二重积分的分部积分公式与格林公式
《数学分析》第二十一章 二重积分 3
解
记 L 所围成的闭区域为 D ,
x y , , Q= 2 令P = 2 2 2 x +y x +y y2 x2 Q P 2 2 . 则当 x + y ≠ 0 时, 有 = 2 = 2 2 x ( x + y ) y
y
(1) 当( 0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx =0 由格林公式知 ∫LBCDAB 边界: 内边界:EGFE 边界:
o
D
E
C
G
F
A
B
x
�
公式(1)叫做格林公式. 公式(1)叫做格林公式. (1)叫做格林公式
(1)
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时 区 总在他的左边. 域D总在他的左边 总在他的左边
y
证明(1) 证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 即平行于 坐标轴的直线和 L 至 多交于两点. 多交于两点
y2
,
Q P y2 =e , 则 x y
应用格林公式, 应用格林公式,有
∫∫ e D
y2
dxdy =
y2
xe ∫ + BO OA + AB
1 0
y2
dy
= ∫ xe
OA
dy = ∫ xe
x2
dx
1 1 = (1 e ). 2
xdy ydx 为一条无重点, 例 3 计算 ∫ ,其中 L 为一条无重点, 2 2 L x + y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方
二重积分的几种计算方法[1]
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k 例 5: 计 算 e- y 2 dx dy , 其 中 D 是 以 O( 0, 0) , D
A ( 1, 1) , B( 0, 1) 为顶点的三角形闭区域。
k 分析: 二重积分 e- y2 dx dy 不管利用直角坐标 D
Q 还是极坐标计算, 都有 e- y2 dy 不能用初等函数表示
第 29 卷第 5期 2 0 1 1年 9 月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi. an Aer ot echnical College
V ol1 2 9 N o1 5 Sept . 2 0 1 1
二重积分的几种计算方法
常彦妮1, 李 华2
( 1. 南阳师范学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473061; 2. 西安航空技术高等专科学校 基础部, 陕西 西安 710077 )
[ 6] 崔宝同, 等. 数学分析的理论与方法[ M ] . 上 海: 科学 技 术文献出 版社, 1990.
[ 7] 梅顺治, 刘福贵. 高等数学方法与应用[ M ] . 北京: 科 学 出版社, 2000.
[ 8] 钱吉 林. 数 学 分 析 题 解 精 粹 [ M ] . 北 京: 崇 文 书 局, 2003: 493- 522. [ 责任编辑、校对: 李小光]
连续偏导数, 且满足
f ( x, y)
=
5Q( x , 5x
y)
-
5P ( x , y ) 5y
于是利用格林公式可把二重积分化为定积分:
k k f ( x , y) dx dy =
5Q 5x
-
5P 5y
dxdy
D
D
Q = P ( x , y ) dx + Q( x , y ) dy L B
二重积分表达式
二重积分表达式一、二重积分的概念与意义二重积分是指在二维空间中，对一个函数f(x,y)关于某一区域进行积分。
它可以用来求解空间函数在某一区域内的累积量，或者表示空间函数在某一区域内的分布情况。
二重积分是数学中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
二、二重积分的表达式二重积分的表达式为：∫∫f(x,y)dxdy（区域限定）其中，f(x,y)表示二维空间中的函数，dxdy表示在x和y方向上的微小面积元。
在进行二重积分计算时，我们需要确定积分的区域。
三、二重积分的计算方法1.重积分法：将二重积分转化为两个单重积分，分别对x或y进行积分，再将结果相加。
2.替换法：将二重积分中的某个变量用另一个变量表示，从而简化积分过程。
3.分区法：将积分区域划分为若干子区域，对每个子区域进行积分，然后求和。
4.坐标旋转法：通过旋转坐标系，将复杂函数转化为简单函数，进而简化积分过程。
四、实例分析假设我们要求解以下二重积分：∫∫(x^2 + y^2) dxdy（在单位圆内）我们可以将单位圆视为x^2 + y^2 = 1的图形，然后利用替换法，令x = cosθ，y = sinθ，得到：∫∫(cos^2θ + sin^2θ) dθdθ = ∫∫1 dθdθ进一步化简，得到：∫∫dθdθ = ∫0π∫02π dθdθ = 2π所以，原二重积分的值为2π。
五、二重积分在实际应用中的重要性二重积分在实际应用中具有重要作用，例如：1.在物理学中，二重积分用于求解物体在二维空间内的质心、惯性矩等物理量。
2.在工程领域，二重积分用于计算桥梁、塔架等结构的受力分析。
3.在经济学中，二重积分可以用于分析市场需求、价格与消费之间的关系。
4.在地球物理学中，二重积分用于研究地球内部的构造和地质演化。
总之，二重积分作为一种数学工具，在科学研究和实际应用中具有广泛的价值。
§ 二重积分的计算
x1
y
x
x2 y,
c y d .
［Y－型］
其中函数x1 y, x2 y在区间c,d 上连续.
［Y－型］
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分
f x, y d 化为二次积分的方法，
y1 x
x, y dydx.
上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，
其中括号内的积分
y2 x y1 x
f
x,
y dy
是将x看作常数，
把f(x,y) 看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，
再对x计算在区间[a,b]上的定积分。
先对y后对x的二次积分通常又记为：
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
0 x 1.
xy2dxdy
1
dx
x xy2dy
0
x2
D
y x
1 0
x
1 3
y
3
y
x
2
dx
1
1
x
x3 x6 dx
1
30
40
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为：
D
y
x
y,
0 y 1.
1
x y2dxdy
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族
射线 常数将D划分为任意的n个小闭区域。
小闭区域的面积 i 为：
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。
本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二重积分的定义。
对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。
其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。
接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。
在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 矩形区域上的二重积分计算。
当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。
具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。
这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。
2. 极坐标系下的二重积分计算。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
对于极坐标系下的二元函数f(r, θ)，其二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) drdθ。
在极坐标系下，积分区域D的描述通常更加简单，而且在计算过程中也更加方便，因此在一些问题中，我们可以通过将坐标系转化为极坐标系来简化计算过程。
3. 用换元法进行二重积分计算。
在一些复杂的情况下，我们可以利用换元法来简化二重积分的计算。
通过适当的变量替换，我们可以将原来的积分区域转化为一个更加简单的积分区域，从而简化计算过程。
二重积分常用公式
二重积分常用公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，在很多实际问题中都有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊二重积分常用的公式。
还记得我读大学的时候，有一次参加数学建模比赛。
题目是要计算一个不规则物体的体积，这个物体的形状非常复杂，用常规的方法根本无法求解。
当时我们小组几个人都急得像热锅上的蚂蚁，到处翻书找资料。
后来我们发现，如果把这个问题转化为二重积分的形式，或许就能找到解决办法。
我们先确定了积分区域，也就是这个物体在平面上的投影范围。
然后根据物体的高度函数，建立了二重积分的表达式。
可是，一开始我们总是在公式的运用上出错，不是积分限弄错了，就是被积函数搞错了。
经过反复的讨论和尝试，我们终于找到了正确的公式和计算方法。
当我们算出那个准确的体积时，那种兴奋和成就感简直无法用言语来形容。
咱们先说直角坐标系下的二重积分公式。
如果积分区域是 X 型区域，也就是可以表示为a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)，那么二重积分可以表示为∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₐᵇ[∫₍φ₁(x)₎ᵍ(φ₂(x)) f(x,y)dy]dx 。
要是积分区域是 Y 型区域，也就是可以写成c≤y≤d，ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)，那么二重积分就是∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₑᵈ[∫₍ψ₁(y)₎ᵍ(ψ₂(y)) f(x,y)dx]dy 。
在极坐标系下，也有相应的二重积分公式。
如果积分区域是用极坐标表示的，比如α≤θ≤β，r₁(θ)≤r≤r₂(θ)，那么二重积分就可以写成∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ = ∫ₐᵦ[∫₍r₁(θ)₎ᵍ(r₂(θ)) f(rcosθ,rsinθ)rdr]dθ 。
这里要特别注意，在使用极坐标计算二重积分的时候，要把被积函数和面积元素都转化为极坐标的形式。
比如说，要计算一个圆形区域上的二重积分，用极坐标就会方便很多。
因为在直角坐标系下，这个积分区域的边界方程会比较复杂，但是在极坐标系下，圆形区域就可以很简单地表示出来。
计算二重积分的几种方法
计算二重积分的几种方法摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。
2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),dcI x f x y dy =⎰存在，则累次积分(),bd a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b da c Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k k m a x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k k m f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),i fy ξ在[]1,k k y y -可积，有()11,,kik k i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m =…相加，有()1111,k k mmmy ikk i ik k y k k k my f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmik k i ik k k k m y I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以i x ∆，然后对1,2,i n =…相加，有()11111nmnnmik i k i i ik i k i k i i k m x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1niii s T I xS T ξ=≤∆≤∑. (1)已知函数(),f x y 在R 可积，根据定理有 ()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.b b da a c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,db ca Rf x y dxdy f x y dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),bdacdx f x y dy ⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰.定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bx a xdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bx ax Rf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭ 解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dx ππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dx ππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dx dxdy y⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==和双曲线1xy =所围成，D 既是x 型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解 先对y 积分，后对x 积分.将D 投影在x 轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x ∀∈,关于y 积分，在D 内y 的积分限是1y x=到y x =，然后在投影区间[]1,2上关于x 积分，即 ()222231221194x x Dx x dxdy dx dy x x dx y y ==-=⎰⎰⎰⎰⎰. 先对x 积分，后对y 积分.因为D 的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy =和y x =给出的，所以必须将图（3）所示的区域D 分成两个区域()1D PRS 与()2D PRQ ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294y y DD D x x x x x dxdy dxdy dxdy dy dx dy dx y y y y y =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B =⎰求()()22.xI dx f x f y dy =⎰⎰解 因为()()()()2220yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222xxI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算.定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组 ()(),,,x x u v y y u v == （2） 将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈,有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,R R f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3） 证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'k u v R ∀∈，有 ()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k k R ξη∀∈，在'k R 对应唯一一点(),k k αβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.n nkkkkk k k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑ (4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当0T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T →，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例 4 计算两条抛物线2y mx =与2y nx =和两条直线y x α=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解 已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu vx x==这个函数将xy平面上的区域R变换为uv平面上的区域'R，'R是由直线,u m u n==和,v vαβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu vu v y x y vy yx y x xyx x∂⎛⎫=====⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,nmR Rx y uR dxdy dudv dv duu v vβα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n mn m dvvβαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。
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在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。
一般意义下的分部积分公式：
uv dx
uv vu dx ''=-⎰⎰
或udv uv vdv =-⎰⎰
证明：
分部积分实际上是把普通积分公式f dx f '=⎰中的被积函数f 换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；
把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。
格林公式：
F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰Ñ
F
dxdy Fdx y Ω
∂Ω
∂=-∂⎰⎰
⎰Ñ 一般合并写为D L
Q P dxdy Pdx Qdy x
y ⎛⎫
∂∂-=
+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ
证明（以第一个公式为例）：
积分域为{}(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤， 如图：
则：
(y)(y)
(y)(y)
(x,y)((y),y)
((y),y)d b c a d x b x a c
d
d
c c
F
dxdy x
F
dxdy x
F dy
F b dy F a dy
Fdy
Ω
==∂Ω
∂∂∂=
∂==-
=
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ
类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下的分部积分。
二重积分的分部积分公式：
()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ ()g
f
f
dxdy fg dx g
dxdy y y
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ 证明（以第一个公式为例）： 在F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰Ñ中，把F 换为fg ，则： ()
()fg dxdy fg dy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰Ñ，
即()()g f f
g dxdy fg dy x x
Ω
∂Ω
∂∂+=∂∂⎰⎰⎰Ñ
即()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ 综上：
把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；
把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。
且两种分部积分公式在形式上是很相似的：
uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 对比
()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ
北航 曾元圆。