学而思初一数学春季班第4讲-目标中考满分班-学生版
学而思初一数学春季班第9讲-目标满分班-教师版
三角形1级几何基础图形三角形的认识三角形2级三角形两大模型三角形3级三角形三大专题春季班第十一讲春季班第十讲色盲检测漫画释义满分晋级阶梯9几何基础图形——三角形的认识定 义示例剖析三角形的定义：由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．．连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．．. 表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”．ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示．顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b（AC ） 顶点C 的对边c （AB ） 三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.,,A B C ∠∠∠是三角形的内角c b aCBA 思路导航知识互联网题型一：三角形的边A BC教师总结：根据三角形三边关系的相关考点考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长例1、用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知两根分别为3cm，7cm，求第三根长度有什么限制.【解析】设第三根绳子长为xcm，有7-3<x<7+3，有4<x<10.例2、已知三角形两边长为3cm，6cm，且第三边为奇数，求第三边的长度.【解析】第三边为5cm或7cm考点二、判断三条线段能否构成三角形例3、以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.8cm,6cm,2cm【解析】B考点三、确定三角形的个数问题例4、长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【解析】从四根木棒中取三根，共有四种取法，分别是：①2cm、3cm、4cm；②2cm、3cm、5cm．③3cm、4cm、5cm；④2cm、4cm、5cm．其中①、③、④符合三角形三边关系，因此可以组成三个三角形.考点四、化简代数式问题如例2、⑶⑷考点五、三角形边的不等关系如思维拓展，训练2例题精讲【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】根据三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和，可得第三边的取值范围是410c<<，在这一范围内满足第三边是整数的点分别是5、6、7、8、9，而三角形的周长要取最小值，即当第三边5c=时，这个三角形周长最小，是3+5+7=15，故选B.典题精练【例1】 ⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm⑵下列线段能组成三角形的是 ．①123，， ②234，， ③222345，， ④222123(0)a a a a +++≠，，⑶已知三角形三边长分别为4,5,x ，则x 的取值范围是 。
4.和差倍基础-学生版
第4讲和差倍基础第一部分：教学目标本讲知识点属于应用题板块，难度并不大。
要求学生能够分辨出来和差倍的具体问题，熟练掌握和差倍的具体公式，并能够熟练应用到和差倍应用题中。
并能够迅速口算出答案！第二部分：知识介绍1.和差问题和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
和差问题的基本关系式是：(两数的和－两数的差)÷2=较小的数较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数较大的数－两数的差=较小的数2.和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．和倍问题的特点是已知两数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的基本关系式是：和÷(倍数+1)=小数（1倍数）小数×倍数=大数或和一小数=大数3.差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。
解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－ 1)=小数（1倍数）倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数备注：年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。
第三部分：例题精讲板块一：和差问题【例 1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？【例 2】甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？【例 3】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？【例 4】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人?【例 5】（上外小升初模拟题）甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。
学而思初一数学春季班第5讲-目标中考满分班-教师版
不等式1级 不等式的概念和性质 不等式2级 含参不等式 方程6级不等式3级 不等式的应用春季班 第七讲暑期班第七讲天平漫画释义满分晋级阶梯5含参不等式编写思路：题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系；题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识. 题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解（1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集. （2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.定 义示例剖析一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.25x >，340m -<，332307≥y y -+-一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b >的形式（其中0a ≠）.563x >，37≤x 等都是一元一次不等式的标准形式 不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知思路导航知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3≥x 是260≥x -的解集； 2x <是2x ->-的解集解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值组成的集合；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．定 义示例剖析一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．1302841x x x ⎧-⎪⎨⎪+<-⎩≥和26061503≥x x x ⎧⎪-⎪-<⎨⎪⎪->⎩ 都是一元一次不等式组； 24x y >⎧⎨<⎩不是一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）不等式 图示解集 x ax b >⎧⎨>⎩ x a >（同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ x b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<（大小交叉中间找）x ax b >⎧⎨<⎩无解（大大小小无解了）【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤. 典题精练⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解．⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）【解析】⑴135x -≥； ⑵由①得1x -≥由②得3x <∴原不等式组的解集是13x -<≤.⑶由①得 12x -≥；由②得 2x <．∴此不等式组的解集为122x -<≤．∴此不等式组的整数解为0，1．⑷原不等式组等价于不等式组3221215x x x -<-⎧⎨-<⎩解得：1x < ⑸无解【点评】通过此题告知学生不等式组无解的写法.思路导航题型二：含参数的不等式（组）对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，分类情况解集情况 0a >时解集为bx a <．0a <时 解集为bx a >.0a =时若0b >，则解集为任意数； 若0b ≤，则这个不等式无解．【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是 ．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．【解析】 ⑴a b ≥；⑵b a ≤；⑶a b <；⑷a b ≤.【点评】先根据不等式组解集的情况得到大小关系，再对“是否取等”情况单独分析.【例2】 解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<典题精练例题精讲【解析】 ⑴ 2b ax ->⑵移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑶移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑷不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑸∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ ⑹20n --<，∴不等式解集52x n >--【点评】第1小题为系数不含参的，第2至第4为系数含参的需要分类讨论，第5,6题都是系数恒正（恒负）的问题不需要分类讨论.【总结】解决系数含参的一元一次不等式步骤：1. 移项合并同类项后得到最简式ax b >或ax b <；2．对系数a 进行分类讨论；（此时注意分析系数有可能是恒正或恒负） 3．对系数为0的情况单独分析，此时不等式解集为任意数或无解.【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是 ．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴由不等式解得62x m >-，即622m -=，则2m =； ⑵由不等式解得12a x -≤，可得112a -=-，1a =-；⑶2a =-⑷ ①D ；②C .⑸当232a a +>-时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），∴2a <．⑹解不等式组得2x a x >⎧⎨⎩≤，当2a ≥时，不等式组无解（大于大的，小于小的无解），∴2a ≥．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）【解析】 ⑴ 32≤a -<-；⑵A .【总结】（供教师参考）对于解决不等式组的整数解个数问题步骤：以例4（1）为例 1.写出不等式组的解集；例如2a x <≤2.根据整数解的个数在数轴上画出简图；可得32a -<<-；3.对于是否取等号单独讨论分析.当3a =-时，解集为32x -<≤此时有五个整数解，不合题意； 当2a =-时，解集为22x -<≤此时有四个整数解，合题意. 综上可得32a -<-≤.【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问题和解含参的不等式组，需要分类讨论.【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.544(1)331023a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩≥ 【解析】 不等式组的解为225x a -<≤恰有两个整数解，则这两个整数解必为0,1x =则122a <≤，解得112a <≤.【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩，≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 ． （2011年西城区期末考试） 【解析】 由原不等式组可得98a bx <≤．因不等式组的整数解仅为1，2，3，于是有019a <≤，348b<≤，由019a <≤得09a <≤，由348b<≤得2432b <≤.【拓展2】解关于x 的不等式组：23262(1)11x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩ 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩，当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+；当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >．【拓展3】已知关于x 的不等式组214(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.【解析】 化简不等式组得()1314a x x ->-⎧⎪⎨>-⎪⎩当1a <时，解集为1341x a --<<-；当113a ≤≤时，解集为14x >-；当13a >时，解集为31x a >--⑴若不等式组无正整数解，显然1a ≥时，均不合题意； 当1a <时，应有311a --≤，得2a -≤， 所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a -≤； ⑵当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解. 当1a <时，依题意得3341a -<-≤，解得104a <≤. 故当104a <≤时，不等式组的解集中恰含了3个正整数解.定义示例剖析绝对值不等式：不等式中未知数含有一个或几个绝对值的不等式.≤x a ，122≥x x -+-对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.【例5】 解下列不等式 ：⑴ >2x ． ⑵ 3x ≤． ⑶ 14≤x -【解析】 ⑴ （法一）零点分类讨论：①02x x ⎧⎨>⎩≥即2x >． ②02x x <⎧⎨->⎩即2x <-．综上得，2x >或2x <-．典题精练思路导航题型三：复杂的不等式（组）（法二 ）应用绝对值的几何意义：2x >或2x <-． ⑵（法一）零点分类讨论：① 03x x ⎧⎨⎩≥≤ 即03x ≤≤．② 03x x <⎧⎨-⎩≤即30x -<≤．综上得，33x -≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：33x -≤≤． ⑶ （法一）零点分类讨论：① 1014≥≤x x -⎧⎨-⎩即51≤≤x ．② 1014≤x x -<⎧⎨-⎩即31x -<≤综上得，35x -≤≤（法二）应用绝对值的几何意义：35x -≤≤【例6】 解不等式⑴ 123≤≤x + ⑵ 235≥x x -++【解析】 ⑴（法一）零点分类讨论：① 20123x x +⎧⎨+⎩≥≤≤ 即11x -≤≤．② 201(2)3x x +<⎧⎨-+⎩≤≤即53x --≤≤．综上得，11x -≤≤或53x --≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：11x -≤≤或53x --≤≤． ⑵ 应用绝对值的几何意义，易得x 为任意数.【总结】绝对值不等式的解法，通常根据绝对值的意义，用讨论的方法，去掉绝对值的符号，将绝对值不等式化为不等式组进行求解.也可根据数轴，利用绝对值的几何意义进行求解.【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．【解析】题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习【练习1】 不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】A题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习【练习2】 、a b 为参数，解不等式153b ax x -<-+ 【解析】 不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 当03b a +>时，解集为183x a b<+ 当03b a +<时，解集为183x a b>+ 当03b a +=时，解集为任意数. 【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .复习巩固真题赏析312310,216232160,3431421624323x a x a x b x b a b x x x --+=∴=+--=∴=<-⎧⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩∴-<≤≤≤⑵若不等式组213x x a -<⎧⎨<⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是 ．⑶如果关于x 的不等式组230≥≤x x m -⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是 . 【解析】 ⑴2a <；⑵2a ≥； ⑶32m <.【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A.1453a --≤≤ B.1453a -<-≤ C.145<3a --≤ D ．1453a -<<-⑵已知关于x 的不等式组0321≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 . 【解析】 ⑴ C. 不等式组可化得2123x x a <⎧⎨>-⎩∴这四个整数只能是17，18，19，20， 故162317a -<≤，即1453a -<-≤． ⑵43≤a -<-.题型三 复杂的不等式（组） 巩固练习【练习5】 解下列不等式：135x <-<【解析】 22x -<<或48x <<第十四种品格：信念朋友的信任公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。
学而思初一数学春季班第4讲-目标中考满分班-教师版
方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。
当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。
每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。
解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】 设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。
现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）； 乙：12004030÷=（天） 另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】 根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】 设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】 第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量． 【解析】 设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得6384x y =⎧⎨=⎩． 答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元） 方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元） 方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】 设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】 设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【解析】 设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ， 所以体积V=9×5×2=90（cm 3）． 答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 【解析】 方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<． 故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有 组；正整数解有 组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96． 当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】 法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =． 当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）． 所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】 两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根； （3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】 设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===， 故有两种租房方案.题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习【练习1】 为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． （2011娄底中考） 【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】 设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】 依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】 解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】 已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】 由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。
学而思初一数学秋季班第4讲.整体思想求值.尖子班.学生版
35初一秋季·第4讲·尖子班·学生版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义4整体思想求值代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算36 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版题型切片（七个）对应题目题型目标 利用同类项求未知数的值 例1；练习1 整式加减的化简求值例2；练习1 化简并说明结果与字母取值无关 例3；练习2 整体思想之整体化简 例4；练习3 整体思想之代入求值例5：练习4 整体思想之构造整体 例6；练习5 整体思想之赋值 例7；练习6整式加减的实质： ⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项. 整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法： ⑴由内向外逐层进行； ⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．37初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整38 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．39初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；40 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑷ a c e ++的值．41初一秋季·第4讲·尖子班·学生版训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-42 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体43初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版
函数1级平面直角坐标系认识初步 函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级 函数初步暑期班 第二讲春季班 第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。
二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。
对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。
（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。
从而将图形的平移转化成为点的平移。
并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形面积问题。
让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。
让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。
四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】 点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是 ．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是 ，点4B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）【拓展】 数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字 坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，， 故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字 坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中） 【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一 坐标系中的对称 巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为 ．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为 ．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为 ．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。
初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第4讲 平方根与立方根--提高班
第4讲平方根、立方根知识点1 算术平方根1.如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根. ()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0 ，即00=.2.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即0≥a；（2）本身具有非负性：即.0≥a注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】例1 （2020秋•辉县市校级期中）如果a是2021的算术平方根，则2021100的算术平方根是()A．10aB．100aC．10a±D．210a【方法总结】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．例2（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为2100cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为290cm的长方形纸片，使它的长宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用以及算术平方根，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．【随堂练习】1．（2020 1.421267≈⋯≈⋯ 4.494441确到0.1)≈___________．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21+-的算术平方根为4．a ba-的平方根为3±，31（1）求a、b的值；（2）求2+的算术平方根．a b知识点2 平方根开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，x=2，那么x叫做a的平方根.即如果a±”，读作“正、负根号a”正数a的平方根表示为“a2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】例1 （2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的:(x )（1）29250x -=；（2）24(21)36x -=．A ．53x =和2x = B ．53x =-和2x =或1x =- C ．53x =±和1x =- D ．53x =±和2x =或1x =-【方法总结】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．例2 （2020秋•雁塔区校级月考）若x ，y 210y -=，【方法总结】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【随堂练习】1．已知一个正数m 的两个不同的平方根是1a -与52a -，求a 和m 的值．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21a -的平方根为3±，31a b +-的算术平方根为4．（1）求a 、b 的值；（2）求2a b +的算术平方根．知识点3 立方根1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a ；（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）3333a a -=-（3）a a =33)(5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】例1 （2020秋•嵊州市期中）已知某正数的两个平方根分别是1-和4a -，12b -的立方根为2．（1）求a ，b 的值．（2）求a b +的平方根．【方法总结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 例2 （2020秋•碑林区校级月考）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的立方根．【方法总结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•嘉陵区期末）如果37(1)18x -+=，试求x 的值．2．（2020春•鱼台县期末）正数x 的两个平方根分别是2a -，27a -．（1）求a 的值；（2）求1x -这个数的立方根．3．（2020春•盐池县期末）已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是2-，求458a b -+的立方根．综合运用1．（20200=，则2020()a b -的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．02．（2020a b +的值为______．3．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．4．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm 的正方形和一个长为24cm 、宽为6cm 的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？5．（2020秋•宝应县期中）求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．6．（2020秋•荥阳市期中）已知21x +的算术平方根是04，z 是27-的立方根， 求2x y z ++的平方根．7．（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -，求23m n +的平方根；（2）已知8y8．（2020春•渝水区校级月考）已知一个正数m 的平方根为21n +和43n -．（1）求m 的值；（2）2|3|()0a c n --=，a b c ++的立方根是多少？。
学而思初一数学春季班第3讲-目标中考满分班-学生版
实数6级绝对值实数7级实数初步实数8级实数的化简与应用春季班第三讲寒假班第一讲想歪了的计算漫画释义满分晋级阶梯3实数的化简与应用在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开 方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。
实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运 算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（ ）A 、无理数B 、有理数C 、0D 、实数⑵ 计算：①9494- ②3331642728-+-⨯-③()23252211251445---+- ④2315111393⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭典题精练思路导航知识互联网题型一：实数的计算⑤230275(1)1384π⎛⎫---+- ⎪⎝⎭【例2】 计算：① 35255+- ② 13(32)3++③ 2(22)(321)+-- ④ 2(636)6(61)6----化简常用式子：⑴()()20aa a =≥⑵()()()20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶ 33a a -=-；33a a =；()33a a -=-【例3】 ⑴ 当23x <<时，化简3 1.5x x ---= .⑵化简： 25-= ；3π-= . ⑶ 计算：233225-+-+-⑷ 若3x =-，则()211____x -+=.典题精练思路导航题型二：实数的化简⑸ 计算：()()22262163-+---【例4】 ⑴ 化简：当0a ≥时，2a = ，当0a ≤时，2a = ，当1a ≥时，2(1)a -= . ⑵ 当时，化简．⑶ 已知2()22x xx x=--，则x 应满足（ ） A 、2x < B 、0x ≤ C 、2x > D 、0x ≥且2x ≠ ⑷ 化简2()a b a b b a b a -⋅-----⑸若101a <+且2(1)1a a -=-，则整数a 的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个【例5】 ⑴ 实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简()212______a a -+-=⑵ 已知实数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，试化简下 列各式：①2a ab +；②a b a b++-⑶ 已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：()22a a c c b b -++---的结果为________【例6】 比较下列各值的大小：①31-+和51-+ ② 3和32 ③36-和62-④5m -和34m - ⑤1338-和18 ⑥102+和652-0≤x 21x x -- A直角三角形中，两直角边分别为a b 、，斜边为c ，则满足222a b c +=. 此结论叫做勾股定理.如右图：在直角ABC △中，两条直角边分别为4,3a b ==， 则22216925c a b =+=+=，所以255c ==.【例7】 如下左图：在平面直角坐标系中，点(1,1)A ，做AH x ⊥轴于H ，连接OA ，则1OH AH ==，则根据勾股定理：222OA OH AH =+=.以O 为圆心、OA 为半径画圆，与x y 、轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)--、、、按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点(12,0),(0,12)--+.典题精练思路导航题型三：实数应用CBAcb=3a=41x2O 12-1-1H 1x2O 12-1-1A题型一 实数的计算 巩固练习 【练习1】 计算：⑴()32168-⨯- ⑵3648281-+-- ⑶()233258-+-【练习2】 计算：⑴55(52)++ ⑵12(2)(32)2+-+题型二 实数的化简 巩固练习【练习3】 ⑴已知a 为实数，那么2a -等于（ ）A.a B ．a - C ．1- D ．0⑵若<0x ，则化简2x x x-的结果是__________.【练习4】 计算：⑴ 327422+- ⑵()2324273-+-+-π【练习5】 数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()b a a b -+-．题型三 实数应用 巩固练习【练习6】 作图：在数轴上做出2,2,21,12-+-这四个点.b 0 a复习巩固第十四种品格：信念一壶水有一年,一支英国探险队进入了撒哈拉沙漠的某个地区.在茫茫的沙海里负重跋涉,阳光下,漫天飞舞的风沙像炒红的铁砂一般,扑打着探险队员的面孔.口渴似炙,心急如焚——大家的水都没有了.这时,探险队长拿出一只水壶,说:"这里还有一壶水.但穿越沙漠前,谁也不能喝."一壶水,成了穿越沙漠的信念源泉,成了求生的寄托！感觉使队员们濒临绝望的脸上,又显露出坚定的神色.终于,探险队顽强地走出了沙漠,挣脱了死神之手.大家喜极而泣,用颤抖的手拧开了那壶支撑他们精神和信念的水——缓缓流出来的,却是满满的一壶沙子!今天我学到了。
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初一春季·第4讲·目标中考满分班·学生版
方程7级 二元一次方程组的实际应用 方程8级 分式方程
方程9级
一元二次方程认识初步
寒假班 第一讲
秋季班 第十讲
世纪画作
漫画释义
满分晋级阶梯
4
二元一次方程组 的实际应用
知识互联网
题型一：二元一次方程组的应用
思路导航
解实际问题的一般步骤：
⑴审题，分析题目中的已知和未知；
⑵找等量关系（画图法或列表法等）；
⑶设未知数列方程组；
⑷求解方程组；
⑸检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）；
⑹写出答案．
例题精讲
【引例】A、B两地相距36千米，两人步行，甲从A到B，乙从B到A.两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人
的速度.
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初一春季·第4讲·目标中考满分班·学生版
1．工程问题
【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可
以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是
（ ）
A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．14061615
x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩
⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？
2．图形问题
【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中
的数据（单位：m ），解答下列问题：
⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；
⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多2
21m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？
2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆
心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求
典题精练
卧室
2
2
3
6x
y 卫生间
厨房
客厅
y
x
E D C
B
G
x，y的值．
3．利润问题
【例3】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，
这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
4．容积问题
【例4】第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第
二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量．5．方案问题
【例5】已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B
型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
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初一春季·第4讲·目标中考满分班·学生版
⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；
⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
(2012年龙岩中考题)
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．
方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．
【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？
例题精讲
思路导航
题型二：不定方程求解
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初一春季·第4讲·目标中考满分班·学生版
【例6】 ⑴方程210x y +=的解
有 组；正整数解有 组，分别
为 .
⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．
【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210
320
mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．
（丰台十二中检测题）
【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用
这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？
真题赏析
典题精练
复习巩固
题型一二元一次方程组的应用巩固练习
【练习1】为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
【练习2】小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．
【练习3】如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷
长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷
上时，头顶距离地面的高度为224cm．设演员的身高为x cm，
高跷的长度为y cm，求,x y的值．
题型二不定方程求解巩固练习
初一春季·第4讲·目标中考满分班·学生版
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【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y a
x y a +=-⎧⎨-=⎩
的解都是正整数？
【练习5】 已知关于x 、y 的方程组212
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x my x y +=⎧⎨
-=⎩①
②
的解为正整数，则m 的整数值是多少？
第十四种品格：信念
同样的圣诞夜
1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。
家的温暖在一瞬间拥抱了三个又冷又饿的美国大兵。
女主人开始有条不紊的准备着圣诞晚餐，没有丝毫的慌乱与不安，没有丝毫的警惕与敌意。
因为她相信自己的直觉：他们只是战场上的敌人，而不是生活中的坏人。
正在这时候，门又一次被敲响了。
站在满心欢喜的女主人面前的，不是来送礼物和祝福的圣诞老人，而是四个同样疲惫不堪的德国士兵。
女主人同样用西方人特有的方式告诉她的同胞，这里有几个特殊的客人。
今夜，在这栋弥漫着圣诞气息的小木屋里，要么发生一场屠杀，要么一起享用一顿可口的晚餐。
在女主人的授意下，德国士兵们垂下枪口，鱼贯进入小木屋，并且顺从的把枪放在墙角。
于是，1944年的圣诞烛火见证了或许是二战史上最为奇特的一幕：一名德国士兵慢慢蹲下身去，开始为一名年轻的美国士兵检查腿上的伤口，尔后扭过去向自己的上司急速地诉说着什么。
人性中善良的温情的一面决定了他们的感觉是奇妙而美好的，没有人担心对方会把自己变成邀功请赏的俘虏。
第二天，睡梦中醒来的士兵们在同一张地图上指点着，寻找着回到己方阵地的最佳路线，然后握手告别，沿着相反的方向，消失在白茫茫的林海雪原中。
今天我学到了
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