二次根式练习题含答案
二次根式练习题30道加答案过程
二次根式练习题30道加答案过程1．当a______时，a?2有意义；当x______时，2．当x______时，1有意义． x?315．计算：??11有意义；当x______时，的值为1． 2?22x?xab?11 xx3．直接写出下列各式的结果： 49＝______；2＝______；2＝______；2＝______； 2＝______；[2]2＝______．4．下列各式中正确的是． ??42??2?4?? 27?35．下列各式中，一定是二次根式的是． ?32 2?x6．已知2x?3是二次根式，则x应满足的条件是．x＞0 x≤0 x≥－x＞－3．当x为何值时，下列式子有意义? ?x； ?x2；x2?1； 7?x.8．计算下列各式：29．若?2?成立，则x，y必须满足条件______．10． ?112______；＝______；4324?________．49?36＝______；0.81?0.25＝______；24a?a3＝______．11．下列计算正确的是． 2?3? 2??6?42??312．化简5?2，结果是．?2－10 10 13．如果??，那么．x≥0 x≥ 0≤x≤ x为任意实数 14．当x＝－3时，x2的值是．± － 93a6a2b?13a2?492?572x2y716．已知三角形一边长为，这条边上的高为cm，求该三角形的面积．17．把下列各式化成最简二次根式：＝______；＝______； 45＝______； 48x＝______；23＝______；412＝______；a5b3＝______； 112?3＝______．18．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式：如：32与2． 2与______； 32与______； a 与______； 8a与______；6a2与______．19．?x?xx?x成立的条件是． x＜1且x≠0 x＞0且x≠1 0＜x≤1 0＜x＜10．下列计算不正确．．．的是． 3116?72y3x?13x6xy 2??209x?2x21．下列根式中，不是．．最简二次根式的是 A．B．C．12D．22．1625= 279=243= 27=5=23=34．当a＝______时，最简二次根式与?可以合并．35．若a＝＋2，b＝－2，则a＋b＝______，ab＝______． 36．合并二次根式：?5x1111? ?0.125222?＝______；23．把下列二次根式,27,,445,2,,,化简后，与2的被开方数相同的有_________；与的被开a?4ax＝______． xx?y23xy37．下列各式中是最简二次根式的是． ab2?3方数相同的有______；与的被开方数相同的有______．4． ?313＝______；7?548＝______．25．化简后，与的被开方数相同的二次根式是．141626．下列说法正确的是．被开方数相同的二次根式可以合并与可以合并只有根指数为2的根式才能合并2与不能合并27．可以与合并的二次根式是．2aa127a3a28、9?7?5.29．??.30．?3??31．?.32．27?13?.33．12?3438．下列计算正确的是．2??5ab?5a??6?5x?4x?x39．等于．6?6??221 ??2240．?112? 1．.42．.3．.44．? 5．2.46．4?6?3?2.47．.．78.49．2ba?3a3bab?.参考答案1．a?2,x?3.．2．x＞0，x＝1．3．7；7；7；7；0.7；49．4．D．5．B．6．D．．x≤1；x＝0；x 是任意实数；x≥－7．．18；6；15；6．9．x≥0且y≥0．10．；24；16． 42；0.45；11．B．12．A．13．B． 14．Ba2.b； 15．2；6；24；2x；2ab； 49；12；6xy32y. 16．.217．2；；；4；632302?；； abab；18．；；；；19．C．20．C．21．C．453; ; ; 22; ; 53222;2;4．23．,2,,,422．24．3;?6.25．B．26．A． 7．C．28．2?329．30．1123??434．6．35．2,3．36．2；?．31．?32．?33．37．B．38．D．39．B. 042． 6?41．36?7.19?6143．7?44．2.45．84?6.446．?8．47．2?5.．?1.．?2.? 二次根式1．表示二次根式的条件是______．2．使x有意义的x的取值范围是______．．若?有意义，则m ＝______．4．已知??y?4，则xy的平方根为______．．当x＝5时，在实数范围内没有意义的是． 1?x| 7?x2?3x4x?206．若|x?5|?2?0，则x－y的值是．－－7．计算下列各式： ?2?1)2328．已知△ABC的三边长a、b、c均为整数，且a和b 满足a?2?b2?6b?9?0.试求△ABC的c边的长．9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：a2?|a?c|?2?|?b|的结果是：______． 10．已知矩形的长为2，宽为，则面积为______cm2．11．比较大小：3______2；5______4；?22______?6． 12．如果nm是二次根式，那么m，n应该满足条件． mn＞0m＞0，n≥0 m≥0，n＞0 mn≥0且m≠013．把4234根号外的因式移进根号内，结果等于． ? ?44414．计算：5?＝______；8a3b.122ab2＝______； ?2213?2;＝______；3?＝______．15．先化简，再求值：?a，其中a?5?12． 16．把下列各式中根号外的因式移到根号里面： a?1 a;?1y?1?17．已知a，b为实数，且??0，求a2008－b2008的值． 18．化简二次根式：17＝______；18＝______；?413＝______． 19．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： 1＝______； 132______；2x2＝______；y＝______．0．已知≈1.732，则13≈______；27≈______．1．计算b1a?ab?ab等于．1ab2ab 11a2bab bab bab22．下列各式中，最简二次根式是．1x?yab x2? 5a2b23．?? ?a?ba?b24．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC?8，求△ABC的面积．25．观察规律：12?1?2?1,1?2?3?,12??2?3求值．122?7＝______；1?＝______；1n?1?n＝______．26．238ab3与6ba2b无法合并，这种说法是______的．27．一个等腰三角形的两边长分别是2和3，则这个等腰三角形的周长为．2?4362?262?42?4或62?28．?.29．0??12?|5?|?230．a?a133a?12aa.31．2aba1a?bb?aa3b?2bab3.32．化简求值：3x1?4y?x?y，其中x＝4，y＝1x9．33．已知四边形ABCD四条边的长分别为，，.5和3，求它的周长．4．探究下面问题判断下列各式是否成立．你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．①2?23?22；②3?38?338；③4?4?4；④5?524?5524．1515你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围．请你用所学的数学知识说明你在中所写式子的正确性．35．设a??b??，则a2007b2008的值是______．36．的运算结果是． 0abab2abab37．下列计算正确的是． 2?a?ba??aba2?b2?a?ba?1a?a8．1?2.1?2?．100101.40．2?2.41．已知x??，y??，求值：x2－xy＋y2．42．已知x＋y＝5，xy＝3，求x?y的值．yx43．若b＜0，化简?ab3的结果是______．44．若菱形的两条对角线长分别为和则此菱形的面积为______．45．若x??2，则代数式x2－4x＋3的值是______．6．当a＜2时，式子a?2,2?a,a?2,2中，有意义的有． 1个 2个 3个7．若a，b两数满足b＜0＜a且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是．a?bb?a a?b ab48abab5??ab?9.?8x4．50．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A ＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，求梯形ABCD的周长．二次根式基础练习一、选择题1．若3?m为二次根式，则m的取值为A．m≤3B．m＜3C．m≥D．m＞32．下列式子中二次根式的个数有⑴1；⑵3?3；⑶?x2?1；⑷8；⑸12；⑹3?x；⑺x2?2x?3.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．当a?2a?2有意义时，a的取值范围是A．a≥B．a＞C．a≠ D．a≠－24．下列计算正确的是①??4??9?6；②?4?9?6；③52?42?5?4??4?1；④52?42?52?42?1；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．化简二次根式2?3得A．?B．5C．?D．306．对于二次根式x2?9，以下说法不正确的是A．它是一个正数 B．是一个无理数C．是最简二次根式D．它的最小值是37．把3aab分母有理化后得A．4bB．C．1 bD．b28．ax?by的有理化因式是A．x?yB．x?yC．ax?by D．ax?by9．下列二次根式中，最简二次根式是A．3a B．13C．D．10．计算：a1b?ab?ab等于A．1ab2abB．1ababC．1bab D．bab二、填空题11．当x___________时，?3x是二次根式．12．当x___________时，3?4x在实数范围内有意义． 13．比较大小：?32______?23．14．2ba?a18b?____________；252?242?__________．15．计算：3a?2b?___________．16b216．计算：ca2=_________________．17．当a=3时，则15?a2?___________．18．若x?2x?23?x?3?x成立，则x满足_____________________．三、解答题19．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：）计算：⑴?3?；⑵2?13?6；⑶131?23?；⑷x?10?1y?z．221．计算：⑴?220；⑵0.01?81； 0.25?144⑶12123ab1?2?1；⑷?．352bab22．把下列各式化成最简二次根式： abc27132?122 ⑴；⑵?252723．已知：x?24．参考答案：一、选择题 c3．a4b120?4，求x2?2的值．x1．A；2．C；3．B；4．A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．D；10．A．二、填空题11．≤1314b；12．≤；13．＜；14．，7；15．302ab；16．；17．32；a34318．2≤x＜3．三、解答题19．⑴；⑵；⑶；⑷；20．⑴?243；⑵2；⑶?43；⑷10xyz； 33c2321．⑴?；⑵；⑶1；⑷；22．⑴33；⑵ ?2bc；23．18．4a420二次根式检测题一、选择题有意义，那么x的取值范围是 A.x?B.x?3C.x? D.x≥3 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是新- 课-标- 第-一 -网 1.A.2xyB.ab23.1?2a，那么A.a＜≥11 B.错误！24.下列二次根式,5.a的值为6.m?n的值是C.1D..D.8. ）A.x?1B.x??1C.x≥1D.x≤?19.n的最小值是A. B.C. D.210.k、m、n为三整数，若错误！未找到引用源。
二次根式计算题练习及答案
一．解答题（共11小题）1．计算：（1）；（2）．2．计算：（1）×﹣；（2）﹣（2﹣）2+10．3．化简：（1）﹣×+2；（2）（﹣）（+）+6﹣（﹣2）2．4．计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+5．计算（1）（+3）（﹣5）；（2）×﹣（）（）．6．计算：（1）；（2）．7．计算：（1）﹣2+（+2）÷；（2）（3﹣2）2﹣（+）（﹣）．8．计算（Ⅰ）；（Ⅱ）．9．计算：（1）；（2）．10．计算：（1）÷+（+1）（﹣1）；（2）（+2）2﹣5；（3）9×÷3；（4）（+）﹣（﹣）．11．已知，，求的值．二．填空题（共3小题）12．如果a+b+，那么a+2b﹣3c＝．13．若实数x、y、z满足，则x+y+z＝．14．若，则＝．参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．计算：（1）；（2）．【分析】（1）将平方差公式展开，再化简二次根式，进行计算即可得；（2）先展开完全平方公式，再化简二次根式，进行计算即可得．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1+3＝2；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查了平方差公式，二次根式，完全平方公式，解题的关键是掌握这些知识点并能够正确计算．2．计算：（1）×﹣；（2）﹣（2﹣）2+10．【分析】（1）根据二次根式的乘除法可以将题目中的式子化简，然后合并同类二次根式即可；（2）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）×﹣＝﹣＝﹣＝3﹣＝；（2）﹣（2﹣）2+10＝2﹣（4﹣4+5）+＝2﹣9+4+2＝8﹣9．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．化简：（1）﹣×+2；（2）（﹣）（+）+6﹣（﹣2）2．【分析】（1）先算乘法、再化简，然后合并同类项即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可．【解答】解：（1）﹣×+2＝2﹣+＝2﹣6+＝﹣4+；（2）（﹣）（+）+6﹣（﹣2）2＝3﹣2+2﹣（3﹣4+4）＝3﹣2+2﹣3+4﹣4＝﹣6+6．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．4．计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【解答】解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3）＝4+2﹣11﹣4＝﹣7﹣2；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．计算（1）（+3）（﹣5）；（2）×﹣（）（）．【分析】（1）根据乘法分配律计算，然后合并同类项和同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法和平方差公式计算即可．【解答】解：（1）（+3）（﹣5）＝2﹣5+3﹣15＝﹣13﹣2；（2）×﹣（）（）＝﹣（5﹣3）＝3﹣2＝1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．6．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；（2）根据乘法分配律和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式【解答】解：（1）＝+﹣＝＝0；（2）＝6﹣4﹣（3﹣4+8）＝6﹣4﹣3+4﹣8＝﹣5．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．计算：（1）﹣2+（+2）÷；（2）（3﹣2）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；（2）先根据乘法公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．【解答】解：（1）﹣2+（+2）÷＝2﹣+3+2＝3+3；（2）（3﹣2）2﹣（+）（﹣）＝9﹣12+20﹣（5﹣2）＝9﹣12+20﹣3＝26﹣12．【点评】本题考查了乘法公式和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（I）先根据二次根式的性质进行计算，再算乘法，最后合并同类二次根式即可；（II）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可．【解答】解：（I）原式＝×3﹣4×2+3×＝2﹣8+＝﹣5；（II）原式＝6﹣12+12﹣（20﹣2）＝6﹣12+12﹣20+2＝﹣12．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．9．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先根据二根式的性质进行计算，同时去掉括号，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘除法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝4+﹣+4＝4+2﹣3+4＝+6；（2）＝2×÷＝（2×）＝8．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．10．计算：（1）÷+（+1）（﹣1）；（2）（+2）2﹣5；（3）9×÷3；（4）（+）﹣（﹣）．【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和平方差公式进行计算，再算加减即可；（2）先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（4）先去括号，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．【解答】解：（1）÷+（+1）（﹣1）＝+（）2﹣12＝+3﹣1＝3；（2）（+2）2﹣5＝5+4+4﹣＝9+3；（3）9×÷3＝（9××）＝2×＝；（4）（+）﹣（﹣）＝4+2﹣2+＝2+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．11．已知，，求的值．【分析】先分母有理化求出a、b的值，再求出a+b和ab的值，求出＝＝，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．【解答】解：∵＝＝+2，＝＝﹣2，∴ab＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，a+b＝+2+﹣2＝2，∴＝＝＝＝（2）2﹣2＝20﹣2＝18．【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式等知识点，能正确求出，是解答本题的关键．二．填空题（共3小题）12．如果a+b+，那么a+2b﹣3c＝0．【分析】先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0，根据非负数的性质求出a、b、c的值后，再代值计算．【解答】解：原等式可变形为：a﹣2+b+1+|﹣1|＝4+2﹣5（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5＝0（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|＝0（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2，＝1，＝1，∴a﹣2＝4，b+1＝1，c﹣1＝1，解得：a＝6，b＝0，c＝2；∴a+2b﹣3c＝6+0﹣3×2＝0．【点评】此题较复杂，能够发现所给等式的特点，并能正确地进行配方是解答此题的关键．13．若实数x、y、z满足，则x+y+z＝0．【分析】将化简，得，又因为各项均为非负数，且结果为0，故各项均等于0．即可得出x、y、z的值，代入x+y+z 中即可．【解答】解：根据题意，，整理后：，则，解得x＝y＝，z＝，∴x+y+z＝（﹣）+（）+＝0．【点评】本题考查了二次根式、绝对值、完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，只有这几个非负数都为0，可以得出未知数的值．14．若，则＝6．【分析】对变形，得，因为各项均为非负数，故可求得x、y、z的值，代入中即可．【解答】解：根据题意，，即，得x＝2，y＝6，z＝3；所以．【点评】本题考查的是非负数的性质及二次根式的化简和求值．。
二次根式精选习题及答案
二次根式精选习题及答案二次根式是初中数学中较为重要且难度较大的一个知识点，它关系到许多数学题的解题方法。
今天，我们来精选一些二次根式的习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、简化二次根式1、$\sqrt{20}$答案：$\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$2、$\sqrt{80}$答案：$\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=4\sqrt{5}$3、$\sqrt{48}$答案：$\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$4、$\sqrt{45}$答案：$\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$二、二次根式的运算1、$\sqrt{3}+\sqrt{12}$答案：$\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$2、$\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{45}$答案：$\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{45}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-\sqrt{5}$3、$\sqrt{2}\times\sqrt{18}$答案：$\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{2\times 18}=6\sqrt{2}$4、$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$答案：$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$三、解二次方程1、$x^2+4x-5=0$答案：将$x^2+4x-5=0$移项得$x^2+4x=5$，再加上4后可以写成$(x+2)^2=9$，从而得到$x=-5$或$x=1$。
2、$2x^2-8x+6=0$答案：将$2x^2-8x+6=0$两边同除以2，得到$x^2-4x+3=0$，然后写成$(x-1)(x-3)=0$，从而得到$x=1$或$x=3$。
二次根式练习题及答案
二次根式练习题1．如果二次根式有意义，那么x应该满足的条件是．2．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝．3．已知，则x2﹣4x+1的值为．4．关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围．5．已知，．则（1）x2+y2＝．（2）（x﹣y）2﹣xy＝．6．若x＝1+，则x3﹣3x2+2x﹣＝．7．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为．8．已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为．9．计算：（1）82014×（﹣0.125）2015；（2）﹣﹣（π+2020）0．10．计算题：（1）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2；（2）（2﹣3）．11．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）化简参考答案与试题解析1．如果二次根式有意义，那么x应该满足的条件是x≤，且x．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x+1≠0，且2﹣3x≥0，解得x≤，且x．故答案为：x≤，且x．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则a＝2．【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求a即可．【解答】解：∵3a﹣1＝11﹣3a，∴6a＝12，∴a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．3．已知，则x2﹣4x+1的值为2．【分析】先根据分母有理化求出x值，然后利用完全平方公式对代数式变形，再代入数据求解即可．【解答】解：＝＝＝，x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3，把代入上式中，原式＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，分母有理化等知识点，解题的关键在于能够利用完全平方公式对代数式进行变形求解．4．关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围﹣1＜a≤0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，根据满足条件的所有整数x的和是9，得到x＝4，3，2，从而1＜a+2≤2，从而得出答案．【解答】解：∵4﹣x≥0，x﹣a﹣2≥0，∴a+2≤x≤4，∵满足条件的所有整数x的和是9，∴x＝4，3，2，∴1＜a+2≤2，∴﹣1＜a≤0．故答案为：﹣1＜a≤0．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求出x 的取值范围是解题的关键．5．已知，．则（1）x2+y2＝14．（2）（x﹣y）2﹣xy＝11．【分析】（1）先分母有理化求出x，再去求x﹣y和xy的值，根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可；（2）把x﹣y＝﹣2，xy＝1代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝2+，∴x﹣y＝（2﹣）﹣（2+）＝﹣2，xy＝（2﹣）×（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝12+2＝14，故答案为：14；（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2，xy＝1，所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2）2﹣1＝12﹣1＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化和完全平方公式等知识点，能求出x﹣y和xy的值是解此题的关键，注意：（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2．6．若x＝1+，则x3﹣3x2+2x﹣＝5．【分析】先将原式进行分组，然后进行因式分解，代入x的值，再根据二次根式混合运算顺序（先算乘方，然后算乘法，最后算加减）及计算法则进行计算．【解答】解：原式＝（x3﹣3x2）+2x﹣＝x2（x﹣3）+2x﹣，当x＝1+时，原式＝（1+）2（1+﹣3）+2（1+）﹣＝（1+2+7）（﹣2）+2+2﹣＝（8+2）（﹣2）+2+2﹣＝8﹣16+14﹣4+2+2﹣＝5．故答案为：5．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．7．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为52．【分析】根据＝|a|化简变形得：|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，a到2和6的距离之和＝4，b到﹣4和2的距离之和是6，得到2≤a≤6，﹣4≤b≤2，根据|a|最大为6，|b|最大为4即可得出答案．【解答】解：原式变形为++|b+4|+|b﹣2|＝10，∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣4和2的距离之和是6，∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2，∴|a|最大为6，|b|最大为4，∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52．故答案为：52．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得到2≤a≤6，﹣4≤b ≤2是解题的关键．8．已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为2．【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy ＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．【解答】解：∵x＝＝＝（）2＝2n+1﹣2，y＝，＝（）2＝2n+1+2，∴x+y＝4n+2，xy＝1，将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，化简得x2+y2＝98，（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解．9．计算：（1）82014×（﹣0.125）2015；（2）﹣﹣（π+2020）0．【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式性质，分母有理化，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝﹣0.125；（2）原式＝2﹣﹣1＝﹣1．【点评】此题考查了分母有理化，幂的乘方与积的乘方，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．计算题：（1）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2；（2）（2﹣3）．【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式进行求解较简便；（2）先化简，再算括号里的运算最后算除法即可．【解答】解：（1）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2＝9﹣5﹣（3﹣2+1）＝9﹣5﹣3+2﹣1＝2；（2）（2﹣3）＝（8）＝﹣＝．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．11．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+4＝（1+ 2）2；（3）化简【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+b＝，则＝m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+b＝则＝m2+2mn+5n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．。
二次根式 练习题及答案
二次根式练习题一．填空题（共15小题）1．使代数式有意义的x的取值范围是．2．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是．3．计算﹣的结果为．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则式子化简的结果为．5．已知y＝++2022，则x2+y﹣3的值为．6．若实数x，y满足+（y﹣8）2＝0，则＝．7．如图，如果正方形ABCD的面积为12，正方形BEFG的面积为6，则△ADF的面积等于．8．化简：＝．9．当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2022的值是．10．已知x＝+3，则代数式x3﹣x2﹣26x+5的值为．11．若m＝，则m5﹣2m4﹣2015m3＝．12．若a＝+3，b＝3﹣，则的值为．13．若a＝1+，b＝1﹣，则代数式a2﹣ab+b2的值为．14．若m满足关系+＝+，则m的值为．15．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为．16．计算：（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0；（2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；（3）（﹣）×；（4）2（﹣）﹣（2﹣4）．17．计算下列各题（1）；（2）；（3）；（4）．18．计算：．参考答案与试题解析1．使代数式有意义的x的取值范围是x≥﹣2且x≠﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵x+2≥0且x+1≠0，∴x≥﹣2且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2且x≠﹣1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．2．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是 3.5≤x≤5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，解得：3.5≤x≤5．故答案为：3.5≤x≤5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．3．计算﹣的结果为﹣．【分析】先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：﹣＝﹣2＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则式子化简的结果为2b﹣a．【分析】根据题意可得：|a|＞|b|，a＜0＜b，从而可得a+b＜0，a﹣b＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答．【解答】解：∵|a|＞|b|，a＜0＜b，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴＝﹣a+（a+b）+（b﹣a）＝﹣a+a+b+b﹣a＝2b﹣a，故答案为：2b﹣a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．已知y＝++2022，则x2+y﹣3的值为2023．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x2＝4，进而求出y的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴x2＝4，∴y＝2022，∴原式＝4+2022﹣3＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．若实数x，y满足+（y﹣8）2＝0，则＝6．【分析】先根据算术平方根和偶次方的非负性可得，x﹣32＝0，y﹣8＝0，从而求出x，y 的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵+（y﹣8）2＝0，∴x﹣32＝0，y﹣8＝0，∴x＝32，y＝8，∴＝+＝4+2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．如图，如果正方形ABCD的面积为12，正方形BEFG的面积为6，则△ADF的面积等于6﹣3．【分析】先求出正方形的边长，根据S△ADF＝AD•AG计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为12，正方形BEFG的面积为6，∴AB＝AD＝2，BG＝，∴S△ADF＝AD•AG＝×2×（2﹣）＝6﹣3．故答案为：6﹣3．【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活掌握三角形的面积公式，属于中考常考题型．8．化简：＝2x﹣3．【分析】先根据题意得出x的取值范围，再进行进行乘方和开方的运算．【解答】解：∵x﹣2＞0，∴x＞2，1﹣x＜0，原式化简为：x﹣2+x﹣1＝2x﹣3，故答案为：2x﹣3．【点评】本题考查了二次根式的基本运算，解题关键在于通过x的取值正确去括号进行计算．9．当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2022的值是2034．【分析】将已知变形，得到x2+2x＝12，即可得到答案．【解答】解：∵x＝﹣1，∴x+1＝，∴（x+1）2＝13，即x2+2x+1＝13，∴x2+2x＝12，∴x2+2x+2022＝2034；故答案为：2034．【点评】本题考查与二次根式相关的代数式求值，解题的关键是将已知变形，得到x2+2x ＝12．10．已知x＝+3，则代数式x3﹣x2﹣26x+5的值为﹣15．【分析】把所求的式子变形为（x﹣1）（x2﹣26）﹣21，然后再把x的值代入进行计算即可解答．【解答】解：∵x＝+3，∴x3﹣x2﹣26x+5＝x3﹣x2﹣26x+26﹣26+5＝x2（x﹣1）﹣26（x﹣1）﹣21＝（x﹣1）（x2﹣26）﹣21＝（+3﹣1）[（+3）2﹣26]﹣21＝（+2）（6﹣12）﹣21＝6（+2）（﹣2）﹣21＝6×1﹣21＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，把所求的式子变形为（x﹣1）（x2﹣26）﹣21是解题的关键．11．若m＝，则m5﹣2m4﹣2015m3＝0．【分析】将m化简可得m＝+1，代入到原式＝m3[（m﹣1）2﹣2016]即可得．【解答】解：∵m＝＝＝＝+1，∴原式＝m3（m2﹣2m﹣2015）＝m3[（m﹣1）2﹣2016]＝m3[（+1﹣1）2﹣2016]＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二次根式的化简和整式的运算，熟练掌握二次根式的性质和整式运算的法则是解题的关键．12．若a＝+3，b＝3﹣，则的值为5．【分析】先求出a+b＝6，ab＝2，再将所求式子变形后整体代入．【解答】解：∵a＝+3，b＝3﹣，∴a+b＝6，ab＝2，∴＝＝＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查二次根式变形求值，解题的关键是观察已知和所求式子的特点，求出a+b＝6，ab＝2，再整体代入计算．13．若a＝1+，b＝1﹣，则代数式a2﹣ab+b2的值为1．【分析】根据完全平方公式把所求的式子变形为（a+b）2﹣3ab，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵a＝1+，b＝1﹣，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（1++1﹣）2﹣3×（1+）×（1﹣）＝22﹣3×（﹣1）＝4+3＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14．若m满足关系+＝+，则m的值为21．【分析】由二次根式的定义可得x+y＝19，则有+＝0，从而可求解．【解答】解：由题意得：x﹣19+y≥0，19﹣x﹣y≥0，则x+y≥19，x+y≤19，∴x+y＝19，∴+＝0，则3x+5y﹣2﹣m＝0①，2x+3y﹣m＝0②，①﹣②得：x+2y﹣2＝0，解得：y＝﹣17，则x﹣17＝19，解得：x＝36，∴2×36+3×（﹣17）﹣m＝0，解得：m＝21．故答案为：21．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是由二次根式的定义得出x+y＝19．15．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为2或2．【分析】通过完全平方公式去掉括号求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根据a，m，n均为整数，分两种情况求出m，n，进一步求出a，从而求解．【解答】解：∵a+6，∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，m，n均为整数），∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，故的值为2或2．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用是解题关键．二．解答题（共3小题）16．计算：（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0；（2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；（3）（﹣）×；（4）2（﹣）﹣（2﹣4）．【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；（2）先算括号内的乘方和乘方，再合并同类项，最后算除法即可；（3）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（4）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0＝4﹣（﹣1）+1＝4+1+1＝6；（2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2＝（a8+9a8）÷a2＝10a8÷a2＝10a6；（3）（﹣）×＝（3﹣）×2＝2×2＝4×6＝24；（4）2（﹣）﹣（2﹣4）＝2﹣3﹣+2＝4﹣4．【点评】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，能正确根据整式的运算法则和二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．17．计算下列各题（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）类比多项式乘多项式的计算方法计算；（2）类比多项式除以单项式的方法计算；（3）利用平方差公式计算；（4）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）（）×＝4；（2）（4）÷2＝2；（3）（）（）＝5﹣3＝2；（4）＝18+6+5＝23．【点评】此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．18．计算：．【分析】先根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．【解答】解：＝3﹣2+1﹣2﹣＝3﹣2+1﹣2﹣4＝﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．。
二次根式练习题及答案
二次根式练习题及答案一、选择题1. 计算下列二次根式的结果：A. √16 = 4B. √25 = 5C. √36 = 6D. √49 = 7正确答案：A2. 以下哪个二次根式是同类二次根式？A. √2 和3√2B. √3 和√12C. √5 和2√5D. √7 和√49正确答案：B3. 计算下列二次根式的加法：√5 + √3 =A. √8B. √15C. √18D. 无法计算正确答案：D二、填空题4. 将下列二次根式化简：√121 = ____答案：115. 合并同类二次根式：3√2 + √2 = ____答案：4√26. 计算二次根式的除法：(√6 / √3) = ____答案：√2三、计算题7. 计算下列表达式的值：(√8 + √18) / √2解：首先化简根式，√8 = 2√2，√18 = 3√2，代入原式得：(2√2 + 3√2) / √2 = 5√2/ √2 = 58. 解二次根式方程：x√2 = √3解：将方程两边同时除以√2，得：x = √(3/2) = √6 / 2四、应用题9. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解：根据勾股定理，斜边长度为：c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 510. 一个正方形的面积为16平方厘米，求其边长。
解：设边长为a，则a² = 16，所以a = √16 = 4厘米。
五、证明题11. 证明√2是一个无理数。
证明：假设√2是有理数，即存在两个互质整数m和n，使得√2= m/n。
根据有理数的性质，可以设m和n的最大公约数为1。
将等式两边平方，得到2n² = m²，从而m²是偶数，所以m也是偶数，设m = 2k。
代入原等式，得到2n² = (2k)²，即n² = 2k²，说明n也是偶数，这与m和n互质矛盾。
(完整版)二次根式专题练习(含答案).doc
初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。
二次根式练习(含答案)10套
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ．
20．（12分）计算：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ．
21．（12分）计算：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ．
22．（8分）把下列各式化成最简二次根式：
⑴ ；⑵ ．
23．（6分）已知： ，求 的值．
参考答案：
一、选择题
1．A；2．C；3．B；4．A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．D；10．A．
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
四、综合题（每小题6分，共12分）
24．若代数式 有意义，则x的取值范围是什么？
25．若x，y是实数，且 ，求 的值。
九年级数学第二十一章二次根式测试题（B）
时间：45分钟分数：100分
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2005·湖北襄樊）下列说法正确的是（）
13．比较大小： ______ ．
14． ____________； __________．
15．计算： ___________．
16．计算： =_________________．
17．当a= 时，则 ___________．
18．若 成立，则x满足_____________________．
三、解答题（46分）
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．若 不是二次根式，则x的取值范围是。
12．（2005·江西）已知a<2， 。
13．当x=时，二次根式 取最小值，其最小值为。
14．计算： ； 。
15．若一个正方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积
为 。
16．若 ，则 。
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一、选择题
1．已知 ＝5﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．为任意实数B．0≤x≤5C．x≥5D．x≤5
2．若 ，则 ( ).
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
5．下列算式：（1） ；（2） ；（3） = ；（4） ，其中正确的是（）
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 为正整数时，若 ，请用含有 的式子分别表示 ，得： ， ；
（2）填空： = - ；
（3）若 ，且 为正整数，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 或46.
【解析】
试题分析：
（1）把等式 右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得： ，结合 都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到： ；
=-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
25．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1) (2) （n为正整数）
【详解】
=
=
= .
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：
第二个：
第三个：
第四个： …
（1）试写出第 个式子（用含 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
同理，我们可以比较出以下代数式的大小： ________ ； ________ ； ________
14．设a﹣b=2+ ，b﹣c=2﹣ ，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．
15．如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+ 的结果是_____．
16．若 + = + ， = - ，则x+y=_______．
A．（1）和（3）B．（2）和（4）C．（3）和（4）D．（1）和（4）
6．若 有意义，则字母x的取值范围是( )
A．x≥1B．x≠2C．x≥1且x＝2D．.x≥-1且x≠2
7．若化简 - 的结果为5-2x，则x的取值范围是（）
A．为任意实数B．1≤x≤4C．x≥1D．x≤4
8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
验证： = = = =
(2) =1+ − =1+ (n为正整数).
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即 ，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
26．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】化简得6x+6，代入得6
A．2 B． C．5 D．
9．实数a，b，c，满足|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，那么化简代数式 -|a+b|+|a-c|- 的结果为（ ）
A．2c-bB．2c-2aC．-bD．b
10．若式子 有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1
∴当 时， ；当 ， ，
即 的值为：46或14.
24．计算：（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）-10
【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
（2）
=5+9-24
=14-24
（2）
∵ ， ，
∴ .
∴ 在15和16之间．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如： .善于动脑的小明继续探究：
当 为正整数时，若 ，则有 ，所以 ， .
【答案】（1） ，该式子一定是二次根式，理由见解析；（2） 在15和16之间．理由见解析．
【分析】
（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将 代入，得出第16个式子为 ，再判断即可．
【详解】
解：（1） ，
该式子一定是二次根式，
因为 为正整数， ，所以该式子一定是二次根式
17．使式子 有意义的 的取值范围是______．
18．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ______.
19． ，则 的值为__________．
20．代数式 有意义，则x的取值范围是_____．
三、解答题
21．计算：的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
（3）将 右边展开，整理可得： ， 结合 为正整数，即可先求得 的值，再求 的值即可.
试题解析：
（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）中结论可得： ，
∵ 都为正整数，
∴ 或 ，
∵当m=1，n=2时， ，而当m=2，n=1时， ，
∴m=2，n=1，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ， ，
又∵ 为正整数，
∴ ， 或者 ，
11．若 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．能力拓展：
； ； ； ________．
… ：________．
请观察 ， ， 的规律，按照规律完成填空．
比较大小 和
∵ ________
∴ ________
∴ ________
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
试题解析：(1) =1+ − = ，
【分析】
根据整式的运算公式进行化简即可求解.
【详解】
=
=6x+6
把 代入原式=6（ ）+6=6
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.