专题六二次函数中的探究性问题
(江西专用)2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题六二次函数的综合探究(压轴题)类型5针对训练
第二部分 专题六 类型五1．对于直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)，有如下定义：我们把直线l 2：y ＝－1a(x ＋b )称为它的“姊线”．若l 1与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，l 2与x ，y 轴分别相交于C ，D 两点，我们把经过点A ，B ，C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”．(1)若直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)的“母线”为C ：y ＝－12x 2－x ＋4，求a ，b 的值； (2)如图，若直线l 1：y ＝mx ＋1(m ＜0)，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ，若OM ＝56，求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 的函数解析式； (3)将l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3：y ＝kx ＋n ，若点P (x ，y 1)与点Q (x ，y 2)分别是“母线”C 与直线l 3上的点，当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，求k 的取值范围．解：(1)对于抛物线y ＝－12x 2－x ＋4，令x ＝0，得到y ＝4，∴B (0,4)， 令y ＝0，得到－12x 2－x ＋4＝0，解得x ＝－4或2，∴A (2,0)，C (－4,0)． ∵y ＝ax ＋b 的图象过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4.(2)如答图所示，连接OG ，OH .∵点G ，H 为斜边中点，∴OG ＝12AB ，OH ＝12CD . ∵l 1：y ＝mx ＋1，∴l 1的“姊线”l 2为y ＝－1m(x ＋1)， ∴B (0,1)，A (－1m ，0)，D (－1,0)，C (0，－1m)， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD ，∴AB ＝CD ，∠ABO ＝∠CDO ，∴OG ＝OH .∵OG ＝GB ，OH ＝HC ，∴∠GOB ＝∠ABO ，∠HOC ＝∠OCD .∵∠ODC ＋∠OCD ＝90°，∴∠ABO ＋∠OCD ＝90°，∴∠GOB ＋∠HOC ＝90°，∴∠HOG ＝90°，∴OG ⊥OH ，∴△OGH 为等腰直角三角形．∵点M 为GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形，∴OG ＝2OM ＝106，∴AB ＝2OG ＝103， ∴OA ＝1032－12＝13， ∴A (13，0)，∴C (0，13)，D (－1,0)． ∴l 1的“姊线”l 2的函数解析式为y ＝13x ＋13，“母线”C 的函数的解析式为y ＝－3x 2－2x ＋1.(3)l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”的解析式为y ＝13x ＋1，“母线”C 的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴直线l 3：y ＝kx ＋1，∵当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，不妨设x ＝1，则y 1＝0，y 2＝k ＋1，由题意k ＋1＝±3，解得k ＝2或－4，∴满足条件的k 是取值范围为－4≤k ≤2.2．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2＋4x －5的友好同轴二次函数为y ＝－x 2－2x －5.(1)请你分别写出y ＝－13x 2，y ＝13x 2＋x －5的友好同轴二次函数； (2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？(3)如图，二次函数L 1：y ＝ax 2－4ax ＋1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为m (0＜m ＜2)，它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B ′，C ′，连接BB ′，B ′C ′，C ′C ，CB .①若a ＝3，且四边形BB ′C ′C 为正方形，求m 的值；②若m ＝1，且四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2，直接写出a 的值．。
第6讲 二次函数中的双参数问题(解析版)
第6讲二次函数中的双参数问题(解析版)二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是关于二次方程而言的。
在解析几何中，二次函数与二次曲线紧密相关，对于理解平面几何图形和现实问题都具有重要作用。
本文将以第6讲“二次函数中的双参数问题”为题，探讨与二次函数有关的双参数问题的解析方法和应用。
一、二次函数回顾在开始探讨双参数问题之前，我们先简要回顾一下二次函数的基本概念和特征。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c, 其中a、b、c为实数，且a不等于零。
在直角坐标系中，二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
二、双参数问题的提出双参数问题实际上是指给定二次函数的图像上的两个特定点，根据这两个点的信息，求解二次函数的表达式及其他相关的问题。
这类问题在实际生活中有广泛的应用，如建筑设计、物理运动分析等。
三、已知两点求解二次函数表达式在已知二次函数图像上两个点的情况下，我们可以通过解方程组的方式，确定二次函数的表达式。
假设已知点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以得到如下方程组：ax1^2 + bx1 + c = y1ax2^2 + bx2 + c = y2通过解此方程组即可得到二次函数的表达式。
四、已知顶点和一点求解二次函数表达式在已知二次函数的顶点和一点的情况下，我们可以确定二次函数的表达式。
假设已知顶点V(h, k)和一点P(x, y)，我们可以得到如下方程：f(h) = ah^2 + bh + c = kf(x) = ax^2 + bx + c = y通过解此方程组即可得到二次函数的表达式。
五、已知焦点和直线求解二次函数表达式在已知二次函数的焦点F和过定点的直线的情况下，我们可以确定二次函数的表达式。
假设已知焦点F(p, q)和过定点的直线l：y = mx + n，我们可以得到如下方程组：f(p + d) + f(p - d) = 2q其中，d为焦点到直线l的距离。
二次函数的特点和应用——研究性学习
二次函数的特点和应用——研究性学习二次函数是高中数学的一个重要内容，其在数学和实际生活中具有广泛的应用。
本文将通过研究性学习的方式，探讨二次函数的特点和应用。
一、二次函数的定义及特点1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是不全为零的常数，a称为二次函数的系数，b、c为一次项和常数项。
2.特点：（1）顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
（2）开口方向：二次函数的开口方向可由a的正负确定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
（3）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
（4）零点：二次函数的零点就是方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，有时也称为根。
二次函数可能有0、1或者2个零点。
（5）平移变换：对二次函数进行平移变换可以通过改变函数的系数实现。
平移可以使二次函数的顶点、对称轴位置发生变化。
二、二次函数的应用1.物理学中的应用（1）自由落体问题：当物体自由下落时，它的高度与时间之间的关系可以用二次函数表示。
（2）抛物线轨迹：抛体运动的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数描述。
2.经济学中的应用（1）成本函数和利润函数：企业的成本和利润函数往往是二次函数，通过对函数进行分析可以最优化企业的经营策略。
（2）供需曲线：市场的供需关系可以通过二次函数来表示，通过解方程可以求得市场的均衡价格和数量。
3.工程学中的应用（1）弹簧的伸长：弹簧的伸长与所加力的关系可以用二次函数表示。
（2）飞行器轨迹：飞行器的轨迹通常是一个抛物线，可以用二次函数描述。
4.生物学中的应用（1）物种数量的变化：一些物种数量的变化可以用二次函数来描述，通过分析可以预测物种的生态变化趋势。
（2）生物发育曲线：生物的发育过程往往可以用二次函数来表示，如种子发芽过程、昆虫蛹化过程等。
2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．=S△AB P的Q点(异于点P)的（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线。
二次函数的研究性学习
题目：二次函数的特点及应用课题研究专业：数学与应用数学班级： 2011级2班*名：***学号： ***********二次函数的特点及应用课题研究一、案例设计意图1、研究背景二次函数是我们学习数学必须掌握的一项知识，它不仅在数学学科中有重要作用，而且在我们生活的方方面面（如建筑工程业、航空航天及军事等方面）都具有重要的意义。
为了更多的了解和掌握有关二次函数及二次函数的图像的知识，这里对二次函数的图像进行了各方面的探索、探讨和归类及推广等。
2、研究目标通过对二次函数图像的特点和应用的研究，初步实现了以下目标：①初步探索符合数学学科特点的“探究——发现——创造”的教学模式，并形成探究性教学模式的具体操作方法和应用策略，同时能将应用于教学实践，并对教学产生实效；②通过小组研究为载体，以研究性学习为核心，初步探索在课堂教学中开展探究性学习活动的一般途径和方法，同时，引导我们学生注重密切与社会生活的联系，初步培养我们学生自主创新意识和能力；③有利于同学们对二次函数加深理解，有利于同学们对二次函数进一步认识，也有利于我们学生解释生活现象，有利于提高我们学生的自主探究能力二、具体探究角度特点：1、二次函数的三种表达形式（1）一般式：y axbx c a20()；（2）顶点式：y a xm h ()2，其中点（m,h ）为该二次函数的顶点；（3）交点式：ya xx xx ()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x轴的交点。
二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c （a ≠0）例1、（南通市）已知抛物线yaxbx c 2经过A ，B ，C 三点，当x0时，其图象如图1所示。
求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为y axbx c 2（a0）。
由图象可知A ，B ，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
c ab ca b c216402553,,，解之，得ab c12322,,抛物线的解析式为yxx 123222yxx x1232123225822()()该抛物线的顶点坐标为()32258，。
北师大版初中数学九年级下册难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】
＋4＝10，解得 m＝± 6；③若 MC＝AC，则 MC2＝AC2，得 m2＋6m＋10＝10，解得 m1＝ 0，m2＝－6，当 m＝－6 时，M，A，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综 上所述，符合条件的点 M 的坐标为(1，－1)，(1， 6)，(1，－ 6)，(1，0)．
3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过
原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得 a＝－1，∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋1，即 y＝－x2
{ ) { ) { ) ＋2x.联立抛物线和直线解析式可得
y＝－x2＋2x， y＝x－2，
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北师大初中数学 九年级
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难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】
——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一 抛物线与三角形的综合 一、求最值 1．如图，抛物线 y＝x2－bx＋c 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B，对称轴是直线 x ＝2. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使△PAB 的周长最小？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，点 B
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在抛物线 y＝ax2(a＜0)上，则 a 的值为________．
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9．正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 l 经过 O，P，A 三点，点 E 是正方形内的抛物线 l 上的动点．
初中数学专题复习专题六二次函数压轴题
(3)解决存在性问题要先假设结论成立,然后根据所探 究特殊图形的有关性质,利用分类讨论的数学思想构造 全等或相似图形,进而求出字母的取值. 3.渗透的思想:分类讨论、转化思想、数形结合、函数 与方程等.
类型一 线段及周长最值问题 【考点解读】 1.考查范畴:线段和周长最值问题主要包括线段和的最 小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况.
【自主解答】 略
【规律方法】 探究等腰三角形存在性的方法 (1)假设结论成立. (2)分别表示三角形三条边的长度,分三种情况进行讨 论,根据两边相等列出方程,然后求出对应的未知数的 值.
(3)表示三边长度往往需要用到点的坐标,要掌握抛物 线和直线与坐标轴的交点坐标求法,并能够利用解方程 组求抛物线与直线的交点坐标.
专题六 二次函数压轴题
1.主要类型: (1)线段及周长最值问题 (2)面积最值问题 (3)存在性问题探究
2.规律方法: (1)解决线段和的最小值或三角形周长最小问题,主要 依据是“两点之间,线段最短”,具体方法是利用轴对 称将两条线段之和转化为一条线段的长,然后求出该条 线段的长.
(2)解决图形面积的最值问题,通常先设出动点坐标,然 后表示出图形面积,利用二次函数性质来求最大值或最 小值,表示不规则图形的面积时,通常采用割补法把其 转化为易于表示面积的图形(有一边在坐标轴上或平行 于坐标轴).
(1)求该抛物线的解析式. (2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的 横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面 积的最大值.
【自主解答】
(1)将点A,B坐标代入二次函数解析式得:
25a 16a
5b 4b
解5 得0，:
5 3，
a 1， b 6，
二次函数性质再研究
二次函数性质再研究二次函数是高中数学中重要的一个概念，具有丰富的性质。
在本文中，我将深入研究二次函数的性质，并探讨其在实际中的应用。
首先，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
接下来，我们来研究二次函数的顶点。
顶点是二次函数的最高点或最低点，其横坐标记作x0，纵坐标记作y0。
对于一般形式的二次函数，要求其顶点，可以使用公式x0=-b/(2a)，y0=f(x0)=a(x0)^2+bx0+c。
这可以通过推导得出，将x的取值范围设为全部实数。
另外一个重要性质是二次函数的轴对称线。
轴对称线是一个垂直于x轴的直线，其方程可以表示为x=x0。
根据二次函数的定义和性质，将中点的横坐标设置为x0，纵坐标设置为y，那么最高点（或最低点）关于轴对称线对称的点的纵坐标也是y0。
因此，其方程可以改写为y=2a(x-x0)^2+y0。
接下来，我们来研究二次函数的零点。
零点即函数的横坐标使得纵坐标为0的点。
对一般形式的二次函数来说，可以使用求根公式求解，即使用x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
下面我们将关注二次函数的增减性。
对于开口向上的二次函数，其增减性和顶点相关。
如果a>0，那么二次函数是增函数，其在顶点的左侧是减函数。
同样，如果a<0，那么二次函数是减函数，其在顶点的左侧是增函数。
最后，让我们来研究二次函数在实际中的应用。
二次函数在物理学、经济学和工程学领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，自由落体运动可以用二次函数来表示。
在经济学中，成本、供需和利润的关系可以用二次函数模型来描述。
在工程学中，抛物线的特性可以用来设计拱桥、抛物线形状的建筑物等。
总之，二次函数是高中数学中重要的一个内容，具有丰富的性质和应用。
通过研究二次函数的顶点、轴对称线、零点和增减性，我们可以更好地理解和应用二次函数。
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专题六 二次函数中的探究性问题1.已知，如图，把抛物线L 1：y ＝x 2的图象平移得到抛物线L 2过原点O 和A(4k ，0)两点，其中k >0，顶点为C ，过点C 作直线CD 平行于y 轴，与抛物线L 1交于点D.(1)直接写出平移后抛物线L 2的解析式(用含k 的代数式表示)；(2)连接AC 、OC 、AD 、OD.①判断四边形OCAD 的形状，并说明理由；②四边形OCAD 的形状能否成为正方形， 如果能，求出k 的值，如不能，说明理由.(3)若点P 为对称轴CD 上的点，在抛物线L 2上是否存在动点Q ，使以A 、O 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标，如不存在，说明理由.(用含k 的代数式表示)【解析】 (1)平移后的解析式y ＝x(x －4k)；(2)①四边形OCAD 是菱形.设CD 与x 轴交于点M ，根据对称性可得MO ＝MA ，可得顶点C(2k ，－4k 2)， 点D 的坐标为(2k ， 4k 2)，可知MD ＝MC ，四边形OCAD 是平行四边形，又因为CD 垂直于OA ，所以四边形OCAD 是菱形.②四边形OCAD 的形状可以成为正方形，理由如下：四边形OCAD 是菱形，当OA ＝CD 时，四边形OCAD 的形状是正方形，即8k 2＝4k ，解得k ＝0(不合题意，舍去)，k ＝12； (3)存在点Q 的坐标为(6k ，12k 2)、(－2k ，12k 2)、(2k ，－4k 2).2.如图1，抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m(m ＜0)与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧).(1)写出与抛物线有关的三个结论；(2)在△OAC 中，OA ＝AC ，且∠BAC ＝90°，抛物线经过点A ，求此时抛物线的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M 始终位于抛物线上A 、C 两点之间， 过点M 作垂直于x 轴的直线l ：x ＝n ，连接AM 、MC ，试探究：是否存在实数n ，使△AMC 的面积最大，如存在，求出最大值，如不存在，说明理由.【解析】 (1)因为抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m(m ＜0)与x 轴交于B 、C 两点， 所以抛物线与x 轴的交点坐标为：0＝mx 2－11mx ＋24m ，解得：x 1＝3，x 2＝8，所以B(3，0)，C(8，0)，开口向下，对称轴是直线x ＝5.5，顶点坐标(5.5，－254m)； (2)过A 作AE ⊥OC 于点E ，因为OA ＝AC ，所以 OE ＝EC ＝12×8＝4，所以BE ＝4－3＝1，又因为∠BAC ＝90°，所以△ACE ∽△BAE ，所以AE BE ＝CE AE， 所以AE 2＝BE·CE ＝1×4，所以AE ＝2，所以点A 的坐标为(4，2)，把点A 的坐标(4，2)代入抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m ，得m ＝－12， 所以抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋112x －12； (3)存在实数n ，使△AMC 的面积最大，理由如下：因为直线x ＝n 与抛物线交于点M ，所以点M 的坐标为(n ，－12n 2＋112n －12)， 由题意可知： A(4，2)，C(8，0)，由待定系数法可求得直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设直线l ：x ＝n 与CA 交于点N ，得N(n ，－12n ＋4)， 所以MN ＝－12n 2＋112n －12－(－12n ＋4)＝－12n 2＋6n －16， 所以△AMC 的面积＝MN ×3×12＝32(－12n 2＋6n －16)＝ －34(n －6)2＋3， 即当n ＝6时， △ AMC 的面积最大，最大面积是3.3.如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3，－4).(1)求直线BD 和抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵y ＝2x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴B(0，2).当y ＝0时，x ＝－1，∴A(－1，0).∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点B(0，2)，D(3，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝c ，－4＝－9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2， ∴y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－4＝3k ＋b ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2， ∴直线BD 的解析式为：y ＝－2x ＋2；(2)存在.如答图1，设M(a ，－a 2＋a ＋2).∵MN 垂直于x 轴，∴MN ＝－a 2＋a ＋2，ON ＝a.∵y ＝－2x ＋2，∴y ＝0时，x ＝1，∴C(1，0)，∴OC ＝1.∵B(0，2)，∴OB ＝2.当△BOC ∽△MNO 时，BO MN ＝OC ON ， 即2－a 2＋a ＋2＝1a， 解得：a 1＝1， a 2＝－2(舍去)，∴M(1，2).如答图2，当△BOC ∽△ONM 时，BO ON ＝OC MN， 即2a ＝1－a 2＋a ＋2， ∴a ＝1＋334或1－334(舍去)， ∴M(1＋334， 1＋338). ∴符合条件的点M 的坐标为(1，2)，(1＋334， 1＋338).4.(2016·原创)已知，如图，抛物线：y 1＝－(x －1)2＋1、 y 2＝－(x －2)2＋2、y 3＝－(x －3)2＋3、…y n ＝－(x －n)2＋n(n 为正整数)称为“系列抛物线”，分别与x 轴交于点O ，A 、B ，C 、E ，F 、….(1)AO ＝2，y n ＝－(x －n)2＋n 与x 轴交点之间的距离是2n ；(2)是否存在正整数n ，使得以y n ＝－(x －n)2＋n x 轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，若存在，求出正整数n ，若不存在，说明理由；(3)以抛物线y n ＝－(x －n)2＋n 的顶点P 为一个顶点作该二次函数图象的内接等边三角形PMN(M ，N 两点在该二次函数的图象上)，请问：△PMN 的面积是否会随着n 的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由.【解析】 (1)抛物线y 1＝－(x －1)2＋1与x 轴相交，令y ＝0得到两交点的横坐标为0和2，故AO 的距离为2，y n ＝－(x －n)2＋n 与x 轴两交点坐标为(n ＋n ，0)和(－n ＋n ，0)，所以y n ＝－(x －n)2＋n 与x 轴交点之间的距离是2n ；(2)存在，n ＝3.理由：如答图1，设y n ＝－(x －n)2＋n 的顶点G(n ，n)，抛物线与x 轴两交点坐标为F(n ＋n ，0)和E(－n ＋n ，0)，EF ＝2n ，过点G 作GK 垂直x 轴于点K ，得EK ＝n ，GK ＝n ，因为y n ＝－(x －n)2＋n 的顶点及该抛物线与x 轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，所以得n ＝3·n ，解得n 1＝3，n 2＝0(不合题意，舍去)(3)△PMN 的面积不会随着n 的变化而变化.理由如下：如答图2，根据抛物线和等边三角形的对称性，可知MN ⊥y 轴， 设抛物线的对称轴与MN 交于点H ，则PH ＝3HM ，设M(m ，－(m －n)2＋n)， ∴HM ＝n －m(m<n)，又PH ＝y P －y H ＝n －[－(m －n)2＋n]＝(m －n)2，∴(n －m)2＝3(n －m) ，∴n －m ＝3，∴HM ＝3，PH ＝3，∴S △PMN ＝12PH ×2HM ＝12×3×2×3＝33， ∴△PMN 的面积不会随着n 的变化而变化.5.我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.如图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点.(1)如图1，如果抛物线y ＝x 2的过顶抛物线为y ＝ax 2＋bx ，C(2，0).那么：①a ＝1，b ＝－2；②如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为(D)A .平行四边形B .矩形C .菱形D .正方形(2)如图2，抛物线y ＝ax 2＋c 的过顶抛物线为F 2，B(2，c －1).求四边形ABCD 的面积；(3)如果抛物线y ＝13x 2－23x ＋73的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD 的面积为23，请直接写出点B 的坐标.【解析】 (1)①由A 、C 点关于对称轴对称，得对称轴x ＝1.将C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，4a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2， ②当x ＝1时，y ＝x 2，D(1，1)，y ＝x 2－2x ＝－1，B(1，－1)，四边形ABCD 的对角线相等，且互相垂直平分，四边形ABCD 是正方形；(2)∵B(2，c －1)，∴AC ＝2×2＝4.∵当x ＝0，y ＝c ，∴A(0，c ).∴F 1∶y ＝ax 2＋c ，B(2，c －1).设F 2∶y ＝a(x －2)2＋c －1，∵点A(0，c)在F 2上，∴4a ＋c －1＝c ，∴a ＝14.当x ＝2时，y ＝ax 2＋c ＝4a ＋c ，D(2，4a ＋c)，∴BD ＝(4a ＋c)－(c －1)＝2.∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝4； (3)如答图所示：y ＝13x 2－23x ＋73＝13(x －1)2＋2. 设F 2的解析式y ＝13(x －1－a)2＋2＋b ， B(1＋a ，2＋b)，C(2a ＋1，2)，D(1＋a ，13a 2＋2). B 点在A 点的右侧时，12AC ＝1＋a －1＝3，BD ＝13a 2＋2－2－b ＝2， 解得a ＝3，b ＝－1；B 1(1＋3，1)，B 点在A 点的左侧时，12AC ＝1－(a ＋1)＝3，BD ＝13a 2＋2－2－b ＝2，解得a ＝－3，b ＝－1，B 2(1－3，1)，综上所述：B 1(1＋3，1)，B 2(1－3，1).。