5-2刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量

取刚体中第 i 个质量元
′ Fiτ + Fiτ = ∆mi aτ = ∆mi ⋅ ri β 两边同乘以 ri
′ Fiτ ri + Fiτ ri = ∆mi ri β
2
Fτ i
′ Fτ i
F i
F' i
对刚体中一切质量元求和： 对刚体中一切质量元求和：
2 Fτ ri + ∑iτ ri = ∑ mi ri β F′ ∆ ∑i
F = Fz + F⊥
其中 Fz 对转轴的 力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
z
k
O
F
F z
M z k = r × F⊥
r
θ
F⊥
M z = rF⊥ sin θ
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
(2) 合力矩等于各分力矩的矢量和
M = M1 + M 2 + M3 + ⋯
(3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互 刚体内作用力 反作用力的力矩互 作用力和 抵消． 相抵消．
MHale Waihona Puke Baiduj
rj
j
M ij = − M
ji
O
d
Mji
ri
iF
Fji
ij
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
二 转动定律 单个质点 m 绕转轴 转动
z
M
O
Fτ
M = rF sin θ = rFτ
F
r
Fτ = maτ = mrβ
∴ M = rFτ = mr β
2
θ m Fn
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
由静止出发作匀加速直线运动， （2） B由静止出发作匀加速直线运动， ） 由静止出发作匀加速直线运动 下落的速率
v = 2 ay =
2 mB gy m A + m B + mC / 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
一根长为L,质量为 的均匀细直棒,其一 质量为m的均匀细直棒 例5 一根长为 质量为 的均匀细直棒 其一 端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面 端有一固定的光滑水平轴 因而可以在竖直平面 内转动.最初棒静止在水平位置 求它由此下摆θ角 内转动 最初棒静止在水平位置,求它由此下摆 最初棒静止在水平位置 时的角加速度. 时的角加速度 棒下摆为加速过程, O 解：棒下摆为加速过程 θ 外力矩为重力对O的力矩 的力矩.当 外力矩为重力对 的力矩 当 n L 角时,重力对轴 棒处在下摆θ角时 重力对轴 mg 的力矩为: 的力矩为 1 M = mgL cos θ 2
RFT2 − RF 'T1 = Jβ
′ FT1
WC
n
FC
a = Rβ FT 1 = F 'T 1 FT 2 = F 'T 2
FN
a
FT2 ′ FT2
a
mA
a
FT1
mB
WB y
WA
x
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
解得： 解得：
mB g a= mA + mB + mC 2 mA mB g FT1 = mA + mB + mC 2
j
J = ∫ dJ = ∫ r dm
2
(1) 转动惯量是转动惯性大小的量度 (2) 与刚体的体密度 ρ 有关． 有关． (3) 与刚体几何形状(体密度 与刚体几何形状( (4) 与转轴的位置有关． 与转轴的位置有关 有关． (5) 转动惯量的单位：kg·m2 转动惯量的单位：
ρ 的分布)有关． 的分布)有关．
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
一 力矩 用来描述力对刚体 的转动作用． 的转动作用．
F 对转轴 z 的力矩 M = r ×F M = rF sin θ = rF⊥
z
M r
F
*
= Fr sin θ = Fd
O
d
P
θ
d : 力臂
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
讨论 (1) 若力 F 不在转动平面内 把力分解为 不在转动平面内,把力分解为 平行和垂直于转轴方向的两个分量
体分布
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
由长l 的轻杆连接的质点如图所示， 例1 由长 的轻杆连接的质点如图所示，求 质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量 质点系对过 垂直于纸面的轴的转动惯量 解:
+ 3m( 2l )2 J = 2ml
2
4m
+ ( 4m + 5m )( 2l )2
= 32ml
2
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
均匀分布,求该杆对 例2一长为L 的细杆质量 m均匀分布 求该杆对 一长为 垂直于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动 垂直于杆 分别过杆的中点和一端端点的轴的转动 惯量. 解：(1) 轴过中点
dm
−L 2
x
L 2
o
x
L 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
(2) 薄板的正交轴定理
z
对薄板刚体平面
x
o
y
Jz = Jx + J y
例：对质量均匀的薄圆板
1 2 Jz = mR 2
1 1 2 Jx = J y = JZ = mR 2 4
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
质量为m 的物体A 例4 质量为 A的物体 静止在光滑水平 面上,和一质量不计的绳索相连接 和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过 面上 和一质量不计的绳索相连接 绳索跨过 一半径为R、质量为m 的圆柱形滑轮C,并系 一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 并系 在另一质量为m 的物体B上 竖直悬挂,滑 在另一质量为 B 的物体 上,B 竖直悬挂 滑 轮与绳索间无滑动,且滑轮与轴承间的摩擦 轮与绳索间无滑动 且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计.(1)两物体的线加速度为多少 两物体的线加速度为多少? 力可略去不计 两物体的线加速度为多少 水平和竖直两段绳索的张力各为多少?(2) 物 水平和竖直两段绳索的张力各为多少 其速率是多少? 体 B 从静止落下距离 y 时,其速率是多少 其速率是多少
( m A + mC 2 ) m B g FT2 = mA + mB + mC 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
如令 mC = 0 ，可得
mA mB g FT1 = FT2 = mA + mB
mA mB g FT1 = mA + mB + mC 2 ( mA + mC 2) mB g FT2 = mA + mB + mC 2
d
C
m
O
J O = J C + md
2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
例：圆盘对P 轴的转动惯量 圆盘对
J = Jc + md2
1 2 J P = mR + mR2 2
P
R
C
m
Z
例：圆球对Z 轴的转动惯量 圆球对
2 JC = mR2 5
m
2 7 2 2 Jz = mR + mR = mR2 5 5
m m1 3 J = r dm = x dm = ∫ x dx = x L L 3 −L 2 3 3 1 m 1 L L + = mL2 = L 3 8 8 12
∫
2
∫
2
L 2 L − 2
2
(2) 轴过一端端点
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
dm
o
L
x
x
J ' = ∫ r dm = ∫ x dm = ∫
2 2
L
0
m x dx L
2
m1 3 x = 1m 2 = L L3 0 3
L
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
求质量为m、半径为R、厚为L 例3 求质量为 、半径为 、厚为 的均匀圆 盘的转动惯量.轴与盘平面垂直并通过盘心 轴与盘平面垂直并通过盘心. 盘的转动惯量 轴与盘平面垂直并通过盘心 宽为dr的薄圆环 解：取半径为r宽为 的薄圆环, 取半径为 宽为 的薄圆环, dm = ρdV= ρ ⋅ 2πrdr ⋅ L
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
解 (1) 用隔离法分别 ) 对各物体作受力分析， 对各物体作受力分析，取如 图所示坐标系． 图所示坐标系．
A
′ FT1
WC
n
FC
mA
FN
a
C
FT2
mC
a
′ FT2 mB
WB y
mA
WA
FT1
x
mB B
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
FT1 = mA a mB g − F 'T2 = mB a
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
2 转动惯量 的计算方法 转动惯量J 质量离散分布
J = ∑ ∆m r = m r + m r + ⋯+ m r
2 j j 2 11 2 2 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
棒对 O 的转动惯量为
1 2 J = mL 3
由转动定律 可得
M = Jβ
M 3 β= = g cos θ J 2L
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
讨论
转动定律
M （1） β ∝ ） J
M = Jβ
dω 2） （2）M = Jβ = J dt
（3）M = 0 ω =常量 ） 常量 ， ( 4 ) 为瞬时关系． 为瞬时关系．
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
三 转动惯量 1 定义 J = ∑ ∆m j r j2
o ri
M外 + M内 = ∑∆miri2β
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
M外 + M内 = ∑∆mi ri2β
外力矩 内力矩
∵ M内 = 0
∴ M 外 = (∑ ∆mi ri 2 ) β
定义转动惯量
Fτ i
′ Fτ i
F i
F′ i
o r
J = ∑∆mi ri
i
2
转动定律
M 外 = Jβ
dJ = r dm = ρ ⋅ 2πlr dr
2 3
dr
J = ∫ dJ = ∫ ρ ⋅ 2πLr dr
3 0
R
r o
R
1 = ρπR4L 2 ∵ρ =
m 1 2 ,∴ J = mR 2 πR L 2
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
3 两个重要定理 (1) 平行轴定理 的刚体， 质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行， 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
2 j j
质量连续分布
J = ∫ dJ = ∫ r dm
2
d m ：质量元
积分元选取： 积分元选取：
dm = λdl
5-2 刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
线密度 ：λ , 线元 ：dl
线分布
dm = σdS
面密度 ：σ , 面元 ：dS
面分布
dm = ρdV
体密度 : ρ , 体积元 : dV