必修5_解三角形知识点归纳总结

z 第一章 解三角形
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外
接圆的直径，即 R C
c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C
++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A c a = 3）化边为角：C R c
B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
4）化角为边：
;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c
a C A = 5）化角为边： R
c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则
①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

二.三角形面积
1.B ac A bc C ab S ABC sin 2
1sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(2
1++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆, 其中)(2
1c b a p ++=, 4. R abc S ABC 4=∆,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=∆,R 为外接圆半径
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
A bc c b a cos 2222-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
2.变形：bc a c b A 2cos 222-+= ac
b c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 2
22-+= 注意整体代入，如：2
1cos 222=⇒=-+B ac b c a 3．利用余弦定理判断三角形形状：
设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若，
，所以为锐角
②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是
钝角三角形
4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
1）已知三边，求三个角
2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
四．三角形中常见的结论 1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2）三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
，，； 两边之差小于第三边：，，；
3）在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>
4) 三角形内的诱导公式：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
)2
sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ 5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
.(注意等价变形） 6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)22cos 1cos ;22cos 1sin 22αααα+=-=
(4)tan 2α＝2tan α1－tan 2α
. （半角公式）
7) 三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点
五．应用举例。