第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件
【精品】曲线积分与路径无关的条件(北工大)
【精品】曲线积分与路径无关的条件(北工大)曲线积分是高等数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中发挥了重要的作用。
在曲线积分的学习中，有一个非常重要的问题，那就是路径无关性。
本文就曲线积分的路径无关性进行详细的介绍和分析，同时给出路径无关的条件。
一、曲线积分的定义设 $C$ 是一条光滑的曲线，$f(x,y)$ 是定义在 $C$ 上的实函数，$ds$ 是 $C$ 上的弧长元素，则称$$\int\limits_Cf(x,y)ds$$为函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的曲线积分。
二、路径无关性路径无关性是指，曲线积分的值与路径无关，只与曲线的起点和终点有关。
简单来说，就是把曲线 $C$ 分成若干段，将积分沿着每一段曲线分别计算，最后将结果相加，其结果相同。
具体来说，设 $C$ 由点 $A$ 到点 $B$，又设 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是曲线 $C$ 的两条路径。
则有$\int\limits_Cf(x,y)ds=\int\limits_{C_1}f(x,y)ds+\int\limits_{-C_2}f(x,y)ds$。
其中，“-”表示将曲线方向反向。
对于一条分段光滑曲线 $C$，如果它满足以下一个或多个条件，则 $C$ 上的曲线积分是路径无关的。
1. $C$ 是一条闭合曲线。
如果曲线 $C$ 是一条闭合曲线，即起点和终点相同，那么对于任意的路径 $C_1$ 和$C_2$，$C_1-C_2$ 也是一条闭合曲线，并且积分结果相等。
2. $C$ 在区域 $D$ 内部是简单曲线（无自交）。
3. $C$ 是向量场 $\vec{F}(x,y)$ 的保守场曲线。
如果曲线 $C$ 是一个向量场 $\vec{F}(x,y)$ 的保守场曲线，则 $C$ 上的曲线积分是路径无关的。
这里需要注意的是，这个条件必须满足全局性，而不是局部性。
四、总结路径无关性是曲线积分的一个重要性质，对于实际问题中的计算和应用起到了重要作用。
平面曲线积分与路径无关的条件
平面曲线积分与路径无关的条件一、引言平面曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个向量场沿着一条曲线的累积效果。
在实际应用中，我们常常需要计算沿着一条曲线的积分，但有时候路径并不影响积分结果。
这时我们就需要了解平面曲线积分与路径无关的条件。
二、定义平面曲线积分与路径无关的条件指的是：对于一个向量场F(x,y)和两条相同起点和终点的可求长曲线C1和C2，如果F(x,y)在C1和C2上恒等，则称F(x,y)在C1和C2上是保守场。
三、保守场与势函数保守场是指存在一个标量函数f(x,y)，使得F(x,y)可以表示为梯度向量f(x,y)的形式。
即：F(x,y)=∇f(x,y)这个标量函数f(x,y)被称为势函数。
如果一个向量场是保守场，则其沿着任意可求长闭合曲线C上的积分都为0，即：∮CF·ds=0四、判断保守场的方法判断一个向量场是否为保守场有多种方法，以下介绍两种常用方法。
（一）充分条件法：如果F(x,y)是一个二阶连续可微的向量场，并且其旋度为0，则F(x,y)是保守场。
旋度的定义为：rotF=∂Q/∂x-∂P/∂y其中，F(x,y)=(P,Q)。
（二）必要条件法：如果F(x,y)是一个保守场，则其在任意可求长闭合曲线C上的积分都为0。
即：∮CF·ds=0此时，由格林公式可知：∮CF·ds=∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy其中，D表示曲线C所围成的区域。
因此，如果F(x,y)在区域D上满足偏导数的连续性条件，并且对于所有的x和y都有：(∂Q/∂x-∂P/∂y)=0则F(x,y)是保守场。
五、应用平面曲线积分与路径无关的条件在物理学、工程学等领域中有广泛应用。
例如，在电磁学中，电势可以看作是电场的势函数，而电场又可以看作是一个向量场。
因此，在计算沿着不同路径的电势差时，我们可以利用平面曲线积分与路径无关的条件来简化计算过程。
六、结论平面曲线积分与路径无关的条件是一个重要的数学概念，它描述了一个向量场在不同曲线上积分结果相同的情况。
平面上曲线积分与路径无关的条件
平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它通常用于计算沿着曲线的某个向量场的功或流量。
在实际应用中，我们经常需要计算一些与路径无关的曲线积分，这时就需要了解平面上曲线积分与路径无关的条件。
一、曲线积分的定义在平面上，设有一条光滑曲线C，其参数方程为：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b设有一个向量场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，则沿着曲线C对向量场F进行的曲线积分为：∫CF·ds=∫baF(x(t),y(t))·(dx/dt,dy/dt)dt其中ds表示弧长元素。
二、路径无关的定义如果对于同一向量场F和两条起点和终点相同但路径不同的光滑曲线C1和C2，它们所对应的曲线积分相等，则称该向量场F沿任意闭合光滑曲线C所做的功（或流过任意闭合光滑曲线C所做的流量）与路径无关。
三、平面上曲线积分与路径无关的条件1. 向量场F是保守场如果向量场F是保守场，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这是因为保守场的势函数只与起点和终点有关，与路径无关。
2. 曲线C是简单闭合曲线且向量场F在C内部连续如果曲线C是简单闭合曲线（即不自交且没有孔），并且向量场F在C内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过Green公式来证明。
Green公式指出，如果P和Q 在一个封闭区域D内有连续的一阶偏导数，则有：∫CF·ds=∫∫D(dQ/dx-P/dy)dxdy其中，C是D的边界，ds表示边界元素。
因此，如果向量场F=(P,Q)在简单闭合曲线C内部连续，则有：∫CF·ds=0这说明沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
3. 曲线C可以被分成若干条简单闭合曲线如果将曲线C分成若干条简单闭合曲线，并且向量场F在每个简单闭合曲线内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过对每个简单闭合曲线应用第二个条件来证明。
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
平面曲线积分与路径无关的条件
利用格林公式 , 得
Q P
P d x Q d y ( )dxd y 0
L
x 第5页/共17页
y
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
( x, y)
u( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)d y
( x0 , y0 )
具有性质：d u = P dx + Q dy
解 这里 P( x , y) 2x sin y , Q( x , y) x cos y , 在整个平面上成 立
P Q cos y . y x
由定理2, 曲线积分 第8页/共17页
(2x sin y)dx ( x cos y)dy AB
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
L1
Pdx Qd y
L1 L2
(根据条件(i))
所以
第2页/共17页
Pd x Qd y L2
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 (ii) (iii)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y) A(x0, y0)
( x, y)
为
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x x0
P(x,
y0
)第d7x页/共17页y
y0
Q(x,
y)d
y
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
曲线积分与路径无关的条件
并求出这个函数．
证明 : 令P( x, y ) = xy 2 , Q( x, y ) = x 2 y, 则
∂P ∂Q ∂P ∂Q P , Q, 和 在整个xoy面上连续，且 = 2 xy = . ∂x ∂x ∂x ∂x
故表达式xy 2 dx + x 2 ydy是某个二元函数的全微分.
L
(2)对于D内任意一条分段光滑曲线L, 积分∫ Pdx + Qdy
L
与路径无关 ;
(3)存在某一函数u = u ( x, y )定义在D上, 使得 du = Pdx + Qdy
在D内恒成立;
∂P ∂Q (4)在D内才处处有 = . ∂y ∂x 证明路线图 : (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,−1)再到点B (−1,0)的折线.
y
解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
1
I = ∫ (3 x 2 + y )dx + ( x − 2 y )dy = −2
L
−1
说明: 说明
(1)比较此定理的条件与格林公式条件的差别；
(2)应用判别积分与路径无关的条件 : ∂P ∂Q = ; ∂y ∂x
(3)二元函数的＂原函数＂及其求法．
方法(i) 方法
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y 0 ) dx
x0
x
y
• A( x0 , y0 )
• B ( x, y )
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2
12-4平面曲线积分与路径无关的条件
B
D
L
Pdx Qdy 0
Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy
L1
A
L2
2 )G 内任一条分段光滑的闭 曲线 L ，有 Pdx Qdy 0；
L
3 ) L 为 G 内任一条分段光滑的曲 线， 则积分
Pdx Qdy 与路径无关；
L
3) 4)
设 A ( x 0 , y 0 ) 是 G 内某一定点， B ( x , y ) 是 G 内任意一点 .
2
u ( x , y )的全微分，并求它的一
个原函数 .
我们知道，
4 ) 在 G 内存在可微函数 u ( x , y )，使 du Pdx Qdy ; 1 ) 在 G 内处处有 Q x
( x,y)
P y
.
并且 u ( x , y )
( x0 , y0 )
Pdx Qdy
2
2
, 其中 L 是以 (1 , 0 )为中心，
2 为半径的圆周，取逆时 针方向 .
解
x 1 cos 4 作闭曲线 L1 : , 逆时针方向， 足够小 y sin 使 L1 整个落在 L 围成的区域内 .
由格林公式知，积分
xdy ydx
L
16 x y
2 4
其中
x 2
L 为 由 点 O ( 0 , 0 ) 到 点 B (1 , 1 ) 的 曲 线 弧 y sin
.
解
P y Q x
y x
( x 2 xy ) 2 x
1
2
y
A
10-6平面曲线积分与路线无关的条件
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
证明： P 4sin xsin 3y cos x ， Q 3cos3y cos 2x ，
则 Q 6cos3ysin 2x P 在整个 xOy 面内恒成立，
x
y
因此，在整个 xOy 面内，
4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
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Q P 2x x y
所以
2 2 xy d x x dy 0 C
2 2 I ( x y ) d x ( x sin y)dy 其中L为 例2 计算 L
y 2 x x 2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧.
解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有
lim P( x x ) =P(x,y) x 0
u 即 P ( x, y ) x
类似有
u Q( x, y) y
故在D内存在一;Qdy, (3)成立
(3) (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy
y
B(x,y) • • D C(x+x,y) • A(x0,y0)
AB Pdx Qdy
只与B(x,y) 有关 o 故可令u(x,y)= AB Pdx Qdy
u u( x x, y ) u( x, y )
x
考察u(x,y)的可导性。 x, 使C ( x x, y) D
判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
即
奇点
P Q ＝ y x
在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函 数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点 称为奇点。 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路 径无关。则
u( x, y) AB Pdx Qdy A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B( x , y )
且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q y x
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
C ( x1 , y0 )
则
A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B ( x1 , y1 )
解 原式 L 2 y sin2 x sin 2 x dx sin4 x dy L e y ( x 1) dy
2
(0,0) d ( y sin4 x ) L edy
( 2,0 )
=0+0=0
小结
与路径无关的四个等价命题 条 在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
3
2 0
8 3
2 2 4 ( x 2 xy ) dx ( x y )dy . 计算 例3 L
其中
x L 为由点O(0, 0) 到点 B(1, 1) 的曲线弧 y sin . 2
解
P 2 ( x 2 xy ) 2 x y y P Q ， Q 2 y x ( x y4 ) 2 x x x 原积分与路径无关
(4) (1)
设L D是按段光滑的封闭的曲 线，
L围成的区域为，由于D是单连通的，因此 D, 由Green公式得 Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy 0 综合之定理成立
有关定理的说明： (1) 区域D是单连通区域 ;
(2) 函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数. 两个条件缺一不可。
第四节 平面上曲线积分 与路径无关的条件
一、定义 二、条件 三、应用
一、定义
定义1. 设区域 DR2. 若D内任一简单曲线所围 内部完全属于D. 则称D为单连域, 否则称D为复连域.
单连域
复连域
定义2. 设D是一开区域,P、Q在D 内有一阶连续偏导数,若对任 意两点A，B以及从点A到点B 的任意两条曲线L1和L2，恒 有
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
例5 计算曲线积分
L 2 y sin
2
x sin 2 x dx [sin x e
4
y ( x 1)2
]dy
其中L为 y 1 ( x 1)2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0) 的一 段弧。
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故原式
1
0
23 x dx 0 (1 y )dy . 15
2 1 4
2 设曲线积分 xy 例4 dx y( x )dy 与路径无关,
其中 具有连续的导数, 且( 0) 0 , 计算
( 1 ,1 ) ( 0,0 )
L
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
即 u u P, Q x y 2 u P 2 u Q 则 , xy y yx x
由于P、Q具有一阶连续偏导，
2u 2u 则 、 是连续的 xy yx 2 u P 2 u Q 即而 ＝ xy y yx x
P 1 Q y x
所以此曲线积分与路径无关，
y
L A x
取 OA ：y=0 0≤x≤2
0
所以
2 2 ( x y ) d x ( x sin y)dy L
OA ( x y)dx ( x sin y)dy
2 2
x 0 x dx 3
2 2
AC Pdx Qdy AB Pdx Qdy AC Pdx Qdy BC Pdx Qdy AB Pdx Qdy
BC Pdx Qdy x
积分中值定理
x x
P ( x , y )dx
P ( x x ) x
P ( x x ) x u 从而 lim lim x 0 x x 0 x
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
y x
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy 题 (4) 在D内, P Q
D
设连接A、B两点的弧段 L1、L2 D，如图 o 由(1)得
A
x
P d x Q d y 0 . AEBFA
Pdx Qdy
AEB Pdx Qdy BFA Pdx Qdy
即
L1
L2
Pdx Qdy
故(2)成立。
(2) (3) 取定A(x0,y0)D B(x,y) D 由(2)得
o
y1
0
x
x P( x, y0 )dx y Q( x1 , y)dy
0
x1
或 y Q( x0 , y )dy x P ( x, y1 )dx
0 0
y1
x1
三、应用
例1. 证明：对任一光滑的简单闭曲线C，有
2 2 xy d x x dy 0 C
y
C 0 x
证：因为 P=2xy，Q=x2，有
(2)
L Pdx Qdy在D内与路径L无关.
x y
(3) 在D内存在一个函数u(x,y),使得 u u du(x,y)=Pdx+Qdy, 即 P, Q
Q P (4) 在D内处处成立. x y
证明 采用循环论证 (1) (2) 设A、BD
y
L1 F
B
E
L2
L2
B L1
A
D
L
Pdx Qdy
1
L
Pdx Qdy
2
则称此曲线积分在D内与路径无关.
二、条件
定理2 设DR2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y) 在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条 件等价： (1) 对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有 C Pdx Qdy 0.