1[1].8+空间等参数单元

(9.8) 从上式可以看到，如果插值函数满足条件 (9.9) 则(9.8)式和(9.6)式完全一致，说明在单元内确实得到了原来给予各个结点的线性变化的场函数， 即单元能够表示线性变化的场函数，亦即满足完备性要求。 我们知道在构造插值函数时，条件(9.9)是确实满足了的。由此还可进一步看到等参元的好处， 在母单元内只要满足条件(9.9)，则子单元可以满足更严格的完备性要求。 如果单元不是等参的，即坐标插值表示式 x =
37
20 节点六面体单元的节点除六面体的 8 个角点外， 还有每边的中点。 局部坐标系 ξηζ 放在母单元的 形心处。
图 8.2 20 节点单元等参数单元 为 构 造 N1 ， 可 做 4 个 平 面 ， 即 f1 = 1 − ξ = 0 , f 2 = 1 − η = 0 , f 3 = 1 − ζ = 0 和
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积分，按照数学分析的公式有
故有：
若单元的某个面上只作用着沿外法线方向的法向载荷 q 。设 n 表示该曲面的外法线方向，则有
G
于是
这将原来的第一曲面积分化成了第二曲面积分。例如对于 ζ = ±1 的面， {Qi } 可写为
e
对于 ξ = ±1,η = ±1 的面，响应的计算公式只须在上式右端对 ξ ,η ,ζ 和 S ,T ,V 同时进行轮换即可。 4．初应变 如果考虑温度改变的影响，则各单元的结点上还应加上温度改变引起的等效结点力
−1
：
⎧x⎫ G ⎪ ⎪ r = ⎨ y⎬ ， ⎪z⎪ ⎩ ⎭
⎧ x,η ⎫ J G G ⎪ ⎪ T = r ,η = ⎨ y,η ⎬ ， ⎪z ⎪ ⎩ ,η ⎭
则
⎧ x,ξ ⎫ J G G ⎪ ⎪ S = r ,ξ = ⎨ y,ξ ⎬ ⎪z ⎪ ⎩ ,ξ ⎭ ⎧ x,ζ ⎫ J G G ⎪ ⎪ V = r ,ζ = ⎨ y,ζ ⎬ ⎪z ⎪ ⎩ ,ζ ⎭
λ N i , x N j , y + GN i , y N j , x
( λ + 2G ) Ni , y N j , y + G ( Ni , x N j , x + Ni , z N j , z )
GN i , y N j , z + κ N i , z N j , y
⎤ ⎥ ⎥ λ N i , y N j , z + GNi , z N j , y ⎥ ( λ + 2G ) Ni , z N j , z + G ( Ni , y N j , y + Ni , x N j , x )⎥ ⎦
i =1
m
v = ∑ N i vi ，
i =1 e
m
w = ∑ N i wi
i =1
m
或
{δ } = [ N ]{δ }
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二、 应变和应力
应变
{ε } = [ L ]{u} = [ L ][ N ]{δ }
其中
e
= [ B ]{δ } = ⎡ ⎣[ B1 ]
e
[ B2 ]
"
e [ B20 ]⎤ ⎦ {δ }
第八节 空间等参数单元
对于平面问题中所叙述的方法，显然可以推广到空间问题。
一、单元形函数
在概念与分析方法上， 空间等参单元与平面等参单元相似。 空间等参单元的母单元是 2 × 2 × 2 的 立方体，常用的母单元为 8 节点线性立方体单元和 20 节点二次立方体单元(图 7.8.1)。形函数构造 方法与平面问题的相同，公式为
f 2 = 1 − η = 0 , f3 = 1 − ζ = 0 ，它们通过节点 2，3，4，5，6，7，8，但不通过节点 1。将上述平面
和节点 1 的坐标代人式(7.8.1)，可得
同理可构造出其他形函数，并可统一表示为 其中 (2)20 节点单元 20 节点单元是由边长为 2 的立方体母单元通过坐标变换得到的， 通常是一个曲面曲棱的六面体。
( i = 1, 2," , 20 )
设单元的体积力是 { p} = ⎡ ⎣ px
பைடு நூலகம்
py
pz ⎤ ⎦ ，则移置到各结点上的等效结点力为
T
( i = 1, 2," , 20 )
3．表面力 设单元的某边界面上作用有表面力为 {q} = ⎡ ⎣ qx
qy
qz ⎤ ⎦ ，则此面上各结点的等效力为
T
式中曲面积分是在单元上作用有分布力 g 的某一面 sσ 上进行的。例如，在对应于 ζ = 1 的面上进行
d ξ 和 dη 共线的
情况。这是由于单元过分歪曲而发生的。 以上讨论可以推广到三维情况。即为保证变换的一一对应，应防止因任意的二个结点退化为一 个结点而导致 dξ ，dη ， d ζ 中的任一个为 0， 还应防止因单元过分歪曲而导致的 d ξ , dη , d ζ 中 的任何二个发生共线的情况。
二、等参单元的收敛性
[ Bi ] = [ L ]6×3 [ Ni ]3×3
⎡ Ni , x ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 =⎢ ⎢ Ni , y ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ Ni , z
0 Ni, y 0 Ni, x Ni , z 0
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ Ni , z ⎥ ⎥ 0 ⎥ Ni , y ⎥ ⎥ Ni , x ⎥ ⎦
{δ i }
图 9.2 单元交界面上变量协调和不协调的情况(a)变量协调 (b)变量不协调 关于单元的完备性，对于C0型单元，要求插值函数中包含完全的线性项(即一次完全多项式)。这 样的单元可以表现函数及其一次导数为常数的情况。显然，本章讨论的所有单元在自然坐标中是满 足此要求的。现在要研究经等参变换后，在笛卡儿坐标中此要求是否仍然满足。 现考查一个三维等参单元，坐标和函数的插值表示是
f 4 = ξ + η + ζ + 2 = 0 ，它们通过除节点 1 以外的所有节点。将上述平面和节点 1 的坐标代人式
(7.8.1)，可得
同理可构造出其他形函数，并可统一表示为
Ni = (1 + ξ0 )(1 + η0 )(1 + ξ0 )(ξ0 + η0 + ζ 0 − 2 ) ξi2ηi2ζ i2 8
e
= [ui
vi
wi ]
T
其中
x,ξ = ∑ N i ,ξ xi ，
i =1
20
y,ξ = ∑ N i ,ξ yi ，
i =1
20
z,ξ = ∑ N i ,ξ zi
i =1
20
且
39
则有
雅可比矩阵 [ J ] 的逆阵 [ J ] 。 可以用 [ J ] 的元素写出显式。 首先引入矢径及其偏导数的记号,即
43
第九节 等参变换的条件和等参单元的收敛性
一、等参变换的条件
从微积分学知识已知， 两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi 行列式 J 不得为 O， 等参变换作 为一种坐标变换也必须服从此条件。这点从前面坐标变换的各个关系式中的意义也清楚看出。首先 从 dV 和 dA 的计算式可见，如 J = 0 ，则表明笛卡儿坐标中体积微元(或面积微元)为 O，即在自然 坐标中的体积微元 d ξ dη d ζ (或面积微元 d ξ dη )对应笛卡儿坐标中的一个点，这种变换显然不是 一一对应的。另外因为 J = 0 ， [ J ] 将不成立，所以两个坐标之间偏导数的变换式就不可能实现。
∑ Ni′ xi , y = ∑ Ni′ yi , z = ∑ Ni′ zi 式中的结点
i =1 i =1 i =1
m
m
m
数 m 和插值函数 N i′ 各自不等于函数插值表示式：φ =
∑Nφ
i =1
m
i i
中的结点数 n 和插值函数 N i ，这时可
分为两种情况。 (1)超参单元，即 m>n，单元完备性要求通常是不满足的。 (2)次参单元，即 m<n，这时从前面关于构造变结点单元插值函数的一般方法可以推知存在下列 关系式：
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图 9.1 单元划分的正常与不正常情况 (b)所示单元结点 3，4 退化为一个结点，在该点 dξ = 0 ，(c)所示单元结点 2，3 退化为一个结点， 在该点 dη = 0 ，(d)所示单元在结点 1，2，3， sin ( d ξ ,dη ) > 0 ，而在结点 4， sin ( d ξ ,dη ) < 0 。 因为 sin ( dξ ,dη ) 在单元内连续变化，所以单元内肯定存在 sin ( d ξ ,dη ) = 0 ，即
x = ∑ N i xi ，
i =1
n
y = ∑ N i yi ，
i =1
n
z = ∑ N i zi
i =1
n
(9.4)
φ = ∑ N iφi
i =1
n
(9.5)
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现给各个结点参数以和线性变化场函数 (9.6) 相对应的数值，即 (9.7) 将上式代入(9.5)式并利用(9.4)式，就得到单元内的函数表示式
−1
现在着重研究在有限元分析的实际中如何防止出现 J = 0 的情况。为简单起见，先讨论二维情 况，一方面 dA = J dξ dη 式已知，另方面笛卡儿坐标中的面积微元可直接表示成 (9.1) 所以可得 (9.2) 从上式可见，只要以下三种情况之一成立，即 (9.3) 就将出现 J = 0 的情况，因此在笛卡儿坐标内划分单元时，要注意防止以上所列举情况的发生。图 9.1(a)所示单元是正常情况，而(b)～(d)都属于应防止出现的不正常情况。
在前面我们已讨论了有限元分析中解的收敛性条件，即单元必须是协调的和完备的。现在来讨 论等参元是否满足此条件。 为研究单元集合体的协调性，需要考虑单元之间的公共边(或面)。为了保证协调，相邻单元在这 些公共边(或面)上应有完全相同的结点，同时每一单元沿这些边(或面)的坐标和未知函数应采用相 同的插值函数加以确定。显然，只要适当划分网格和选择单元，等参元是完全能满足协调性条件的。 图 9.2(a)所示正是这种情况，而(b)所示是不满足协调条件的。