高中数学必修5 第3章 不等式 教师版 不等式第14课时
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
【教材分析与导入设计】2014年高中数学必修5(人教A版)第三章 【精品课件】3.1 不等式与不等关系
1、今天的天气预报说：明天白天的最高 温度为13℃；
白天的气温t与13℃之间存在不等关系
t≤13℃ 2、a是一个非负实数。 a≥0
a 的取值与0之间存在不等关系
3、右图是限速40km/h的路标，指示 司机在前方路段行驶时，应使汽车的 速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系
引例：
1、三角形三边之间的关系。
2、同班同学身高之间的关系。 3、公路上各种车辆的速度之间的关系。
同学们，你能不能再举出一些 存在着不等关系的例子呢?
请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等 关系？
1、今天的天气预报说：明天白天的最高 温度为13℃；
白天的气温t与13℃之间存在不等关系
2、a是一个非负实数。
分析：设甲、乙两种产品产量分别为x，y件，则
感悟体验5、某厂使用两种零件A、B，装配两种产
甲x 需要A 需要B 限制 4x 2x 2500
乙y 6y 8y 1200
限制 14000 12000
由表格可知
0 x 2500 0 y 1200 4 x 6 y 14000 2 x 8 y 12000
说明： 1、分析好各不等关系的内在联系，是用 不等式（组）表示不等关系的前提。 2、在不等关系不容易提炼的情况下，可 以借助表格使问题明朗化。
感悟体验4 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系 的不等式呢？
a 的取值与0之间存在不等关系
3、右图是限速40km/h的路标，指示 司机在前方路段行驶时，应使汽车的 速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.1基本不等式课件北师大版必修5
1 ������
1+
1 ������������
1 ������
=1+
2 1 2
������ +������ ������������
+
≥1+
������+������ 2 2
= 9 = 右边,
当且仅当 x=y= 时 ,等号成立 .
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 已知 a,b∈(0,+∞),a+b=1. 求证: ������ +
1 2 ������
+ ������ +
1 2 ������
≥
25 2
.
������ +������ 2
分析:本题考查了基本不等式及常见结论 ������2 + ������ 2 ������ + ������ 2 即 ≥ . 2 2 证明 :∵a>0,b>0,a+b=1, 1 ∴1=a+b≥2 ������������ , ������������ ≤ , ∴
������ ������ 4 ������ -2
������
������
������ ������
· =2
������ 4 ������ -2 4
������
B.若 x>0,y>0,则 lg x+lg y≥2 lg������· lg������ C.若 x<2,则 x + = ������ − 2 +
且仅当 a= 时,等号成立 ,故 ③正确 .由 ③可知 ,④不成立 .
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
说课标说教说课稿人教版高中数学必修5第三章不等式
说课标，说教材说课稿人教版高中数学必修5第三章《不等式》各位评委、各位老师，大家好：今天我“说课标、说教材”的内容是人教版高中数学必修5第三章《不等式》。
下面我将从说课标、说教材、说建议三大方面面进行研说。
其中说课标包括数学课程的总体目标、必修五《不等式》课程目标、必修五《不等式》内容标准。
说教材包括教材的编写特点、教材编写体例、目的、教材的内容结构及知识与技能的立体式整合一、说课标（一）、数学课程的总体目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
具体目标如下：1、获得数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动2、培养学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识3、提高兴趣、树立信心、树立辩证唯物主义世界观这三个目标分别体现了数学课程在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观上对学生提出的要求。
（二）、必修五《不等式》课程目标：1、知识与技能：了解不等式（组）的实际背景。
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式二元一次不等式组模型的过程。
探索并了解基本不等式的证明过程。
会用基本不等式解决简单的最值问题。
2、过程与方法：通过本章学习培养和发展学生勇于自主探索，合作学习，勇于创新精神，体会事物之间普遍联系的思想。
3、情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，拓展学生视野，培养良好的学习习惯。
（三）、必修五《不等式》内容标准：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。
二、说教材：（一）、教材的编写特点1、关注数学情境的建立，注重兴趣培养。
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
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听课随笔
第14课时 基本不等式的应用(2)
学习要求 1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。
3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值． 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3－3x －x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例１．过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程
【解】
见书（但设直线方程可有两种方法）．
例２．如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版
面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小?
见书．
思维点拔： 先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。
追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客
运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万
元与营运年数n(n )N +∈的关系为
y=－n 2+12n －25,则每辆客车营运( Ｃ )
年,使其营运年平均利润最大.
A 3
B 4
C 5
D 6
2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴
的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两
点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的
方程.
解：设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b
a A +--．
所以||||PB PA ＝a k k b
k ⋅+-+221||1 ＝ab k k ab 2)||1
|(|≥+
（等号当且仅当1-=k 时成立）
所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的
方程为：0=--+b a y x ．
3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要
向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距
离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距
离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验
公式: S=2403
v +v 85
, 为保证安全行驶, 要
求在这条公路上行驶着的两车之间保持的
“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现
假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身
长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并
且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间听课随笔
的时间间隔T 与速度v 函数关系式;
(2)问v 为多少时, 经过观测点A 的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?
解：（１）v v v T 5
258
54032
+++=
＝85
30
403++v v
（２）车流量＝8
531
85
30
4031
1
+≤++=v v T
＝298
（20=v 时取等号）
答：略．。