格林公式曲线积分与路径无关的条件ppt
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一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条-PPT课件
一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
高等数学第十一章第三节格林公式课件.ppt
3. 计算
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
第二讲格林公式36页PPT
解 这里P2xy Qx2
因 为 P y Q x 2 x 所 以 积 分
2 x x 2 d 与 y 路 径 无 关 y dx
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则 2 x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y
y
y xy
2u Q . y x x
证毕。
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用格林公式导出的四个等价结论
设D为单连开 通区域 P(x,， y)、Q(x,y)C1(D， ) 那么，下面四条等价：
1) 在D内， QP； x y
2对 ) 闭 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ；
3)在 D 内， PdxQ dy与路径 ；无 AB
OA
A L
D
3dxdy
O
D
OA
3|D|
2
0 sin y dy
3co2s1.
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二.平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积 LP分 dxQdy与路径无关：
P d x Q d y P d x Q d y
L 1 (A)B
L 2 (A)B
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用格林公式导出的四个等价结论
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2 （ ) 闭 对 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ） 3()在 D 内， PdxQ dy与路径 ) 无关
AB
设 L 1 、 L 2是 D 中 起点 A 、为 终 B 的 点 路 为 径
LL2 L1，
由 2， )0LP dxQ dy
L1
B
A L2
格林公式曲线积分与路径无关的条件
记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
Ll
x
dy x2
ydx y2
(Q x
P y
)dxdy
0
D1
其中l的方向取顺时针方向 于是
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
r2
dq
2
dy ydx
x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
一、格林公式
❖单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于
D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
下页
❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)
在D上具有一阶连续偏导数 则有
(Q x
P)dx y
dy
L
Pdx
Qdy
——格林公式
D
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括
沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
格林公式·曲线积分与线路的无关性
D内的函数 u ( x, y) :
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
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提示:
y 这里 P 2 2 Q 2 x 2 x y x y 当x2y20时 有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
OA AB 1 0
12 dy 1
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
恒成立 就说曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内
L
与路径无关 否则说与路径有关
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
2
)
Pdx Qdy 0
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法)
设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导 数 则曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
下页
例7 验证: 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微 分 并求出一个这样的函数 解 这里Pxy2 Qx2y
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有
Q 2xy P x y 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
xdy ydx Q P Ll x2 y2 ( x y )dxdy 0 D
1
其中l的方向取顺时针方向 于是 2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q xdy ydx xdy ydx dq 2 L x2 y2 l x2 y2 0 2 r
定理证明
下页
求原函数的公式
u(x, y)
( x, y)
( x0 , y0 ) x x0 y
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
Q P y 2 e 则 x y
y2
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有
OA AB BO 1 1 y2 x2 xe dy xe dx (1 e1) 0 2 OA 下页 D
y2
e
y2
dxdy
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
Q P y 2 e 则 x y
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有 提示:
y0 x0
下页
xdy ydx 取积分路线为从A(1 0) 例 6 验证: 2 2 在右 x y 到B(x 0)再到C(x y)的折线 半平面内是某个函数的全微 则所求函数为 分 并求出一个这样的函数 ( x, y) xdy ydx u(x, y) 解 这里 (1, 0) x2 y 2 y y xdy y y P 2 2 Q 2 x 2 0 arctan x y x y 0 2 2 0 x2 y 2 x 因为 P 、 Q 在右半平面内 具有一阶连续偏导数 且有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y xdy ydx 所以在右半平面内 x2 y 2 是某个函数的全微分
下页
定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导 数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的 充分必要条件是等式 P Q y x 在G内恒成立 >>> 原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数 u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数
2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q dy ydx dq 2 2 2 2 0 x y r
二、平面上曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
解 设L是由椭圆曲线 则
22 1 1 1 1 22 (( ab ab sin sin22 q q ab abcos cos q q)) d d q q A A xdy xdy ydx ydx 0 0 L L 2 2 2 2 2 1 ab dq ab 2 0
一、格林公式 单连通与复连通区域
设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
下页
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有
解 这里P2xy Qx2
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛
L
P Q 2x 因为 所以积分 y x
L
2xydx x2dy 与路径无关
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则
L
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
1 xdy ydx 或 ydx xdy 2 dxdy A dxdy L 2 L
D D
下页
格林公式:
取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为
u(x, y)
( x, y)
(0, 0)
xy2dx x2 ydy
x2 y 2 x ydy 2
2
0
y
0
结束
1 2
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
L Pdx Qdy L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L L (L
1 2
1
2
1
L
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x 在 G 内恒成立 >>>定理证明
下页
Q P L Pdx Qdy与路径无关 L Pdx Qdy 0 y x .
应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy ——格林公式
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
D
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
y2
Q P y 2 2 y e 只需 P0 Q xe 要使 x y
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
xe
dy
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
L
2xydx x2dy 0
证 令P2xy Qx2 则
Q P 2x 2x 0 x y 因此 由格林公式有
讨论: 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线 L的方向为逆时针方向 问 xdy ydx 0 是否一定成立？ L x2 y 2 提示: >>>
y 这里 P 2 2 Q 2 x 2 x y x y 当x2y20时 有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
OA AB 1 0
12 dy 1
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
恒成立 就说曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内
L
与路径无关 否则说与路径有关
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
2
)
Pdx Qdy 0
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法)
设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导 数 则曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
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例7 验证: 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微 分 并求出一个这样的函数 解 这里Pxy2 Qx2y
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有
Q 2xy P x y 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
xdy ydx Q P Ll x2 y2 ( x y )dxdy 0 D
1
其中l的方向取顺时针方向 于是 2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q xdy ydx xdy ydx dq 2 L x2 y2 l x2 y2 0 2 r
定理证明
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求原函数的公式
u(x, y)
( x, y)
( x0 , y0 ) x x0 y
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
Q P y 2 e 则 x y
y2
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有
OA AB BO 1 1 y2 x2 xe dy xe dx (1 e1) 0 2 OA 下页 D
y2
e
y2
dxdy
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
Q P y 2 e 则 x y
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有 提示:
y0 x0
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xdy ydx 取积分路线为从A(1 0) 例 6 验证: 2 2 在右 x y 到B(x 0)再到C(x y)的折线 半平面内是某个函数的全微 则所求函数为 分 并求出一个这样的函数 ( x, y) xdy ydx u(x, y) 解 这里 (1, 0) x2 y 2 y y xdy y y P 2 2 Q 2 x 2 0 arctan x y x y 0 2 2 0 x2 y 2 x 因为 P 、 Q 在右半平面内 具有一阶连续偏导数 且有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y xdy ydx 所以在右半平面内 x2 y 2 是某个函数的全微分
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定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导 数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的 充分必要条件是等式 P Q y x 在G内恒成立 >>> 原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数 u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数
2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q dy ydx dq 2 2 2 2 0 x y r
二、平面上曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
解 设L是由椭圆曲线 则
22 1 1 1 1 22 (( ab ab sin sin22 q q ab abcos cos q q)) d d q q A A xdy xdy ydx ydx 0 0 L L 2 2 2 2 2 1 ab dq ab 2 0
一、格林公式 单连通与复连通区域
设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
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定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有
解 这里P2xy Qx2
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛
L
P Q 2x 因为 所以积分 y x
L
2xydx x2dy 与路径无关
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则
L
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
1 xdy ydx 或 ydx xdy 2 dxdy A dxdy L 2 L
D D
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格林公式:
取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为
u(x, y)
( x, y)
(0, 0)
xy2dx x2 ydy
x2 y 2 x ydy 2
2
0
y
0
结束
1 2
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
L Pdx Qdy L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L L (L
1 2
1
2
1
L
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x 在 G 内恒成立 >>>定理证明
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Q P L Pdx Qdy与路径无关 L Pdx Qdy 0 y x .
应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy ——格林公式
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
D
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
y2
Q P y 2 2 y e 只需 P0 Q xe 要使 x y
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
xe
dy
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
L
2xydx x2dy 0
证 令P2xy Qx2 则
Q P 2x 2x 0 x y 因此 由格林公式有
讨论: 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线 L的方向为逆时针方向 问 xdy ydx 0 是否一定成立？ L x2 y 2 提示: >>>