分部积分法 integration by parts
integration by part公式
integration by part公式
积分分部公式（IntegrationbyPartsFormula）是解决一些积分问题的基本方法之一，通常用于将包含乘积的函数积分转换为仅包含一个因子的函数积分。
该公式可以表示为：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx
其中，u(x)和v(x)是可积函数。
这个公式可以通过对左边的函数应用乘积法则并对右边的函数进行求导得到。
在应用积分分部公式时，通常需要选择合适的u(x)和v'(x)，以便通过多次应用公式来简化积分。
积分分部公式在求解许多积分问题时非常有用，尤其是当被积函数包含较为复杂的乘积形式时。
通过选择合适的u(x)和v'(x)，可以将被积函数转换为更易于积分的形式，从而简化求解过程。
- 1 -。
定积分的分部积分公式
1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
§4-3__分部积分法
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
10-不定积分的分部积分法课件
()d uv x '⎰分部积分公式（Integration by Parts）分部积分公式（Integration by Parts）注例解21sin d 2x x x ⎰例解解uv '分部积分公式（Integration by Parts ）注注cos d (sin )d x x x x x x '=⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d duv x uv u v x''=-⎰⎰分部积分公式（Integration by Parts）sin sin d x x x x =-⎰cos d (sin )d x x x x x '=⎰cos x x C ++．sin x =x ⎰例解d(sin )sin sin d x x x x x =-⎰2d x x x ⋅e ⎰2d(e )xx ⎰例解d d u v uv v u=-⎰⎰例解d d u v uv v u=-⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d du v uv v u=-⎰⎰例d x x arccos 解21x-21x -21x -d d u v uv v u=-⎰⎰第一类换元法2211x x⋅+例解d d u v uv v u =-⎰⎰d xx x e sin ⎰e sin e cos e sin d x x xx x x x --⎰=例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d d u v uv v u=-⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d du v uv v u=-⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x=-+⎰⎰3sec d x x ⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d d u v uv v u =-⎰⎰5sec d x x ⎰sec tan 3sec d 3sec d x x x x x x =-+⎰⎰35323sec sec tan d x x x ⋅例xe x x xx 解分部积分换元法小结反三角，对数，幂函数，三角，指数。
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
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基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。
原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
D5-3分部积分法
第三节第三节 分部积分法分部积分法第五章d d u v uv v u=−∫∫问题d ?xxe x =∫解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数u =和具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′d d ,uv x uv u v x ′′=−∫∫d d .u v uv v u =−∫∫分部积分(integration by parts)公式例1 求积分cos d .x x x ∫解（一）令,cos x u =()21d d d 2x x x v==cos d x x x ∫22cos sin d 22x xx x x =+∫显然，选择不当，积分更难进行.v u ′,解（二）令,x u =cos d dsin d x x x v==cos d x x x ∫dsin x x =∫sin sin d x x x x =−∫.cos sin C x x x ++=例2 求积分2d .xx e x ∫解,2x u =d d d ,x xe x e v ==2d xx e x ∫22d xxx e xe x =−∫.)(22C e xe e x xx x +−−=（再次使用分部积分法）,x u =d d xe x v=总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3 求积分arctan d .x x x ∫解令,arctan x u =2d d d 2x x x v⎛⎞==⎜⎟⎝⎠arctan d x x x ∫22arctan d(arctan )22x xx x =−∫2221arctan d 221x x x x x =−⋅+∫2211arctan (1)d 221xx x x=−⋅−+∫.)arctan (21arctan 22C x x x x+−−=例4 求积分3ln d .x x x ∫解,ln x u =43d d d ,4x x x v ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠3ln d x x x ∫4311ln d 44x x x x=−∫.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .u例5 求积分sin(ln )d .x x ∫解sin(ln )d x x ∫sin(ln )d[sin(ln )]x x x x =−∫1sin(ln )cos(ln )d x x x x xx =−⋅∫sin(ln )cos(ln )d[cos(ln )]x x x x x x =−+∫[sin(ln )cos(ln )]sin(ln )d x x x x x=−−∫sin(ln )d x x ∴∫[sin(ln )cos(ln )].2xx x C =−+例6 求积分sin d .xex x ∫解sin d xe x x ∫()sin d xx e =∫sin d(sin )xxe x e x =−∫sin cos d xxe x e x x =−∫()sin cos d xxe x x e=−∫sin (cos dcos )xxxe x e x e x =−−∫(sin cos )sin d xxe x x e x x=−−∫sin d xe x x ∴∫.)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式例7 求积分2arctan d .1x xx x+∫解(),1122xx x+=′+∵2arctan d 1x xx x∴+∫()2arctan d1x x=+∫221arctan 1d(arctan )x x x x =+−+∫22211arctan 1d 1x x x x x=+−+⋅+∫22211arctan d 1x x x x=+−+∫令tx tan =21d 1x x+∫221sec d 1tan t t t=+∫sec d t t=∫C t t ++=)tan ln(sec Cx x +++=)1ln(22arctan d 1x xxx∴+∫x x arctan 12+=.)1ln(2C x x +++−例8 已知(xf 的一个原函数是x e −, 求xf x ′∫. 解()d xf x x ′∫[]d ()x f x =∫()()d ,xf x f x x =−∫2()d ,x f x x eC −∴=+∫()()d (),f x x f x ′=∫∵两边同时对 求导, 得x ,2)(2x xe x f −−=()d xf x x ′∴=∫()()d xf x f x x−∫222x e x −−=.2C e x +−−。
高数-分部积分法
x (1 x2 )2
arctan
xdx
.
解: 令 t arctan x , 则
原式 =
tan t sec4 t
td
(tan
t
)
tan t sec4 t
t
sec2
tdt
1 2
t
sin
2tdt
1 4
td
cos
2t
1 4
t
cos
2t
1 4
cos
2tdt
1 t cos 2t 1 sin 2t C
14
例. 求 sec3 xdx
15
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
16
例9. 求
解:
令
u
(x2
1 a2
)n
,
v
1,
则
u
2nx (x2 a2 )n1
I
1 d earctan x
1 x2
I
earctan x
(1
x
2
)
3 2
dx
1 1
x2
earctan x
x earctan x
(1 x2 )32
dx
1 earctan x 1 x2
x dearctan x 1 x2
1 earctan x (1 x) I
1 x2
I 1 x earctan x C 2 1 x2
34
35
x
d
x
23
内容小结
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微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv -∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx)写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu
两边积分得到：∫udv = uv -∫vdu
#39;(x)dx=v(x)u(x)-∫v'(x)u(x)dx
例：∫xcosxdx = xsinx -∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
斐波拉契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
定积分内
编辑
与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a
=[u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx]b/a
=[u(x)v(x)]b/a-∫b/a v(x)u'(x)dx
简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu