判断即可.【详解】对A ，第n 个括号有n 个数，则前7个括号内共有()177282+´=个数，故第8个括号内的第一个数是29，A 对；对B ，前9个括号内共有()199452+⨯=个数，B 对；对C ，由AB 得，第10个括号内的数的和为()4655105052+´=，第8个括号内的数的和为()293682602+´=，故第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大505260245-=，C 错；对D ，设2022在第()*k k ∈N 个括号内，则有()()()1111202222k k k k +--+<£，解得64k =，D 对.故选：ABD.11.已知双曲线C ：2213y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 的右支上一点，则（）A.若120PF PF ⋅≤ ，则P 到x 轴的最大距离为32B.存在点P ，满足124PF PF =C.P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为34D.12PF F △内切圆半径r 的取值范围是0r <<【答案】ACD 【解析】【分析】利用数量积坐标运算表示120PF PF ⋅≤，解不等式求点P 的纵坐标范围，判断A ，结合双曲线定义判断B ，利用点到直线的距离公式求P 到双曲线的两条渐近线的距离之积判断C ，根据直线与双曲线的位置关系确定12PF F ∠的范围，结合内切圆的性质判断D.【详解】设双曲线的实半轴为a ，虚半轴为b ，半焦距为c ，则双曲线2213y x -=的焦点1F 的坐标为()2,0-，2F 的坐标为()2,0，1,2a b c ===，渐近线方程为y =，设点P 的坐标为(),m n ，则m 1≥，2213n m -=，对于A ，因为()()122,,2,PF m n PF m n =---=--，所以()()222122240PF PF m m n m n ⋅=---+=+≤- 所以221403n n ++-≤，所以3322n -≤≤，所以P 到x 轴的最大距离为32，A 正确；对于B ，由已知124PF PF =，122PF PF -=，所以223PF =，又21PF c a ≥-=，矛盾，B 错误，对于C ，点P223344m n -==，C 正确；对于D ，因为12,,P F F 三点不共线，所以直线1PF 的斜率不为0，可设直线1PF 的方程为()2y k x =+，0k ≠，联立()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222234430k x k x k ----=，方程()222234430kxk x k ----=的判别式()()422216434336360k k k k ∆=----=+>，由已知224303k k--<-，所以23k <，又0k ≠，故0k <<或0k <<，设12PF F △的内切圆的圆心为E ，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点M ，因为122PF PF -=，所以122MF MF -=，又124MF MF +=，所以13MF =，设122PF F θ∠=，则π023θ<<，又12PF F △内切圆半径1tan 3tan r MF θθ==，所以0r <<D 正确.故选：ACD.【点睛】本题为双曲线的综合性问题，考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，双曲线的性质，难度较大.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 内运动（含边界），则（）A.存在点P ，使得11D P BC ⊥B.若15D P =BP 的最小值为221C.若11D P B D ⊥，则P 2D.若1A P BD ⊥，直线1A P 与直线1BD 所成角的余弦值的最大值为33【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可；B 选项，找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可；C 选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，即可求解；D 选项：建立适当空间直角坐标系，利用1A P BD ⊥可得出点(),2,0P x x -，再利用空间向量的坐标表示求解即可.【详解】对于A 选项：如图1,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()10,2,2C ，()10,0,2D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1,,2D P x y =- ，()12,0,2BC =-，若11D P BC ⊥，则11240D P BC x ×=--=，解得2x =-，不合题意，错误；对于B 选项：如图2，若15D P =DP ，则点P 在以D 为圆心，DP 为半径的圆上，此时点P 的轨迹为 FPE ，又15D P =，12DD =，2211541DP D P DD \=-=-，min 221BP BD DP \=-=，故正确；对于C 选项：如图3，连接1AD ，AC ，BD ，1CD ，11B D ，ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，1BD DD D = ，1,BD DD ⊂平面11BDD B ，AC ∴⊥平面11BDD B ，1B D ⊂平面11BDD B ，1AC B D ∴⊥，同理可证：11AD B D ⊥，又1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面ABCD AC =，故点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AC ∴=，故错误；对于D 选项：如图4，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，连接AC ，BD ，1BD ，1A P ，则()2,2,0B ，()12,0,2A ，()10,0,2D ，()0,0,0D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1-2,,2A P x y =- ，()2,2,0BD =--，当1A P BD ⊥，有()122202240A P BD x y x y ×=---+=--+=，则2y x =-，此时(),2,0P x x -，又()12,2,2A P x x =--- ，()12,2,2BD =--，111111cos ,A P BD A P BD A P BD ×\<>==×当2x =时，11cos,A P BD <> 有最大值，此时11cos ,A P BD <>=.故答案选：BD.【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1234a a +=，343a a +=，则4a =______.【答案】2【解析】【分析】由等比数列基本量列方程求得基本量，即可得结果.【详解】由题意，设等比数列的公比()0q q >，则()121314a a a q +=+=，()234113a a a q q +=+=，两式相除得，242q q =⇒=，∴31411,24a a a q ===.故答案为：2.14.正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ= ，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+= ，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：1315.已知圆1O ：221x y +=，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=，过圆2O 上的任意一点P 作圆1O 的两条切线，切点为A ，B ，则四边形1PAO B 面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得四边形1PAO B面积112△PAO B PAO S S ==，结合圆的性质求1PO 的最大值即可.【详解】圆1O ：221x y +=的圆心()10,0O ，半径11r =，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=的圆心()23,4O ，半径210r =，四边形1PAO B面积1111222△PAO B PAO S S PA AO PA ==⨯⨯⨯===，∵11221015PO O O r ≤+=+=，∴四边形1PAO B=.故答案为：.16.设双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点()0,P b ,直线20x y m ++=与C 交于M ,N 两点.若0FM FN FP ++=,则C 的离心率为______.【答案】233【解析】【分析】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,根据0FM FN FP ++=,得到F 为MNP △的重心,利用重心的坐标式得到12123x x cy y b+=⎧⎨+=-⎩,再利用点差法和222c a b =+得到,,a b c 关系求解即可.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,因为0FM FN FP ++=,所以F 为MNP △的重心,则1212303x x c y y b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,①因为()()1122,,,M x y N x y 在双曲线C :()222210,0x ya b a b-=>>上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得:22221212220x x y y a b ---=,化简得:()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()12121222120x x y y y y a b x x ++⋅--=⋅-,②将①代入②得:()()22320b c a b--⋅-=,即()222322bc a c b ==-,解得:2c b =,所以a ==,则233c e a ==,即C 的离心率为233.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆心为()3,3C 的圆经过点()1,5A .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,5B -作直线l 与圆C 交于E ，F 两点.若4EF =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(3)8x y -+-=（2）1x =或158550x y --=.【解析】【分析】（1）直接将点A 的坐标代入圆的方程，即可得到结果；（2）根据截得的弦长，分l 的斜率不存在与l 的斜率存在分别讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设所求圆C 的方程为222(3)(3)x y r -+-=，因为点()1,5A 在圆C 上，则222(13)(53)r -+-=，解得28r =，所以圆C 的方程为22(3)(3)8x y -+-=.【小问2详解】因为直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以圆心到直线l的距离2d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为1x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()51y k x +=-，即50kx y k ---=.则2d =，解得158k =.此时直线l 方程为155(1)8y x +=-，即158550x y --=.综上所述，直线l 的方程为1x =或158550x y --=.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，1BB 的中点.（1）证明：//MN 平面11A B C ；（2）若CB ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，14BB =，求点A 到平面11A B C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】(1)要证明//MN 平面11A B C ，通过证明平面MHN ∥平面11A B C 即可证得；(2)根据已知条件可以以B 为原点建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可.【小问1详解】证明：取1AA 的中点H ，连接MH ，HN .因为M 为AC 的中点，所以1MH A C ∥.因为MH ⊄平面11A B C ，1AC ⊂平面11A B C ，所以MH ∥平面11A B C .因为H ，N 分别为1AA ，1BB 的中点，所以11HN A B ∥，因为HN ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以HN ∥平面11A B C .因为,,MH HN H MH HN ⋂=⊂面MHN ，所以平面MHN ∥平面11A B C .因为MN ⊂平面MHN ，所以//MN 平面11A B C .【小问2详解】因为CB ⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB AB ⊥.因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB BC ⊥，1BB AB ⊥.以BA ，1BB ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()2,0,0A ，()10,4,0B ，()12,4,0A ，()0,0,2C ，()10,4,0AA = ，()10,4,2CB =- ，()112,0,0B A =.设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z =.由11100CB n B A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得42020y z x -=⎧⎨=⎩，取()0,1,2n = .所以点A 到平面11A B C 的距离1455AA n d n⋅==.19.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，A ，B 为C 上异于O 的两点，OA OB ⊥.（1）证明：直线AB 过定点；（2）求4AF BF +的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，联立抛物线方程，由垂直斜率关系及韦达定理可求得参数m ，进而确定定点；（2）由抛物线定义结合基本不等式求最值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，将直线AB 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=.由OA OB ⊥，得121212441y y x x y y ⋅=-=⋅，即1216y y =-，所以416m -=-，4m =，故直线AB ：4x ty -=，恒过定点()4,0.【小问2详解】抛物线准线为=1x -，由抛物线的定义，()()121144x x AF BF =++++221254y y =++12521y y ≥+=，当且仅当221248y y ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为21.20.已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;（2）证明（1）中你的猜想;（3）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .【答案】（1）12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-（2）证明见解析（3）123236n n S n +=⨯--【解析】【分析】(1)根据{}n a 的递推关系式及首项,写出2348,,,,a a a a L ,进而求得1b ,2b ,3b ,4b ,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式;(2)因为2n n b a =,所以找到22n a +和2n a 的关系,即1n b +与n b 的关系,对式子进行配凑,可发现{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得{}n b 的通项公式;(3)根据2122n n a a +=,可得2112n n a b --=,将2n S 写为()()1321242n n a a a a a a -+++++++ ,再将2112n n a b --=,2n n a b =代入,可得()211123n n n S b b a b b -=+++++ ,将1321n n b -=⨯-代入,再利用等比数列的求和公式即可得2n S .【小问1详解】由题知11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数,因为11a =,所以12112b a a ==+=,3224a a ==,24315b a a ==+=,54210a a ==,536111b a a +===,76222a a ==,748123b a a +===,综上:12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-.【小问2详解】由题意,知2122n n a a +=,22211n n a a ++=+,代入得22221n n a a +=+,于是222122n n a a ++=+,即()1121n n b b ++=+,因为113b +=,所以{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,故1321n n b -=⨯-.【小问3详解】因为()()2112112122n n n n a a a b ---+-===,()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++()()112112222n n a b b b b b b -=++++++++ ()11213n n b b b b a -=+++++ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()11311122332n n n --⎛⎫ ⎪=+⨯ ⎪⎝⎭----13236n n +=⨯--.21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA =PC 上是否存在点M ，使直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为154？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由线线垂直证BD ⊥平面PAO ，再依次证PA BD ⊥、PA ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，设()01PM PC λλ=≤≤，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO .因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以BD AO ⊥，因为O 是BD 中点，PB PD =，所以BD PO ⊥.因为AO PO O = ，AO PO ⊂、平面PAO ，所以BD ⊥平面PAO ，因为PA ⊂平面PAO ，所以PA BD ⊥.因为PA AC ⊥，BD AC O ⋂=，BD AC ⊂、平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】如图，取线段BC 的中点H ，连接AH ，易知AH AD ⊥.以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P .()0,2,0BC =uu u r，PC = .设()01PM PC λλ=≤≤，则有(),,,,M M Mx y z λ=，解得),Mλ-，进而),AM λ=.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =.由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y y =⎧⎪+=，取()1,0,1m = .设直线AM 与平面PBC 所成的角为θ，则154sin cos ,m AM AM m m AMθ==⋅===⋅，化简得，2353070λλ-+=，此方程无解，所以满足条件的点P 不存在.22.已知点()4,0A ，()10B ,，动点P 满足6AB AP PB ⋅=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.若EM EN =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）1122k -<<【解析】【分析】（1）设动点(),P x y ，分别表示出,,AB AP PB，然后代入计算，化简即可得到结果；（2）根据题意，分0k =与0k ≠两种情况讨论，当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出MN 的中点Q 的坐标，再由条件列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设动点(),P x y ，则()3,0AB =- ，()4,AP x y =-，()1,PB x y =--，由已知，得3(4)x --=，化简，得223412x y +=，故动点P 的轨迹C 的方程是22143x y +=.【小问2详解】当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，将y kx m =+代入22143x y+=，整理，得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，()()2222644412340k m m k∆=-⨯-⨯+>，整理，得22430k m +->，①设MN 的中点为Q ，1224234x x km k +=-+，()12122232234k x x m y y mk +++==+，所以2243,3434km m Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，由EM EN =，得EQ MN ⊥，即直线EQ 的斜率为1k-，所以22131234434m k km k k-+=-+，化简，得()21432m k =-+，②将②代入①式，解得1122k -<<且0k ≠.当0k =时，显然存在直线l ，满足题设.综上，可知k 的取值范围是1122k -<<.。
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
高二上学期的数学期末考试题目及答案
高二上学期的数学期末考试题目及答案一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 以下哪个是等差数列？- A. 2, 4, 6, 8- B. 3, 6, 9, 12- C. 1, 3, 9, 27- D. 2, 5, 8, 11答案：A2. 函数y = x^2 + 3x + 2的图像是一个什么形状？- A. 抛物线- B. 直线- C. 双曲线- D. 圆答案：A3. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别为多少？- A. a = 4, b = 3- B. a = 3, b = 4- C. a = 5, b = 2- D. a = 2, b = 5答案：B4. 在一个等边三角形中，每个内角是多少度？- A. 60°- B. 90°- C. 120°- D. 180°答案：A5. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的周长是多少？- A. 4cm- B. 6cm- C. 8cm- D. 12cm答案：C6. 若sinθ = 0.5，那么θ的值是多少？- A. 30°- B. 45°- C. 60°- D. 90°答案：B7. 以下哪个是素数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 25答案：B8. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时30分钟，那么它行驶的距离是多少公里？- A. 75公里- B. 100公里- C. 125公里- D. 150公里答案：C9. 若a:b = 3:5，且b:c = 4:7，则a:c的比值是多少？- A. 12:20- B. 9:20- C. 3:7- D. 12:35答案：B10. 一个扇形的半径为5cm，弧长为10πcm，那么它的圆心角是多少度？- A. 36°- B. 54°- C. 72°- D. 90°答案：C二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 当x = 2时，函数y = 2x^2 + 3x - 1的值为 \_\_\_。
2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m 的值 【详解】由221x my +=，得2211y x m+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以2211,a b m==， 因为长轴长是短轴长的两倍， 所以224a b =，即41m=，得4m =， 故选：D2．已知双曲线222:1x C y a-=的一个焦点为()2,0-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A．0x = B0y += C．0x = D0y +=【答案】A【分析】根据双曲线中,,a b c 的关系，即可求得双曲线的标准方程，并写出对应的渐近线方程. 【详解】由题意可知，1,2==b c ， 则由222c a b =+得a =所以，渐近线方程为by x a =±=，即0x ±=故选：A.3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于（ ）A ．221332a b c ++B ．111222a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用OA 、OB 和OC 表示出MN 即可. 【详解】由题意知，MN MA AC CN =++ ()1132OA OC OA CB =+-+ ()2132OA OC OB OC =-++-211322OA OB OC =-++211322=-++a b c 故选：C.4．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2022a =（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】由111n n a a +=-，且112a =，得到所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为数列{}n a 满足111n n a a +=-，且112a =， 所以()2341211112,1,11112a a a a a ====-==----，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2022367401a a ⨯+==-， 故选：A5．圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（ ）A ．2B ．32C ．26D ．23【答案】A【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆1O 的圆心到公共弦的距离，再由公共弦长公式=d .【详解】联立两个圆的方程222222260820x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩， 两式相减可得公共弦方程3120x y -+=，圆()()221:1128O x y -+-=的圆心坐标为()11,1O ，半径为r =圆心()11,1O 到公共弦的距离为1==d公共弦长为==d 故选：A.6．已知点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上运动，则yx的最大值是（ ）A B ．12C D 【答案】D 【分析】令yk x=，即为0kx y ，可知直线与圆有交点，由此列出不等式求出k 的范围，即可得到结果.【详解】圆22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 圆心为()2,0C ，半径=1r ， 则yx的几何意义就是圆上一点(),P x y 与原点()0,0之间连线的斜率， 令yk x=，即为0kx y ， 可知直线0kx y 与圆有公共点，即相交或相切，1≤，解得k ≤≤，所以y x 故选：D.7．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.8．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值.【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z==-，故其方向向量为()3,2,1m =-，故直线l 与平面a=，故选：B.【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.二、多选题9．已知椭圆22:198x y C +=的左､右两个端点分别为12,,F F P 为椭圆上一动点，()1,1M 则下列说法正确的是（ ）A ．12PF F △的周长为6B ．12PF F △的最大面积为C ．存在点P 使得120PF PF ⋅=D ．1PMPF 的最大值为7【答案】BD【分析】对于A ，利用椭圆的定义可得12PF F △的周长为8，由此判断即可；对于B ，根据椭圆的几何性质，当P 为椭圆短轴顶点时，可得12PF F △的面积最大，从而得以判断； 对于C ，由120PF PF ⋅=可得点P 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点P 的轨迹与椭圆C 没有交点，由此得以判断；对于D ，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得17PM PF +≤，从而得以判断.【详解】对于A ，因为椭圆22:198x y C +=，所以229,8a b ==，则23,22,1,1a b c c ====，所以12PF F △的周长为1212228PF PF F F a c ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆C 短轴顶点时，点P 到12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大， 所以121122222222PF F Sc b =⨯⨯=⨯⨯=，故B 正确； 对于C ，假设存在点P 使得120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥， 所以点P 的轨迹是以原点O 为圆心，12F F 为直径的圆O ，则12112r F F ==， 因为椭圆C 上的任一点到原点O 的最小距离是短轴顶点与原点O 的距离，即22b =， 由r b <可知，圆O 与椭圆C 没有交点，所以假设不成立，即不存在点P 使得120PF PF ⋅=，故C 错误； 对于D ，由选项A 易得()21,0F ，又()1,1M ，所以()()22211011MF =-+-=，所以12222667PM PF PM a PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，故D 正确. 故选：BD..10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法正确的是（ ） A ．0d <B ．120S >C ．数列{}n S 的最大项为11SD ．67a a >【答案】ABD【分析】由675S S S >>判断出70a <，60a >，求出760d a a =-<，即可判断A ；利用等差数列的性质求出()126760S a a =+>，可以判断B ； 由60a >，70a <，可判断出6S 最大，可以判断C ； 由60a >，70a <，670a a +>，可以判断D.【详解】因为7670S S a -=<，6560S S a -=>，所以760d a a =-<，A 正确； 75670S S a a -=+>，所以()()112126712602a a S a a +==+>，B 正确； 因为60a >，70a <，所以数列{}n S 的最大项为6S ，C 不正确；因为60a >，70a <，670a a +>，所以670a a >->，即67a a >，D 正确． 故选：ABD ．11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160,DAB DAA BAA ∠∠∠===则下列说法中正确的有（ ）A ．1AC BD ⊥B ．16BDC ．BD ⊥平面1ACC D ．直线1BD 与AC 6【答案】ACD【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11,AC AB AD AA BD AD AB =++=-， ()()11AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-11AB AD AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅ 221111111111*********=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯=，所以1AC BD ⊥，A 选项正确.111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2211BD AD AA AB =+-222111222AD AA AB AD AA AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅2221111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以12BD =，B 选项错误.依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 由于1AC AC A =，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以1BD ⊥平面1ACC ，C 选项正确. 设直线1BD 与AC 所成角为π,02θθ≤≤， AC AB AD =+，11BD AD AA AB =+-，()222212121113,32AC AB ADAB AB AD AD AC =+=+⋅+=+⨯⨯⨯+==，()()11AC BD AB AD AD AA AB ⋅=+⋅+-11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅221111111111*********=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以1116cos 632AC BD AC BD θ⋅===⨯⋅，D 选项正确. 故选：ACD12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点F ，使得1A F AE ⊥B ．线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C ．四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D ．设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4【答案】BCD【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项；求出b 与a 的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用等积法可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()12,0,2A 、()10,2,2B 、()10,0,2C 、()0,1,2E ，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤.对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()12,2,2A F a =--，()2,1,2AE =-，()142220A F AE a ⋅=++-=，解得1a =-，不合乎题意，A 错；对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中m 、R n ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即22=2+2=02+=2m n b m n m an ---⎧⎪⎨⎪⎩，可得424b a =+-，02a ≤≤，则442a -≤-≤-，所以，[]420,14b a =+∈-，B 对； 对于C 选项，2C AFEG C AGE C AFE V V V ---=+=， 其中11233C AGE E ACG ACGV V SEC --==⋅⋅=，故43C AFE V -=， 又124333C AFE A CEF CEFCEFV V AC SS --==⋅⋅==，故2CEFS =即11122CEFCBB C SS ==正方形，故点F 只能与点B 重合，C 对； 对于D 选项，()2,1,2AE =-，()2,2,AF a =-，则点F 到直线AE 的距离为221AE AF d AF AE ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪⎝⎭()2,0,2AG b =-，则点G 到直线AE 的距离为222AG AE d AG AE ⎛⎫⋅⎪- ⎪⎝⎭==所以，223124S d S d a ==-，故()2223312232332242242S SS S S a S S S S S S a +-==++=++-， 24≥=，当且仅当=2a 时，等号成立，故2123S S S 的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.三、填空题13．已知直线l10y ++=，则直线l 的倾斜角为__________. 【答案】2π3【分析】先求得直线l 的斜率，然后求得其倾斜角. 【详解】10y ++=的倾斜角为()0πθθ≤<， 10y ++=的斜率为tan θ=2π3θ=所以倾斜角为2π3. 故答案为：2π314．已知空间三点坐标分别为()()()1,1,1,0,3,0,2,1,4A B C --,点()3,,3P x -在平面ABC 内,则实数x 的值为___________. 【答案】1【分析】根据题意,存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.【详解】点()3,,3P x -在平面ABC 内,∴存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立, ()()()4,1,21,2,13,2,3x λμ∴--=--+--, 4=31=222=+3x --λ-μ∴-λ-μ-λμ⎧⎪⎨⎪⎩, 解得=1=1=1x λμ⎧⎪⎨⎪⎩.故答案为:1.15．已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为_________. 【答案】152【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可． 【详解】12n n a a n +-=， 212a a -=， 324a a -=，⋯()121n n a a n --=-，由累加得()()()12124212123122n n n a n n n n a -=++⋯+-=⨯+++⋯+-==-⨯-，所以12218n a n n n n a ==-+-+ ∴181n a n n n=+-， ()18f x xx=+在()0,32上单调递减，在()32,+∞上单调递增， ∴na n在(]0,4上单调递减，在[)5,+∞上单调递增，且N n *∈， 4n ∴=或5时最小，4n =时，21814145n a n +-==； 5n =时，31285581515n a n +==>-； 所以na n 的最小值为152故答案为：152． 16．如图，已知斜率为2-的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C ，且=45ABC ∠︒，则该双曲线的离心率为______.【答案】153##1153 【分析】取AB 的中点M ，连接OM ，求得直线OM 的斜率，再利用点差法求得2223b a =，进而求得该双曲线的离心率【详解】如图，设直线AB 与x 轴交于点D ，取AB 的中点M ，连接AC ，OM ， 由双曲线的对称性可知O 为线段AC 的中点，则OM BC ∥，所以45OMD ∠=︒.由直线AB 的斜率2AB k =-，得tan 2ODM ∠=-，则直线OM 的斜率()()tan tan45211tan 1tan tan451213OM ODM k ODM OMD ODM ∠∠∠∠+︒-+=+===--︒--⨯.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减，得22221212220x x y y a b---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-， 即()2212233OM ABb k k a ⋅==-⨯-=，所以该双曲线的离心率e ==四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+.【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． （2）由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．已知ABC 的边AB 边所在直线的方程为()36020x y M --=，满足BM MC =, 点()11T -，在AC边所在直线上且满足0AT AB ⋅=．（I ）求AC 边所在直线的方程； （II ）求ABC 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点()20N -，，且与ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 【答案】（I ）320x y ++=；（II ）22(2)8x y -+=；（III ）221(2)22x y x -=≤-.【分析】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意直线和圆的位置关系的合理运用． （I ）由0AT AB ⋅=，T 在AC 上，知ABC 是直角三角形．由AB 边所在的直线方程是360x y --=，知直线AC 的斜率是-3，再由T(1,1)-在直线AC 上，能求出AC 边所在的直线方程;（II ）AC 与AB 的交点为A ，由360{320x y x y --=++=，，解得A （0，-2）．由BM MC =，知()2,0M 为Rt ABC 外接圆的圆心，再由r=22||(20)(02)22AM -++=能求出ABC 外接圆的方程． （III ）由动圆P 过点N ，知|PN|是该圆的半径，再由动圆P 与圆M 外切，知|PM ||PN |22=+P 的轨迹． 【详解】（I ）（I ）∵0AT AB ⋅=，∴AT ⊥AB ， ∵T 在AC 上，∴AC ⊥AB ，△ABC 是直角三角形．又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AC 上， 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）AC 与AB 的交点为A ，所以由360{320x y x y --=++=，解得点A 的坐标为(02)，-， ∵BM MC =，∴M （2，0）为Rt △ABC 外接圆的圆心， 又r=22(20)(02)22AM =-++从ABC ∆外接圆的方程为:22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =． 所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=≤-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法①求M 的轨迹方程的.19．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AC =4，BD =2，且侧棱AA 1=3.其中O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点.（1）求点B 1到平面D 1AC 的距离；（2）在线段BO 1上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与CD 1垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（13105（2）存在，10BP =【分析】（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出11D B →的方向向量和平面D 1AC 的法向量，最后根据距离公式求解即可.（2）设1BP BO λ→→=⋅，分别求出直线AP 与CD 1的方向向量，根据数量积等于0求出λ的值，最后确定点P 的位置.【详解】解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与BD 的交点O 为原点， 以射线OA ､OB ､OO 1分别为x ､y ､z 轴，建立空间直角坐标系.由已知条件，相关点的坐标为A (2，0，0)，B (0，1，0)，C (﹣2，0，0)，O 1(0，0，3)，B 1(0，1，3)，D 1(0，﹣1，3)，设平面D 1AC 的法向量为n (x,y,z)→=， 由(4,0,0)AC →=-，1(2,1,3)AD →=--， 得1.4003·230n AC x x y z n AD x y z ⎧=-==⎧⎪⇒⎨⎨==--+=⎩⎪⎩，令z =1，则(0,3,1)n →= 因11(0,2,0)D B →=，故点B 1到平面D 1AC 的距离为11||6310510||D B n d n →→→⋅===. （2）设1BP BO λ→→=⋅，则由(2,1,0)AB →=-，1(0,1,3)BO →=-， 得(2,13)AP AB BP λλ→→→=+=--，. 又1(2,1,3)CD →=-，故当1AP CD →→⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)10502AP CD λλλλ→→⋅=--⋅-=-=⇒=. 于是，在线段BO 1上存在点P ，使得AP ⊥CD 1， 此时111022BP BO ==.【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.20．已知抛物线()2:20C y px p =>，点()2,4P 在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若以线段PQ 为直径的圆过原点，求m 的值.【答案】(1)28y x = (2)8-【分析】（1）将点()2,4P 代入抛物线C 方程即可求得p 的值，进而可求出抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的12120x x y y +=，得到关于m 的方程，解之即可．【详解】（1）因为点()2,4P 在抛物线()2:20C y px p =>上，所以2422p =⨯，即4p =， 故抛物线C 的方程为28y x =. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得22(28)0x m x m +-+=，所以1282x x m +=-，212x x m =，22(28)40m m ∆=-->，则2m <，因为以线段PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y +=⋅=，所以222121212121212()()2()2(82)0x x y y x x x m x m x x m x x m m m m m +=+++=+++=+-+=，解得8m =-或0m =，当0m =时，直线l 为y x =，显然直线l 过原点O ，不满足题意，舍去； 当8m =-，满足2m <，且有12120x x y y +=，即OP OQ ⊥，满足题意； 综上：m 的值为8-．21．如图，在平面四边形ABCD 中，=AB AD ，BC CD =且BC CD ⊥，以BD 为折痕把ABD △和CBD △向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）.(1)求证：EF BD ⊥；(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点G 为ABD △的重心，EG ⊥平面ABD ，且直线EF 与平面FBD 所成角为60°，求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）作出辅助线，证明出EH ⊥BD ，FH ⊥BD ，从而证明线面垂直，得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. 【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ，FH ， 因为AB =AD ，BC =DC ， 所以EB =ED ，FB =FD ， 故EH ⊥BD ，FH ⊥BD ， 因为EHFH H =，,EH FH ⊂平面EFH ，所以BD ⊥平面EFH 。
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高二数学上学期期末考试题及答案
Revised on November 25, 2020
高二数学上学期期末考试题
一、 选择题：（每题5分，共60分）
2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）
（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式
x
x --23
≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)3
2--x x
≥0,
(D)(x-3)(2-x)>0
6、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）
（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π
（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π43
7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）
（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=0
8、直线y=x+23被曲线y=21
x 2截得线段的中点到原点的距离是
（ ）
（A ）29 （B ）29 （C ）
429 （D ）2
29
11、双曲线： 的准线方程是19
162
2=-x y （ ） （Ａ）y=±
7
16 (B)x=±
516 (C)X=±7
16 (D)Y=±516
12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（
a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a
161
,0)
二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–
21,3
1
），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 .
15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθ
sin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程
为 .
16、已知双曲线162x -9
2
y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆
与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 . 三、
解答题：（74分）
17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分） 19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。
（12分）
21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1㎡的造价为150元，池壁每1㎡的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低造价是多少元（13分）
22、某家具厂有方木料90m 3，五合板600㎡，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2㎡，生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1㎡，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大（13分） 一、 选择题：
2、（B ），
3、（B ），6、（A ）， 7、（B ）， 8、（D ）， 11、（D ）， 12、（B ）。
二、 填空题：
13、-10， 14、 8， 15、（x-5）2
+(y-3)2
=42
, 16、13
522
22=+y x
三、 解答题：
17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+
于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则 x=x 44),(,2
,2
020220000=+=+=
y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程
即14
22
=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。
21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x
34800
， 又设水池总造价为L 元，根据题意，得
答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低， 最低总造价是297600元。
22、解：设生产书桌x 张，书橱y 张，由题意得
,0
6002902.01.0⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+y o x y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩⎨
⎧=+=+600
290
2.01.0y x y x 的交点A （100，400）。
答：生产书桌100张，书橱400张时，可使生产利润最大。