整式方程的解法(课件)
3.2 一元一次方程及其解法(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
(2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a
≠ 0)的形式；
(3)系数化为 1： 得到方程的解 x= ba(a ≠ 0).
知2－讲
解法提醒 移项一般习惯上将含未知数的项放在等号
的左边，常数项放在等号的右边 .若移项时为计 算简便不是这样放置的，在合并时可直接交换 过来，这不需要变号，因为等式有对称性 .
知1－练
(1) 12x+y=1－2y； (2) 7x+5=7( x－2)；
(3)
5x2－
1 3
x－2=0；
(4)
2 x－1
=5；(5)
3 4
x=
1 2
；
(6) 2x2+5=2(x2－x) .
解题秘方：利用一元一次方程的定义进行判断 .
知1－练
解： (1) 含有两个未知数，不是一元一次方程； (2) 化简后 x 的系数为 0，不是一元一次方程； (3) 未知数 x 的最高次数为 2，不是一元一次方程； (4) 等号左边不是整式，不是一元一次方程； (5)(6) 是一元一次方程 . 判断一元一次方程不仅要看
例3 解方程：8－3x=x+6.
知2－练
解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤(移项 →合并同类项→系数化为 1)解方程.
解： 移项，得 －3x－x=6 － 8. 合并同类项，得 －4x=－2.
两边都除以 － 4，得 x= 12.
3-1.解方程：
知2－练
(1)5x－2=7x+8；
(2) －2x－23 =x+ 13.
是乘法分配律 . 2. 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括
号法则相同 .
例4 解方程： 2(x－3) －3(3x－1) =6(1－x) .
初中数学中的整式方程解法
初中数学中的整式方程解法数学作为一门学科，无处不在我们的生活中。
在初中数学中，整式方程是一个非常重要的内容。
解整式方程需要掌握一些基本的解法，本文将介绍几种常见的整式方程解法。
一、一元一次整式方程的解法一元一次整式方程是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次整式方程的基本思路是通过移项和合并同类项来求解。
例如，解方程2x + 3 = 7。
首先，我们可以将方程化简为2x = 7 - 3，即2x = 4。
然后，再将方程两边同除以2，得到x = 2。
所以，方程的解为x = 2。
二、一元二次整式方程的解法一元二次整式方程是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次整式方程的方法有因式分解法和配方法。
1. 因式分解法因式分解法是通过将方程进行因式分解，然后利用因式分解的性质来求解。
例如，解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x+ 3) = 0。
根据因式分解的性质，我们知道当两个因式的乘积等于0时，其中一个因式必定等于0。
所以，我们可以得到两个方程x + 2 = 0和x + 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = -2和x = -3。
所以，方程的解为x = -2和x = -3。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
例如，解方程x^2 + 6x + 9 = 0。
我们可以将方程转化为(x + 3)^2 = 0。
根据完全平方的性质，我们知道当一个完全平方等于0时，其中的项必定为0。
所以，我们可以得到方程x + 3 = 0。
解这个方程，可以得到x = -3。
所以，方程的解为x = -3。
三、一元高次整式方程的解法一元高次整式方程是指含有一个未知数的高次方程。
解一元高次整式方程的方法有因式分解法、配方法和综合运用法。
1. 因式分解法因式分解法是通过将方程进行因式分解，然后利用因式分解的性质来求解。
例如，解方程x^3 - 8 = 0。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0。
整式方程的解法
整式方程的解法一、引言整式方程是数学中常见的一类方程，它由多个变量和常数构成，其中变量与常数通过基本的代数运算相连。
解整式方程就是要找出使方程成立的变量值。
本文将介绍解整式方程的一般方法和常见技巧。
二、一元整式方程的解法1. 一元整式方程是只有一个变量的整式方程。
解一元整式方程的基本思路是将方程转化为等价的形式，然后通过代数运算求解。
2. 一元整式方程的解法包括移项、合并同类项、因式分解、去分母等步骤。
通过这些步骤，可以将方程转化为形如“变量=常数”的形式，从而得出方程的解。
3. 举例说明：解方程3x + 2 = 11。
首先将方程移项得到3x = 11 - 2，然后合并同类项得到3x = 9，最后将方程化简为x = 3。
所以方程的解为x = 3。
三、多元整式方程的解法1. 多元整式方程是包含多个变量的整式方程。
解多元整式方程的一般方法是利用消元法和代入法。
2. 消元法是通过变量的消去，将多元整式方程转化为较简单的方程组。
通过消元法，可以得到包含少量变量的方程组，从而更容易求解。
3. 代入法是将多元整式方程中的一个变量用另一个变量表示，然后将其代入方程中，从而得到一个只含有一个变量的方程。
通过代入法，可以逐步求解多元整式方程。
4. 举例说明：解方程组2x + y = 4，x + y = 2。
使用消元法，将第二个方程乘以2得到2x + 2y = 4，然后将第一个方程减去第二个方程得到y = 0。
将y的值代入第二个方程得到x = 2。
所以方程组的解为x = 2，y = 0。
四、注意事项1. 解整式方程时，需要注意运算的规范性和准确性，尤其是合并同类项和因式分解的过程。
2. 解整式方程时，要注意化简方程的过程，避免出现错误的结果。
3. 解多元整式方程时，要注意消元法和代入法的使用，选择合适的方法进行求解。
4. 解整式方程时，可以通过检验解的合法性来验证结果的准确性。
5. 解整式方程时，可以利用计算工具和软件辅助求解，提高求解的效率和准确性。
第二单元 第五讲 整式方程(组)的概念及解法 2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
一般形式
5
对点练习
1.(1)下列是一元一次方程的是 ( D )
A.3-2x
B.6+2=8
C.x2-49=0
D.5x-7=3(x+1)
(2)下列是二元一次方程组的是( D )
A.
C.
2
3
2 2 + = 1
B.
3 − = 4
3
+ =7
D.
3 − = 0
− =1
− =2
当p=-1时,Δ=p2-4=-3<0;
∴p=3.
30
【方法技巧】
判别式的“双向应用”
1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.
2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.
提醒:要根据a≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.
31
【变式训练】
1.(2024·上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( D )
【解析】(1)x2-(m+2)x+m-1=0,
这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
Δ=b2-4ac
=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8.
∵m2≥0,∴Δ>0.∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
33
(2)若方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2,
18
− = ①
【自主解答】(1)
,
− = + ②
由①,得y=3x-5,③
把③代入②,得5(3x-5)-1=3x+5,
整式ppt课件
分式在整式中应用举例
分式加减运算
01
通过具体例子展示分式加减运算的步骤和注意事项，如通分、
约分等。
分式乘除运算
02
通过实例演示分式乘除运算的方法，包括分子分母相乘除、约
分等步骤。
分式在方程中的应用
03
举例说明分式方程的建立和解法，强调去分母、根式化简
通过实例演示根式的化简方法，包括提取平方因子、分母有理化 等步骤。
回顾整式加减运算规则，强调 同类项合并及去括号法则。
整式乘除运算
总结整式乘除运算规则，包括 单项式乘多项式、多项式乘多
项式等。
幂的运算
复习幂的运算性质，如同底数 幂相乘、相除、乘方等。
拓展延伸：多项式及其运算规则
多项式概念
介绍多项式定义、分类及性质 ，明确多项式的次数、项数等
概念。
多项式乘除运算
分析多项式乘除运算规则，包 括多项式乘以单项式、多项式 除以单项式等。
提取公因式法
定义
从整式中提取出公共因子，使整式更简洁。
方法
观察整式中的各项，找出公共因子并提取出来， 得到简化后的整式。
示例
$3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x + 2y)$
公式化简法
定义
利用数学公式对整式进行化简，使整式更简洁。
方法
掌握常用的数学公式，如平方差公式、完全平方公式等，将其应用 到整式化简中。
二元一次整式方程求解方法
代入法
将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，代入另一个方程中求解。
消元法
通过两个方程的加减消去一个未知数，得到一个一元一次方程求解。
高次整式方程求解思路
配方法
通过配方将高次方程转化为二次方程求解。
§3 整式方程
§3 整式方程整式方程在代数方程中占有重要的地位，分式方程和无理方程经过变形后，最终都要化成整式方程去求解。
因此，研究整式方程的解法尤为重要。
本节将着重研究三次方程和四次方程的解法，以及特殊高次方程和一次不定方程的解法。
一、三次方程和四次方程1、三次方程实系数三次方程的一般形式可表为ax3+bx2+cx+d=0(a≠0). ①方程①的两边同除以a,得与①同解的方程x3+b/ax2+c/ax+d/a=0. ②对方程②作差根变换，即令x=y-b/(3a)，代入方程②，整理后得不包含y2项的新方程y3+py+q=0 ③其中①的三个根，分别等于方程③的三个根各减去b/(3a).因此，只要讨论方程③的解法就可以了。
设y=u+v,代入③得u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0 ④令3uv+p=0,即uv= - p/3. ⑤将⑤代入④，得u3+v3= - q. ⑥由⑤和⑥，得关于u,v的方程组u3+v3= - q,u3v3= - p3/27.易知，u3和v3是二次方程z2+qz-p3/27=0的根。
由于u3和v3在方程中是对称的，于是解得u3= -q/2+√(q2/4+p3/27); ⑦v3= -q/2-√(q2/4+p3/27).显然，在复数集中u和v各有三个值。
设u的一个值是u1，那么另外两个值是u1w,u1w2；同样，设v的一个值是v1，那么另外两个值是v1w,v1w2，。
这里，w和w2是1的三次虚根，即w= -1/2+√3/2i，w2= -1/2-√3/2i。
注意到u和v必须满足⑤式，则u和v的值只有下列三组：u=u1, u=u1w, u=u1w2,v=v1; v=v1w2v=v1w.根据假设y=u=v,于是方程③的三个根是y1=u1+v1,y2=u1w+v1w2,y3=u1w2+v1w.从而，方程①的三个根是x1=u1+v1-b/(3a),x2=u1w+v1w2-b/(3a),x3=u1w2+v1w-b/(3a).三次方程的上述解法，通常称为塔尔塔利亚解法。
整式方程的解法
整式方程的解法整式方程是指包含有未知数的整数系数的等式。
解决整式方程需要运用数学中的一系列方法和技巧。
本文将介绍常见的整式方程解法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1. 一元一次整式方程的解法一元一次整式方程是最简单且常见的整式方程形式，可以表示为：ax + b = 0 （其中a和b为已知整数，x为未知数）。
为了解这个方程，我们可以使用逆运算法则，将方程化为x = -b/a 的形式。
通过这个简单的步骤，我们可以求得方程的解。
2. 一元二次整式方程的解法一元二次整式方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知整数。
为了解一元二次整式方程，我们可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)。
根据求根公式，我们可以分为三种情况来求解方程：当 b^2-4ac > 0时，方程有两个不相等实数根；当b^2-4ac = 0时，方程有两个相等实数根；当b^2-4ac < 0时，方程没有实数解。
3. 分式方程的解法分式方程是包含了分式的方程，可以表示为：(p(x)/q(x)) + r(x) =s(x)，其中p(x)、q(x)、r(x)、s(x)均为整式。
为了解分式方程，我们可以通过通分的方式，将所有分式转化为整式，然后按照整式方程的解法进行求解。
4. 多个未知数的整式方程的解法多个未知数的整式方程是包含多个未知数的整式方程，可以表示为一组方程：f1(x1, x2, ..., xn) = 0；f2(x1, x2, ..., xn) = 0；...；fn(x1, x2, ..., xn) = 0。
为了解这组方程，可以利用消元法、代入法或者高斯消元法等方法来求解。
5. 已知条件的整式方程的解法在某些情况下，我们需要根据已知条件建立一个整式方程，然后求解这个方程来寻找满足条件的解。
在这种情况下，我们需要仔细分析已知条件，将其转化为方程，并根据上述的解法来解方程，以得到满足条件的解。
整式方程-
整式方程为了更好地帮助您进行学习，以下文章将简要介绍整式方程，包括它们的定义、性质和解法。
一、定义整式方程是将一个或多个整式相等的方程。
其中，整式是由常数和变量组成的表达式，例如x^2+2x+1、2x-3等都是整式。
二、性质1.整式方程的次数：整式方程的次数等于其最高次项的次数，例如4x^3-3x^2+7x=0是一个次数为3的整式方程。
2.整式方程的根：整式方程的根是使方程成立的数值。
例如，整式方程x^2-4=0的根是x=±2。
3.整式方程的解法：整式方程的解法一般有如下几种方式：（1）因式分解法：当整式方程可因式分解为若干个不可约的因式时，我们就可以通过将每个因式分别等于0来求得整式方程的根。
（2）配方法：当方程中存在类似于(a+b)^2或(a-b)^2一类的项时，我们可以使用配方法将其化简为二次方程再求解。
（3）待定系数法：当整式方程中未知数个数比较多的时候，我们可以使用待定系数法来求解。
（4）综合运用：不同的整式方程，可能需要采用不同的解法才能求解，因此我们需要根据具体情况选择合适的解法。
三、解题思路1.读题：首先，我们需要仔细阅读整式方程题目，明确要求、确定未知数、确定方程类型等。
例如，某整式方程中未知数只有一项，且是一元一次方程，则我们可以通过解一元一次方程来求解。
2.化简：有时候，我们需要先对方程进行化简，例如通过合并同类项、移项等方式，将方程转化为更简单的形式。
3.解方程：根据前面所提到的解法，选择合适的方法求解方程，并记录每一步的计算过程。
4.验证：将求得的解代入原方程中验证，看是否满足原方程中的等式关系。
四、例题解析例1：求解方程2x^2-5x+2=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程进行因式分解，得到(2x-1)(x-2)=0。
因此，方程的根为x=1/2和x=2。
例2：求解方程x^2-6x+8=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程配方，得到x^2-2*3x+3^2=1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题讲解
例 1、解下列方程（组）
2 x 1 10 x 1 1 （1） 3 6
3x y 7 （2） 4 x 3 y 5
x y z 7 x y 1 （3） y 2
总结： 1、解一元 一次方程的一般步骤是 2、解一次方程组的一般方法是
。
。
反馈训练
选择适当的方法解下列方程（组）：
3x 5y 7 （1） x y 1 3 2
（2）（x－3） －9＝0
2
（3）x －2x＝2x＋1
2
（4）4x（2 x－1）＝3（2x－1）
（5）（x＋1）（x－1）＋2（x＋3 ）＝8
拓展延伸
• 1、已知关于x的一元二次方程（m－ 1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0，常数 项为0，求m. • 2、已知x2－x－1＝0，求－x3＋2x2＋2012的值. • 3、一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为整数acm，且a满 足a2－10a＋21＝0，求此 三角形的周长。
总结：
• 本节课你学到了什么？
谢
谢！
整式方程的解法
中考要求：
• 1、 会解一元一次 方程及一次方程组。 • 2、 会用直接开平方法，因式分解法，公式法和配方法解简单的 一元二次方程。
基础训练
• 1、若 是关于 的方程 的 解，则m的值为＿＿＿＿。
• 2、关于 y的一元二次方 程y（y－3）＝－4的一般形式是＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿，它的二次项的系数是＿＿＿＿，一次项是 ， 常数项是＿＿＿＿＿。 • 3、已知关于x的方程 x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的 另一个根是＿＿＿。
， 和
，
， 。
和
。
例题讲解
• 例2、用指定方法解下列方程 • （3）4x2－1＝0（直接开平方法） • （5）2x2－7x＝4（公式法）
（4）x2－4x＋3＝0（配方法）
（6）x＋3－x（x＋3）＝0（因式分解法）
总结： 1、解一元二次方程的方法有 ， ， ， 2、一元二次方程的ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是