二次根式及乘除法的复习
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。
当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。
538是二次根式，不能写成2532。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。
（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。
【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。
【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。
二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。
二次根式知识点总复习附答案
二次根式知识点总复习附答案一、选择题1. 有意义，那么x 的取值范围是（）【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 【详解】x+5 解得 x>5.故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的 条件.——在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）V 6x 7A. x>5【答案】C【解析】 B . x>-5 C. x >5 D . x <5x 的不等式，求出x 的取值范围即可.2.已知 A . 4【答案】B . 6 2xJ 5 X 2的结果是（C. 4D . 2x 6c x2可得｛5 25 x =x-1+5-x=4，故选A.A .3时，二次根 m—5x 7式的值为，贝y m B. 晅2等于（）【答案】【解解：把x=-3代入二次根式得，原式 =m /io ，依题意得：mjio = J 5，故 =75 m=J io弓.故选B .4.若式子则化简•/ 6x 7是被开方数，••• 6x 70,又•••分母不能为零，7x > —；6故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件 .5.下列计算结果正确的是（ ）A. J 3 2= 3 B. 736 = ±6 C. 巧 +72 =5/5 D. 3 + 2 罷=5^3【答案】A 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断. 【详解】故选A . 【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.6 •把a j —1中根号外的因式移到根号内的结果是 （）A .7B . x > 一6 7A. x A6【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解.C. x67D . XV —6•- 6x 7 0，解得, A 、 B 、 C 、D 、原式=卜3|=3，正确； 原式=6,错误； 原式不能合并，错误；原式不能合并，错误.B . T a D. v a【答案】A 【解析】 【分析】 由二次根式 a j —1知a 是负数，根据平方根的定义将 a 移到根号内是a 2，再化简根号内的因式即可. 【详解】1 ••• — 0,且 a 0,a••• a<0,a/I >,故选：A. 【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于a 的取值范围是解题的关键 7.下列运算正确的是( A . 2 込-73=1B .(- 逅)2=2C. 7(-11)2= ± 11 D .(32-22=432-422=3 - 2=1【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可【详解】根据二次根式的性质 （ja ）2=a （a>0 ,可知（-42）2=2，所以B 选项正确;a(a>0)a|= 0(a=0)，可知(-11)2 =| - 11|=11，所以 C 选项错 a(a<0)误;D 、根据二次根式的性质，可知 厶廿 =49~4=4^，所以D 选项错误.故选B . 【点睛】根据二次根式的加减，可知 2 J 3 - J 3= J 3，所以A 选项错误; (a)20得到根据二次根式的性质 77性质和运算法则计算是解题关键5 J 5 2x 3，则2xy 的值为（）【答案】A 【解析】 试题解析:2x 5 {5 2xx 解得{ya ，故③正确;故选：B . 【点睛】此题主要考查了的二次根式的性质 （苗）=a （a>0 ,a(a>0)0(a=0)，正确利用 a(a< 0)A .15B . 15C.15 15D.—22.52xy=2 X 2.5 &3) 故选A .=-15,9.如果 ab 0, a b 0，那么给出下列各式①>/ah£ a ；正确的是（）A .①②【答案】B .②③C.①③D .①②③【分析】 由题意得 0 ,然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可.【详解】 解：••• ab••• a 0, b a b1，故②正确;- = 1;②a••• j a 和j b 无意义，故①错误;b a b a1本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 10.下列各式中，不能化简的二次根式是( 【答案】C B . 5/0.3 D . 718 【解析】 【分析】 A 、B 选项的被开方数中含有分母或小数； 9 ;因此这三个选项都不是最简二次根式•所以只有 【详解】 D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数 C 选项符合最简二次根式的要求. 解: 卩返，被开方数含有分母，不是最简二次根式; N 2 2J 03 笑，被开方数含有小数，不是最简二次根式； 10 J 18 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式. 故选：C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： (1) 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式; (2) 在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，不是最简二次根式. 如果幕的指数大于或等于2，也11.已知a 1 J 2，则a,b 的关系是 A . a b ab 1 C. D . a b【答案】 D【解析】【分析】根据a 和 b 的值去计算各式是否正确即可. 【详解】A. a b 1 1 721逅1 1丘占1 V 211,错误；B. abB . 22，错误;1 V 212. 下列计算正确的是( A . 718 x/3 6 C. 2 罷 732【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得. 【详解】A. 尿 43 J 18 3 J 6，此选项计算错误；B. 廳 J 22^2 42 72，此选项计算正确；C. 2 J 3 43 逅，此选项计算错误；D.J ( 5)25，此选项计算错误；故选：B . 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运 算法则.13. J 50 •a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(根据二次根式的乘法法则计算得到 5殛，再根据条件确定正整数 a 的最小值即可.【详解】••• J 50 •a ==5^2^ 是一个整数,•••正整数a 是最小值是2. 故选B. 【点睛】C. ab 1 迈1 1，错误;D. a b1 1 D . 1 1血严20,正确;1 72故答案为： 【点睛】本题考查了实数的运算问题,掌握实数运算法则是解题的关键.B.丽>/2 >/2D . J ( 5)25A . 1【答案】B 【解析】【分析】B . 2C. 3D . 5本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应 用二次根式的乘法法则化简.【解析】 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件 不含分母 ②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答 .【详解】(1) A 被开方数含分母，错误. (2) B 满足条件，正确.(3) C 被开方数含能开的尽方的因数或因式(4) D 被开方数含能开的尽方的因数或因式 所以答案选B. 【点睛】14.如果 J (X 1)2x!，那么x 的取值范围是()A. x>1【答案】AB . x>1C. x wiD . x<16【解析】 【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即 【详解】x-1>0求解即可.由于二次根式的结果为非负数可知： x-1 >0解得，x>1 故选A. 【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x 的取值范围.15.使代数式j a 岛有意义的a 的取值范围为 nn A . a 0【答案】C【解析】B . a 0C. D .不存在试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 所以a=0.故选C. 0，可知:16.下列各式中，是最简二次根式的是【答案】B B. J 5C. V T8①被开方数 ，错误.本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键7X 的被开方数XV 0,无意义; 故选：C. 【点睛】17.计算 2412 —3J 2的结果是（ 4A .渥 2 【答案】A 【解析】2 C.- 33 D . 4【分析】 根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可. 【详解】 旦3424 (2 - 3)J 12 3 2 4 -3/2 6 區 2 . 故选：A . 【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键. 18.下列各式中是二次根式的是（ A .乘B .厂 D. T X (XV 0)【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】 V s 的根指数为3, /〒的被开方数-72 的根指数为2, A 、B 、C 、 不是二次根式; 1V 0,无意义;且被开方数2> 0,是二次根式; D 、【解析】【分析】 先利用积的乘方得到原式=［（J 3 2）（乘 2）］2017（J 3 2）2，然后根据平方差公式和完全平方公式计算. 【详解】 解：原式=[(732) (73 2)]2017(品 2)2=(3 4)2017(3 4^3 4)1 (7 4^3)443 7故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的 乘除运算，再合并即可•在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根 式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.D 、符合二次根式的除法法则，正确.故选D .本题考查了二次根式的定义: 形如j a （a>0叫二次根式.19.计算点2）2017（丽 2）2019的结果是（）A . 2+运【答案】C B .C. 4/3 7 D . 7 4/320.下列各式中，运算正确的是（ ）A 、 a 6a 3a 2C. 2佢 3込 5^5【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幕的除法、幕的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算. 【详解】解：A 、a 6+3=a 3，故不对；B 、 （ a 3） 2=a 6,故不对； C 、 2运和3 73B . D ./ 3、2(a )76 73 72。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
提高版5.二次根式性质和运算复习专题(教师版)
课题：二次根式的性质和运算专题个性化教学辅导教案 组长签名：________学生姓名年 级 初二 学 科 数学 上课时间 年 月 日教师姓名课 题二次根式的性质和运算专题教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.3、了解最简二次根式的概念和性质，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；5、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.教学过程 教师活动学生活动1.把多项式x 2﹣8x +16分解因式，结果正确的是（ ） A ．（x ﹣4）2B ．（x ﹣8）2C ．（x +4）（x ﹣4）D ．（x +8）（x ﹣8）【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【解答】解：x 2﹣8x +16=（x ﹣4）2． 故选：A ．2.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20﹣120x=4 B ．240x+20﹣120x=4 C ．120x﹣240x−20=4D ．120x﹣240x+20=4【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程．【解答】解：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x +20）本， 根据题意得：120x﹣240x+20=4．故选D ．3.约分：①5ab20a 2b = ，②x 2−9x 2−6x+9= ． 【考点】66：约分．【解答】解：①5ab20a 2b = 14a ； ②x 2−9x 2−6x+9 = (x+3)(x−3)(x−3)2=x+3x−3．4.已知x ﹣y =﹣1，xy =3，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【解答】解：原式=xy （x 2﹣2xy +y 2） =xy （x ﹣y ）2，把x ﹣y =﹣1，xy =3代入得：原式=3．5.先化简，再求值：x 2+2x+1x 3−x÷（1+1x），其中x =3．【考点】6D ：分式的化简求值． 【解答】解：原式=(x+1)2x(x+1)(x−1)•xx+1 =1x−1 当x =3时， 原式=216.解方程：1x−2+3=1−x2−x ．【考点】B 3：解分式方程．【解答】解：两边乘x ﹣2得到，1+3（x ﹣2）=x ﹣1， 1+3x ﹣6=x ﹣1， x =2，∵x =2时，x ﹣2=0，∴x =2是分式方程的增根，原方程无解．问题1二次根式的性质1．若√2x −1+√1−2x +1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x =12 D ．x ≠12 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：由题意可知：{2x −1≥01−2x ≥0解得：x =12 ，故选（C ）【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．问题2二次根式的运算法则2.已知（4+√7）•a =b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ） A ．√7 B ．4+√7C ．8﹣2√7D ．2﹣√7【考点】76：分母有理化．【解答】解：因为（4+√7）•a =b ，b 是整数， 可得：a =8﹣2√7， 故选C【点评】此题考查分母有理化问题，关键是根据分母有理化的法则进行解答．3.计算：√8÷√2+（2﹣√2014）0﹣（﹣1）2014+|√2﹣2|+（﹣12）﹣2．【考点】79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂． 【解答】解：原式=√8÷2+1﹣1+2﹣√2+4 =2+1﹣1+2﹣√2+4 =8﹣√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．问题1 二次根式的性质对应知识点：（1）二次根式的概念；（2）二次根式的性质问题2 二次根式的运算对应知识点： （1）分母有理化；（2）二次根式的混合运算；【基础知识重温】（一）二次根式概念和性质（1）概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（2）二次根式的性质① 非负性：a a ()≥0是一个非负数． ②()()a aa 20=≥．③ a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()（二）二次根式的乘除法运算法则 （1）乘法法则：（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. （2）除法法则：b a ba =（a≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.（3）最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.（4）同类二次根式的概念几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.（5）二次根式的加减法二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.【精准突破1】二次根式的性质【例题精讲】【例题1-1】要使二次根式√2x +6在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【考点】72：二次根式有意义的条件；C 4：在数轴上表示不等式的解集． 【解答】解：由题意得，2x +6≥0， 解得，x ≥﹣3， 故选：C ．【例题1-2】己知x ，y 为实数，且y =12+√6x −1+√1−6x ，则x •y 的值为（ ）A ．3B ．13C ．16D ．112【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：∵y =12+√6x −1+√1−6x ，∴6x ﹣1=0，解得：x =16，则y =12， 故xy =16×12=112．故选：D ．【例题1-3】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+√(a −b)2的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴． 【解答】解：由图可知：a ＜0，a ﹣b ＜0，则|a |+√(a −b)2 =﹣a ﹣（a ﹣b ） =﹣2a +b ． 故选：A ．【精准突破2】二次根式的运算法则【例题精讲】【例题2-1】下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．﹣√715=﹣65√5【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：A 、√1625=45，故原题计算正确； B 、√1916=√2516=54，故原题计算错误； C 、√2764=3√38，故原题计算正确； D 、﹣√715=﹣√365=﹣65√5，故原题计算正确； 故选：B ．【例题2-2】下列二次根式中，与√2之积为有理数的是（ ） A ．√18 B ．√34 C ．√12 D ．﹣√27【考点】76：分母有理化．【解答】解：A 、√18=3√2，3√2×√2=6，符合题意； B 、原式=√32，√32×√2=√62，不符合题意； C 、原式=2√3，2√3×√2=2√6，不符合题意； D 、原式=﹣3√3，﹣3√3×√2=﹣3√6，不符合题意， 故选A【例题2-3】若最简二次根式√a +23b−1与√4b −a 是同类二次根式，则（a ﹣2b ）2017= ．【考点】77：同类二次根式；74：最简二次根式．【解答】解：由题意可知：{3b −1=2a +2=4b −a，解得：{a =1b =1，∴（a﹣2b）2017=（﹣1）2017=﹣1，故答案为：﹣1．+√48）÷2√3．【例题2-4】化简：（3√12﹣2√13【考点】79：二次根式的混合运算．+4√3）÷2√3【解答】解：原式=（6√3﹣2√33=28√3÷2√33．=143【巩固一】二次根式的性质1.下列各式中一定是二次根式的是（）A．√x+2B．√x C．√x2+2D．√a2b【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：（A）当x+2＜0时，原式无意义，故A不一定是二次根式；（B）当x＜0时，原式无意义，故B不一定是二次根式；（C）∵x2≥0，∴x2+1≥1，故C一定是二次根式；＜0时，原式无意义，故D不一定是二次根式，（D）当a2b故选（C）2.若代数式√x+1有意义，则实数x的取值范围是（）(x−2)2A．x＞1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，x+1≥0且（x﹣2）2≠0，解得x≥﹣1且x≠2．故选D．3.若√(2a+4)2=2a+4，则a的取值范围为（）A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥﹣2D ．a ≤﹣2 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵√(2a +4)2=|2a +4|=2a +4， ∴2a +4≥0， ∴a ≥﹣2 故选（C ）4.当1＜P ＜2时，代数式√(1−p)2+（√2−p ）2的值为 ． 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵1＜P ＜2， ∴1﹣p ＜0，2﹣p ＞0，∴√(1−p)2+（√2−p ）2=p ﹣1+2﹣p =1， 故答案为：1．【巩固二】二次根式的运算法则1. 计算√24﹣9√23的结果是（ ） A ．√6 B ．﹣√6C ．﹣43√6 D ．43√6【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：√24﹣9√23=2√6﹣9×√63=2√6﹣3√6=﹣√6．故选：B ．2.等式√x +1•√x −1=√x 2−1成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥﹣1C ．﹣1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥﹣1 【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：∵√x +1•√x −1=√x 2−1成立， ∴x +1≥0，x ﹣1≥0． 解得：x ≥1． 故选：A ．3.下列二次根式，不能与√12合并的是 （填写序号即可）．①√48； ②−√125； ③√113； ④√32； ⑤√18．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：√12=2√3，①√48=4√3，②﹣√125=﹣5√5；③√113=2√33，④√32，⑤√18=3√2． 不能与√12合并的是﹣√125和√18．故答案为：②⑤．4.计算：（1）3√223×(−18√15)÷12√25． （2）√12+√27+14√48−15√13．（3）（2√5﹣√2）0+|2﹣√5|+（﹣1）2017﹣13×√45．【考点】75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂．【解答】（1）解：原式=3√83×（﹣18√15）×2√52=﹣3×18×2×√83×15×52 =﹣34√100=﹣34×10 =﹣152．（2）解：原式=2√3+3√3+14×4√3﹣15×√33 =2√3+3√3+√3﹣5√3=√3．（3）解：原式=1+√5﹣2﹣1﹣√5【查漏补缺】1.使代数式1√x+3+√4−3x 有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意，得x +3＞0且4﹣3x ≥0，解得﹣3＜x ≤43，整数有﹣2，﹣1，0，1，故选：B．2.若3，m，5为三角形三边，化简：√(2−m)2﹣√(m−8)2得（）A．﹣10B．﹣2m+6C．﹣2m﹣6D．2m﹣10【考点】73：二次根式的性质与化简；K6：三角形三边关系．【解答】解：由三角形三边关系可知：2＜m＜8∴2﹣m＜0，m﹣8＜0∴原式=﹣（2﹣m）+（m﹣8）=﹣2+m+m﹣8=2m﹣10故选（D）【举一反三】1．若最简二次根式√2x+y−53x−10和√x−3y+11是同类二次根式．（1）求x、y的值．（2）求√x2+y2的值．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：（1）由题意得，3x﹣10=2，2x+y﹣5=x﹣3y+11，解得x=4，y=3；（2）当x=4，y=3时，√x2+y2=√42+32=5．2.计算：2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）．【考点】75：二次根式的乘除法．（2）2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）=﹣2y ×32×3√xy5×x3y×xy=﹣9y√x5y5=﹣9x2y√xy．【方法总结】1.二次乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）.2.在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意， a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.3.运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.1．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．√x5 B ．√8 C ．√3x 2y D ．√x 2−9 【考点】74：最简二次根式．【解答】解：A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意； 故选：D ．2.已知y =√4−x +√x −4+3，则yx 的值为（ ） A ．43 B ．﹣43 C ．34 D ．﹣34 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，4﹣x ≥0，x ﹣4≥0，解得x =4，则y =3，则y x =34，故选：C ．3.下列变形正确的是（ ）A ．√(−4)(−9)=√−4×√−9B ．√1614=√16×√14=4×12=2 C ．√(a +b)2=|a +b | D ．√252−242=25﹣24=1【考点】75：二次根式的乘除法；73：二次根式的性质与化简．【解答】解：A 、√(−4)(−9)=√4×√9，故A 选项错误；B 、√1614=√65×√14=√65×12=√652，故B 选项错误；C 、√(a +b)2=|a +b |，故C 选项正确；D 、√252−242=√(25+24)(25−24)=7，故D 选项错误．故选：C ．4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简√(a −1)2﹣√(a −b)2+b 的结果是（ ）A ．1B ．b +1C ．2aD ．1﹣2a【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：a ﹣1＜0，a ﹣b ＜0，则原式=1﹣a +a ﹣b +b =1．故选：A ．5.计算：（1）4√12÷（﹣√6）×13√12． （2）√48﹣2×√274+（12）﹣1+（π﹣2017）0．【考点】75：二次根式的乘除法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．（1）解：原式=﹣2√2÷√6×2√33 =﹣2√3×2√33 =﹣43． （2）解：原式=4√3﹣2×3√32+2+1=√3+3．【第1，2天】当周完成一.选择题1．下列各式中①√3；②√−5； ③√a 2； ④√x −1（x ≥1）； ⑤√83； ⑥√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．6 【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：①√3符合二次根式的定义，故正确．②√−5无意义，故错误．③√a 2中的a 2≥0，符合二次根式的定义，故正确．④√x −1（x ≥1）中的x ﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．⑤√83是开3次方，故错误．⑥√x 2+2x +1中的x 2+2x +1=（x +1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确． 故选：B ．2.实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简√a 2﹣√b 2+√(a −b)2的结果是（ ）A ．2a ﹣2bB ．0C ．﹣2aD ．2b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：∵﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，∴a ﹣b ＜0，∴√a 2﹣√b 2+√(a −b)2=﹣a ﹣b ﹣（a ﹣b ）=﹣2a ．故选：C ．3.计算2√12×√34÷√3的结果是（ ） A ．√32 B ．√34 C ．√3 D ．2√3【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=12√36÷√3 =3÷√3 =√3 故选（C ）4.下列各式中计算正确的是（ ）A ．3√2﹣√2=2√2B ．2+√2=2√2C ．√12−√102=√6−√5 D ．√2+√3=√5 【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：3√2﹣√2=2√2，A 正确；2与√2不能合并，B 错误；√12−√102=2√3−√102=√3−√102，C 错误；√2与√3不是同类二次根式，不能合并，D 错误，故选：A ．5.若y =√x −12+√12−x ﹣6，则xy = ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意可知：{x −12≥012−x ≥0，解得：x =12，∴y=0+0﹣6=﹣6，∴xy=﹣3，故答案为：﹣36.计算：（2√3﹣√6）2+（√54+2√6）÷√3．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=12﹣12√2+6+√54÷3+2√6÷3=18﹣12√2+3√2+2√2=18﹣7√2．7.一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式m﹣√2n−12+√12−2n=8，求第三条边上的高的长度．【考点】7B：二次根式的应用．【解答】解：∵m﹣√2n−12+√12−2n=8，∴2n﹣12=0，∴n=6，m=8，则①当m、n为直角三角形时，第三条边长为√62+82=10，所以第三条边上的高的长度为：6×8=4.8；10②当m为斜边、n为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6．答：第三条边上的高的长度为4.8或6．【第7天】（同时放在下一讲的复习检查）1.式子√a+1有意义，则实数a的取值范围是（）a−2A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：式子√a+1有意义，a−2则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选：C．2.计算：（5√48﹣6√27+4√15）÷√3﹣4√5．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=5√48÷3﹣6√27÷3+4√15÷3﹣4√5=20﹣18+4√5﹣4√5=2．【第15天】（同时放在下下讲的复习检查）1.计算3√45÷√15×23√223．【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=3×3√5÷√55×23×√83 =9√5÷√55×23×2√63=45×4√69 =20√6．2.计算：√48﹣6√13+（√3+2）（√3﹣2） 【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=4√3﹣2√3+3﹣4 =2√3﹣1．【第28天】（同时放在下下下一讲的复习检查）1.下列各等式成立的是（ ）A ．4√5×2√5=8√5B ．5√3×4√2=20√5C ．4√3×3√2=7√5D ．5√3×4√2=20√6【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：A 、4√5×2√5=8×5=40，故选项错误；B 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项错误；C 、4√3×3√2=12√3×2=12√6，故选项错误；D 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项正确．故选D ．2.计算：（2√32﹣√12）×（12√8+√23）﹣（√3﹣2）2．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=（√6﹣√22）（√2+√63）﹣（3﹣4√3+4）=2√3+2﹣1﹣√3﹣7+4√33﹣6．=17√33教学反思。
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（6）
3 3
5、化简（1） 300
（2）
7 14
5 4 2 3 （3） 4 y 4 xy x y y
1 x 2
9 （4） 1 16
121 b5 （5） (a 0) 2 16a
32 9 (6) 144
(7)
2 3 2 2 3
、 计算（1） 5 20
（2） a b
2
1 a
（3）
15
1 5
（4）
5 பைடு நூலகம்0
（5）
72 6
（6）
48 2 3
（7）
1 1 1 2 6
三、迁移运用 1、对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算“※”如下：a※b= 那么 8※12=
ab 3 2 ,如 3※2= 5， a b 3 2
2、 已知实数 a、b 在数轴上的对应点的位置，化简： a b
2
20 2 5 =_____
2
2 3
2
12 =_______
化简 121144
132
化简 - 5 3
2
4.下列式子属于最简二次根式的是（ （1）） ，把不是最简二次根式的式子化为最简二次根式。 （1）
7
（2）3
（3） 0.2
（4） 20
（5） x 6x 9x
二次根式及乘除法复习
导
思
阅读课本1---10页独立完成导学提纲
议
1、4人组交流导纲习题（有疑惑的 做出标记） 2、组内解决疑惑
展
1.
a
2
a
（ a
≥0 ）
a2
当 a＞0 时：___________
a 当 a = 0 时：_________ 0 -a 当 a＜0 时: _________
归纳
二次根式有除法运算的性质
a b
a （a ≥0 ， b＞0） = b
a a （a ≥0 ， b＞0） = b b
在二次根式的运算中，最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
(2) 最后结果中的二次根式要求写成最简 的二次根式的形式.
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽方 的因数或因式
2 2
a b2
● b
● -1
● 0
●● a 1
形如 a (a ≥0) 的式子叫做二次 根式。
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式子. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0,
a ≥0
( 双重非负性)
1:从运算顺序来看,
( )
2
a 先开方,后平方
a≥0
a2
2
a 先平方,后开方
a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
( a)
2
3.从运算结果来看:
( a ) =a
a
2
a (a≥ 0)
=∣ a ∣ = -a (a≤0)
二次根式的乘法：
a • b = a • b(a ≥0, b ≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
ab = a • b (a ≥0, b ≥0)
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根的积。
2. 二次根式的乘法法则：____________________________________ 积的算术平方根：______________________________ 二次根式的除法法则：______________________________________ 商的算术平方根:__________________________________________ 被开方数中不含分母，且不含能开的尽方的因数或因式 3、最简二次根式：___________________________________________
1、下列式子一定是二次根式的是（ D ） A a B 3a C a D a
2
2、当 x 取怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1） 2x 6
1 （2） 3x 7
x4 （3） x2
（4） x 2 5 x （5）
x 1 x
3、
14 14 =_____
检
课本第10页习题第4题