高阶方程的降阶法幂级数解法
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
可降阶方程与幂级数解法(第十六课时)
y2 y1
1 P ( x ) dx e dx , 2 y1
刘维尔公式
齐次方程通解为
y y1 (C1 C2
1 P ( x )dx e dx ). 2 y1
(6)
sin t 2 例3 已知 x 是方程 x x x 0 的解, t t 试求方程的通解.
(1) 形如 F (t , x( k ) , x( k 1) ,
, x( n) ) 0 的方程
若令 x( k ) y, 则方程降为关于 y 的n k阶方程
F (t , y, y,
, y ( n )的通解
y (t , c1 , c2 ,
2 解 这里 p( t ) ,由公式(7)可得 t
sin t t2 1 x (c1 c2 2 dt ) 2 t sin t t sin t (c1 c2 cot t ) t 1 (c1 sin t c2 cos t ). t
4.3.2、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P ( x ) y Q( x ) y 0中的系数
y P ( x ) y Q( x ) y 0
设y1是方程(5)的一个非零特解，
(5)
令 y2 u( x ) y1
代入(5)式, 得
P ( x ) y1 )u ( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 )u 0, y1 u (2 y1 P ( x ) y1 )u 0, 即 y1 u (2 y1
2 n1
(a0 , a1是任意常数)
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
显然xi 0,i 1, 2, , k, 令x xk y,则
x' xk y' xk' y
x'' xk y'' 2xk' y' xk'' y
(4.2)
x(n)
xk y(n)
nxk' y(n1)
n(n 1) 2
x y'' (n2) k
代入(4.2)得
x(n) k
y
xk y(n) [nxk' a1(t)xk ]y(n1)
1 x
dy dx
x2 n2 x2
y
0
易见,它满足定理11条件,且
xp(x) 1, x2q(x) x2 n2
按x展成的幂级数收敛区间为 x ,
由定理11方程有形如
y an xk ,
(4.75)
k 0
的解,这里a0 0,是一个待定常数,
将(4.75)代入(4.74)中,得
x2 ( +k)( +k-1)ak xk 2 x ( +k)ak xk 1
1 x12
e
p
(t
) dt
dt
],
这里c1, c2是任常数.
(4.70)
d2x dt 2
p(t)
dx dt
q(t)x
0,
(4.69)
解题步骤:
第一步: 令x x1 y方程变为
x1 y'' 2[x1' p(t)x1]y' 0
第二步: 令z y'方程变为
x1
dz dt
2[ x1'
p(t)x1]z
一般形式:
高阶方程的降阶法和幂级数解法
y c1e
x
( 2)
1 dt t
c1t
x
( 4)
c1t
x
( 3)
c1 2 t c2 2
c1 3 c1 4 c2 2 t c 2 t c3 x t t c3t c4 24 2 6
5 3 2
9
t c2 t c3 t c4 t c5 x c1
7
2014-2-21
常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程
F (t , x, x) 0
x y,
x y
F (t , y, y) 0
y (t, c1 )
x (t , c1 )
2014-2-21 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
2)不显含自变量
t 的方程
(4.59)
可降低一阶
( n) F ( x, x ,, x ) 0
方法
x y d d dy dx dy x ( x) y y dt dt dx dt dx
y xk y an2 x xk y 2 xk
a1
x
(n)
x
( n1)
(n)
xk y
( n1)
y xk y nxk
2014-2-21
( n 1)
n(n 1) (n) ( n2) xk y xk y 16 2
xk
( n2)
7-4高阶ODE的降阶和幂级数解法_29950336
例:分别求方程x x 0的满足初值条件x(0) 1, x(0) 0和x(0) 0, x(0) 1的解.
解:设方程的通解为x(t ) cnt n , 代入方程得 n 0 cn cn 2 , n2 n (n 2)(n 1) n(n 1)cnt cnt 0, n2 n 0 n 0. 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 1, c1 0, n (1) c2n , c2n1 (0) 0, x(t ) cos t; (2n)! 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 0, c1 1, n (1) c2n1 , c2n (0) 0, x(t ) sin t. (2n)!
(n) ( n 1) x a ( t ) x an (t ) xk 1 k k y0
(3)
因为xk为(2)的解, 所以(3)中y的系数恒为0. 引入新的未知函数z y, 并在xk 0的区间上用xk 除(3)的各项, 得到n 1阶齐次线性方程
z
( n1)
1 2 kM 由v( x) 0得 v0 0.故第二宇宙速度为 2 R
2kM v0 R
2gR
11.2 10 m s .
3
地球表面重力加速度 kM g 2 9.81 m s 2 R 5 R 63 10 m
3)m次齐次方程(m为正整数): F (t , x, x,, x( n) ) 0
2阶线性ODE的常数变易法
§4.高阶ODE的降阶与幂级数解法
1.可降阶的ODE
1)方程不显含未知函数x : F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n) ) 0 (k ) 令y x , 则方程降为关于y的n k阶方程 ( nk ) F (t , y, y ,, y )0 1 (4) (5) 例: 求y y 0的通解. x (4) 解:方程不显含未知函数y.令u y , 则原方程化为 du dx 1 . u u 0, u x x 于是, u y(4) cx, c . 5 3 2 y c x c x c x c4 x c5 , 逐次积分得 1 2 3
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法
5
4
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、可降阶的一些方程类型
2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。 、 的方程， 阶方程。
实质： 并以它为新的未知函数，而视x为新的 实质：若令 x′ = y ，并以它为新的未知函数，而视 为新的 自变量，此时方程可降一阶。事实上， 自变量，此时方程可降一阶。事实上，有
d nx d n−1x dx + a1 (t) n−1 +⋯+ an−1 (t) + an (t)x = 0 (4.2) n dt dt dt
分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的 阶齐线性方程（ ）无普遍方法， 分析： 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 则利用变换，可将方程降低一阶 如果知道 个线性无关的特解， 则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解， 则通过一系列同类项的变换， 阶方程， 则通过一系列同类项的变换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程， 也是齐线性的。 也是齐线性的。
于是有
y = x + x + 2! x + ⋯ + n! x
2 3
n +1
+⋯
都是发散的， 此级数对任何 x ≠ 0 都是发散的，故，所给问题没有形如假设 形式的级数解。 形式的级数解。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成 的幂级数形式 的幂级数形式， 注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式， 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题， 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里只提一下 Bessel方程和 方程和Bessel函数。 函数。 方程和 函数
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
常微分第三章
方程组
c1(t)x1(t) c2 (t)x2 (t) cn (t)xn (t) 0,
c1(t)x1(t) c2 (t)x2 (t) cn (t)xn (t) 0, （4.17）
c1(t
§4.2 线性微分方程的解法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识 4.2.2 常系数线性方程的解法 4.2.3 求变系数齐线性方程特解的幂级数法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识
1. 实变量复值指数函数的定义：
e(i )t e t (cos t i sin t) ,
可推出
cos t 1 (ei t ei t ) , sin t 1 (ei t ei t ) .
数.
定理1 若ai (t)(i 1,2,,n)及f (t)都在区间a t b上连
续，则
t0
[a,
b]及任意的
x0
,
x (1) 0
,,
x0(n1)，方程
(4.1)存在唯
一解x x(t)，定义于区间 a t b上，且满足初始条件 (4.3) .
定理2(叠加原理) 若x1(t), x2(t),, xk (t)是方程(4.2)
对应解
1 1,2 1,3 i ,4 i .
et ,et ,cost ,sin t.
四阶齐线性方程，有了 4 个线性无关的解，故通解为
x c1et c2et c3 cost c4 sin t.
例2
求
d 3x dt3
7
d2x dt2
16
dx dt
12x
0
的通解.
解 写出特征方程
3－72 16－12 0 ,
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4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法
(Power series solution to second order linear ODE )
[教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程.
[教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
[教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标]
1. 知道共振现象.
2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.
3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
1. 高阶方程降阶法
例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。
取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角ϕ的正方向，
质点运动加速度为22dt d m l ϕ，所受的力为ϕsin mg -. 于是单摆方程为ϕϕsin 22l g
dt d -=.
下面考察如下柯西问题：ϕϕsin 22l
g
dt d -=，0)0(',)0(0==ϕϕϕ.
（2）令dt d v ϕ=，下面导出ϕ
d dv
，由ϕϕd dt dt dv d dv ⋅=知，dt d d dv dt dv dt d ϕϕϕ⋅
==22. 于是原方程化为
ϕϕsin l
g
v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。
解得
C l
g
v +=ϕcos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==ϕϕϕ得到 )cos (cos 20ϕϕ-±
=l
g
v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到
)cos (cos 20ϕϕϕ-±=l
g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。
先考察摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动情形：
)cos (cos 20ϕϕϕ--=l
g
dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000
-=-=-⎰⎰ϕ
ϕ
ϕϕϕ，特别地令⎰---=000
0cos cos 2ϕϕϕϕϕ
d g l T ，
2 / 3
则0T 表示摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动所需时间. 在考察摆从0ϕ-运动到最大正角0ϕ之间运动情形：
)cos (cos 20ϕϕϕ-=l
g dt d l g
T t dt l g d t T 2)(2cos cos 00
-==-⎰⎰-
ϕ
ϕ
ϕϕϕ，容易得到， ⎰--=
=-000
00cos cos 2ϕϕϕϕϕ
d g l T T t ，因此单摆完成一个周期所需时间为02T .
注解：(1)
⎰-
-ϕ
ϕ
ϕϕϕ
cos cos d 称为椭圆积分函数，其反函数)(t ϕ称为椭圆函数.
(2) 当初始偏角0ϕ很小时，（近似公式推导如下）
⎰⎰-=-=0
00
2
2
0002
sin 22
sin 224
cos cos 24
2ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕd g l d g l T ⎰⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=0
2
00
2sin 2sin
12
sin
2
ϕϕϕϕϕ
d g l ，令)
2/sin()
2/sin(0ϕϕ=
s ，则) )2/(arcsin(sin 20s ϕϕ=，
于是当0ϕ很小时，ds s ds d 2)2/(sin 122
02≈-=
ϕϕ，得到g l
s
ds g l T π214
21020=-≈⎰. 作业58. 求解方程(1) 0)dt dx ()dt dx (dt x d x 3222=+-; (2)
0)dt
dx (x 12dt x d 2
22=-+. 2. 二阶线性方程的幂级数解法
（1）幂级数收敛：+∞<<∞-=∑+∞=x ,e n!x x
0n n ；+∞<<∞-=∑+∞=x x,cos (2n)!x (-1)0
n 2n n .
Geometric series:
1x 1 ,x
11
x 0n n <<--=
∑+∞
=; Binomial series:
a 3
20
n n n a x)(1x 3!
2)1)(a a(a x 2!1)a(a ax 1x C +=+--+-+
+=∑+∞
= . （2）幂级数一些性质：(a) 幂级数相等(Identity Principle)：
I x ,x b x a
n n n 0
n n
n
∈=∑∑+∞
=+∞
=当且
3 / 3
仅当 0,1,2,n ,b a n n ==.
(b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence)：给定幂级数
∑+∞
=0
n n
n x
c ，如果
),0(l i m 1+∞∈=+∞→ρn
n n c c ，则幂级数收敛区间为)1
,1(ρρ-，端点处敛散性单独考虑. (c) 幂级数求导法则：如果∑+∞
==
n n
n x
c f(x)在开区间I 上收敛，则f(x)在I 上可导且导数为
I x ,x nc (x)' f 1
n 1n n ∈=∑+∞
=-.
(d) 幂级数指标调换（Shift of Index of summation ）：例如
∑∑+∞
=++∞
=-+=0
n n 1n 1
n 1
n n
x 1)c (n x
nc .
例69. 用幂级数方法求解方程02y dx
dy
3)(x =+-. 解：令,x c 1)(n 'y ,x
c y 0n n 1n 0n n
n ∑∑∞
=+∞
=+==
代入方程比较系数得到
0x c 2x 1)c (n 3x
1)c
(n 0
n n n 0
n n
1n 0n 1
n 1
n =++-+∑∑∑∞
=∞
=+∞
=++，调整指标得到
0x c 2x 1)c (n 3x
nc 0
n n n 0n n
1n 1
n n
n
=++-∑∑∑∞
=∞
=+∞
=，于是，
0)x 2c 1)c 3(n -(nc 2c 3c 1
n n n 1n n 01=++++-∑∞
=+，解得,c 1)
3(n 2n c ,c 32c n 1n 01++==
+ 得到， 1,2,n ,c 31n c 0n n =+=
由3
1
c c lim n 1n n =+∞→知， 原方程的幂级数解()∑∞
=+=0n n
n
x 3
1n c x y ，收敛区间为3) 3,(I -=. 作业59. 运用幂级数方法求解方程0x dt
x
d 22=+.。