分部积分法的二个经验
分部积分法
(易积)
？ ？ 问题： xexdx
xcos xdx
6
第三节 分部积分法
第四章
由导数公式 (uv) uv uv
uv (uv) uv
积分得: uvdx uv uvdx 或 udv u Nhomakorabea v du
分部积分公式
注： 1.左端的被积表达式为两部分;右端为两部分.
2.公式的作用： 化难为易
x ln2 x 2x ln x 2 dx
x ln2 x 2x ln x 2x C.
14
2
2
11
经验2: 幂 对(反三角)dx 可设对数(反三角)= u
例5.
解:设u arccos x ,dv dx，则du
1 dx,
1 x2
v
x
arccos u
xdx
v
x
arccos
x
xd(arccos
x)
x arccos x
x dx x arccos x
1 x2
d(1 x2 ) 2 1 x2
ln a
2
三 (1) sin xdx cos x C;
角 (2) cos xdx sin x C;
函 数
(3) tan x dx lncos x C
的 (4) cot xdx lnsin x C
积 (5) sec x dx lnsecx tan x C
分
公 (6) csc x dx lncsc x cot x C
顺序, 前者为u.
的 反: 反三角函数
对: 对数函数
幂: 幂函数
指: 指数函数
三: 三角函数
13
例6. 求 ln2 xdx.
分部积分法的使用技巧
分部积分法的使用技巧
1. 先确定积分区间，确定积分区间的方法有：
（1）根据函数的性质，如函数的单调性、极值点等，确定积分区间；（2）根据函数的定义域，确定积分区间；
（3）根据函数的变化趋势，确定积分区间；
2. 根据积分区间，确定积分步长，确定积分步长的方法有：
（1）根据函数的变化趋势，确定积分步长；
（2）根据函数的变化率，确定积分步长；
（3）根据函数的变化幅度，确定积分步长；
3. 根据积分步长，确定积分点，确定积分点的方法有：
（1）根据积分步长，从积分区间的起点开始，逐步确定积分点；（2）根据函数的变化趋势，确定积分点；
（3）根据函数的变化率，确定积分点；
4. 根据积分点，计算函数值，计算函数值的方法有：
（1）根据函数的定义，计算函数值；
（2）根据函数的表达式，计算函数值；
（3）根据函数的图像，计算函数值；
5. 根据函数值，计算积分值，计算积分值的方法有：
（1）根据积分步长，计算积分值；
（2）根据函数的变化趋势，计算积分值；
（3）根据函数的变化率，计算积分值；
（4）根据函数的变化幅度，计算积分值；
6. 根据积分值，计算函数的积分，计算函数的积分的方法有：（1）根据积分步长，计算函数的积分；
（2）根据函数的变化趋势，计算函数的积分；
（3）根据函数的变化率，计算函数的积分；
（4）根据函数的变化幅度，计算函数的积分；
（5）根据函数的定义，计算函数的积分；
（6）根据函数的表达式，计算函数的积分；
（7）根据函数的图像，计算函数的积分。
利用口诀计算分部积分的方法
利用口诀计算分部积分的方法作者：吕昂来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2013年第03期分部积分是积分运算的基本方法之一。
运用分部积分法计算积分问题时，通常采用“竖式法”或“表格法”等，但这些方法往往操作起来十分复杂或不容易理解。
本文将介绍一种简便的计算法——口诀法，以达到简化运算的目的。
分部积分口诀法分部积分口诀高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。
一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。
对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。
而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。
不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。
而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。
下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法——口诀法。
在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。
不妨假设这两个不同类型的函数为 U（x）和 V（x），则分部积分口诀公式为：为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。
下面我们来看几个例子。
由例1可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.由例2可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.由例3可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.由例4可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由eax（指数函数）和三角函数组成时，通常“积”eax（指数函数）.总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分来计算：（其中k，m为自然数）.选择积分的先后顺序为：eax（指数函数），三角函数，幂函数，对数函数下面对口诀公式给出进一步说明：即在 U（x）和 V（x）中，如果有eax（指数函数）先积eax（指数函数）；没有eax（指数函数），先积三角函数；既没有eax（指数函数），又没有三角函数，则积幂函数。
巧记分部积分法
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参考文献 ［］ １ 吴赣 昌 高等数 学（ ＿ － － ｚ 类第 四版上册 ） Ｍ］北 京 ： ￣ － Ｙ ［ 中国人 民大 学 出版社 ， １ ． ２ １ ０ ［］ ２ 关赣 昌． 积分 （ 管类类 第三版 ）Ｍ］北京 ： 微 经 ［ 中国人 民大学 出
版 社 ．０ ９ ２０
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盖息
高校 理科 研 究
Ｉ ｉ 分 部积 分法 ５２
昆明理 工 大学津桥 学院建 筑艺术及 工学 系 任献 花
［ 摘
郝 冰 陈付 彬
要】 分部 积分法是 大学高等数学教 学的一 个重 点， 也是 学生学习的难点。本文给 出了使用分部积分法的 口诀 ， 并结合 实例讨论
了该 口诀 的 实用 性 。
［ 关键词 ］ 分部积分法 口诀 直接把 山 看成 幽 分部积 分公式对学 生来 说非常 简单 ， 但是如何 熟练地用分部 积分 法来求积分对大多数独立学 院的学生来 说却是难点。运用 分部积分公 对 于被 积 函 数 中只 含有 ａｃｉ￣ ａｃｏ ． ａｃａ ３ 、 ｒｃｌ２、 ｒｓｎ ’、 ｒｃ ｓ ７、 ｒｔｎ ＂ ａｃｏ ７ ｌａ 、 ｉ（ ３ 、 ｏ（ ｘ 等 函数的不定 积分 ｎ ’ ｓ Ｉ － ｃｓ１ ） ｎｎ ） ｎ 由于被积 函数 只有一个 嘲 数， 可以考虑直接 把 ｄ ｘ看成 幽 。
一
实用多次分部积分法
实用多次分部积分法分部积分法是微积分中的基本技巧之一，它用于求解含有乘积项的积分，也是解决一些复杂积分的重要工具。
但是，有时候单次分部积分法并不能直接得到积分的解析式，需要多次分部积分才能得到答案。
本文将介绍实用多次分部积分法，以及一些常见的例子。
一、基本分部积分法首先，我们回顾一下基本分部积分法。
对于两个可导函数u(x)和v(x)，其积分的分部积分公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)是被积函数中的“内函数”，v'(x)是被积函数中的“外函数”。
这个公式的思想是将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算。
例如，对于积分：∫xsinxdx我们可以将其写成：∫xsinxdx = x∫sinxdx - ∫(x)'∫sinxdx dx= x(-cosx) - ∫(-cosx)dx= -xcosx + sinx + C其中，C是常数项。
二、二次分部积分法当基本分部积分法不能直接得到积分解析式时，我们可以使用二次分部积分法。
这种方法的思路是，通过多次分部积分，将被积函数中的某些项转化为可以直接求解的项，从而简化计算。
例如，对于积分：∫x^2e^xdx我们可以选择u(x) = x^2，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫x^2e^xdx = x^2e^x - ∫2xe^xdx现在，我们需要再次使用分部积分，将∫2xe^xdx转化为可以直接求解的形式。
选择u(x) = 2x，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫2xe^xdx = 2xe^x - ∫2e^xdx将这个结果代入上一个式子中，得到：∫x^2e^xdx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C= (x^2 - 2x + 2)e^x + C其中，C是常数项。
三、三次分部积分法有些情况下，二次分部积分法仍然无法得到积分的解析式，需要使用更高次的分部积分法。
关于分部积分计算需要注意的几点
关于分部积分计算需要注意的几点1. 引言1.1 分部积分的定义分部积分是微积分中的基本概念之一，它是对一个积分式的乘积进行分解，以便更容易求解的方法。
在分部积分中，我们将积分式中的一个因数看作是导数，另一个因数看作是原函数，通过这种方式可以将原本复杂的积分式简化为更容易计算的形式。
分部积分的定义可以通过以下公式表示：\int u dv = uv - \int v duu和v是可微的函数，du和dv分别是u和v的微分。
这个公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种类型的积分问题。
掌握分部积分的定义和基本原理是学习微积分的重要一步，它能帮助我们更好地理解积分的概念和方法，同时也可以应用到各种实际问题中。
通过熟练掌握分部积分的定义和基本原理，我们可以更高效地解决复杂的积分计算问题，提升数学求解能力。
1.2 分部积分的基本原理分部积分的基本原理是一种计算积分的方法，通过将一个积分拆分成两个函数相乘后再对其中一个函数求导，从而简化原积分的计算过程。
这个方法本质上是积分与导数的反向操作，即将难以直接积分的函数通过求导得到一个更简单的形式，再进行积分。
在应用分部积分时，需要选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”，然后根据分部积分公式进行计算。
分部积分的基本原理可以帮助我们解决一些复杂的积分问题，特别是当积分中包含多个函数相乘时。
通过不断应用分部积分，可以逐步简化复杂的积分，最终得到解析形式的结果。
掌握分部积分的基本原理对于求解一些特定形式的积分问题是非常重要的，同时也有助于我们理解积分与导数的关系，深化对微积分的理解。
在学习分部积分时，要深入理解其基本原理，并灵活应用于具体问题的求解中。
2. 正文2.1 分部积分的常见形式分部积分是微积分中的重要概念之一，常常用于求解复杂的定积分或不定积分。
在实际应用中，我们经常会遇到各种形式的分部积分，因此需要对其常见形式有所了解。
1. 乘积形式：最基本的分部积分形式就是两个函数的乘积形式，即\int u \cdot v dx = u \cdot \int v dx - \int u'(\int v dx) dx。
分部积分法
分部积分法是种积分的技巧。
它是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。
其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。
规则假设与是两个连续可导函数. 由乘积法则可知对上述等式两边求不定积分,得移项整理,得不定积分形式的分部积分方程由以上等式我们可以推导出分部积分法在区间的定积分形式已经积出的部分可以代入上下限表示为以下等式，而以上这条等式可以通过函数求导乘积法则，以及微积分基本定理通过以下方式倒推并得以验证在传统的微积分教材里分部积分法通常写成不定积分形式:如果更简单些, 令, , 微分和, 就可以得到更常见到的形式:注意，上面的原式中含有g的导数; 在使用这个规则时必须先找到不定积分g, 并且积分必须是可积的. 在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达, 称为分部求和. 另一可用的表达方式可以将原表达方式里的因子仅写成f和g, 但缺点是引进了镶套积分:这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续是才有效.在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式.提示: 部分积分下面这样更复杂一点的积分运算里也是有效的:[编辑] 例题用分部积分法求积分:先设:u= x, 故du = dx,dv= cos(x) dx, 故v = sin(x).代入原积分:这里C是任意积分常数.连续使用分部积分可以求解这类积分:每次分部积分后x的幂减低1次.下面这个例子需要用点技巧:和其他例题不同的是分部积分之后得出的结果里含有要求解的积分式, 在这时不必再按积分做下去.此题要使用两次分部积分.先令:u= cos(x); 故du= −sin(x) dxd v =e x dx; 故v = e x于是有:对余下的积分式再用分部积分, 设:u= sin(x); d u = cos(x) dxv= e x; dv = e x dx得到:把两次分部积分的结果合在一起:注意, 要求解的积分式同时出现在等式两边. 我们只要把它移到等式一边就可以得到积分结果:同样, C在这里是积分常数.同样的技巧用在求解正割函数的立方的积分里.另外两个很有用的分部积分范例是分布积分法用在函数本身和1的乘积. 这里的前提是函数的导数是已知的,而且这个导数和x的乘积的积分已知.第一个范例是∫ ln(x) d x.我们把它写成:设:u= ln(x); d u = 1/x d xv= x; d v = 1·d x于是:同样, C 是积分常数.第二个范例是∫ arctan(x) d x, 这里arctan(x) 是反三角函数.成重写入下:令:u= arctan(x); d u = 1/(1+x2) d xv= x; d v = 1·d x代入后有:其中用到换元积分法和自然对数积分.[编辑] ILATE 约法用分部积分法时选择哪个函数为u哪个为dv很要紧，ILATE约法给出一个简单的选择u的方法:I: 反三角函数: arctan x, arcsec x, etc.L: 对数函数: ln x, , etc.A: 代数函数: , , etc.T: 三角函数: sin x, tan x, etc.E: 指数函数: , , etc.u确定后，另一个函数自然是dv. ILATE这个口诀代表优先选择的顺序。
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。
一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。
将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。
（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
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分部积分法的二个经验
一、u 和v / 的选择
我们知道，用分部积分公式求积分时，主要是选好 u 与 v ，
这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。
“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。
其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x )恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u ,次序在后的取为 v’ 进行分部，这样通常能解决问题。
这便是经验顺序。
例1 求 ∫
=dx xe I x 解 被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为v /，即
x e ∫
=x xde I
例2 求
∫
=xdx x I cos 解 这是“幂三”型，cos x 应取为v /，即 ∫
=x d x I sin
例3 例3 求
∫
=dx x x I 2sin cos ln 解 这是“对三”型，应将“三”取为v /，即 ∫
−=)cot (cos ln x d x I
要注意，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的，但并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。
例如，求 ∫
+=dx x xe I x
2)1( 这是“幂指”型．若按经验顺序，取为v /，则
x e ∫
∫+−−+=+=dx e x x e x x de x x I x x x 322)1(1)1()1( 所得新积分反而比原积分更复杂。
这时，应考虑取“幂”为v /，即
C x e C e x xe e x d x x xe x d xe I x x x x x x ++=+++−=+++−=+−=∫
∫11)(111)11(
二、关于连续多次分部积分的使用
在用求积分时，可能会出现多次使用分部积分法的情况，例如
∫xdx x cos 3，∫
dx e x x 3 都需要使用3次分部积分才能得出结果。
而则需要5次分部积分公式才能得出结果。
那么对于这样的积分能不能节省篇幅，一次写出其结果呢，回答是肯定的。
下面简述这类题的经验。
∫
xdx x cos 5先根据上述“反对幂指三”的做法确定出u 和v’，接着对u 连续求各阶导数，直到导数为0。
对v’连续求积分，次数比对u 求导的次数多一次。
排列成：
u u / u // u /// … u (k)
将连线对应的两项相乘，符号取连线中间的正负号，最后作和即为所求积分。
例7 求
∫xdx x cos 5解 可设u ，
5x =x v cos =′
则。
x x x x x x x x x x x xdx x cos 120sin 120cos 60sin 20cos 5sin cos 23455++−−+=∫u = x 5 5x 4 20x 3 60x 2 120x 120
v / = cos x sin x -cos x -sin x cos x sin x -cos x + － + － + － v / v v v v ... (v)
k-1个+ － + － (-1)k+1。