曲线积分与路径无关的问题之证明
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
曲线积分和路径的无关性
的圈数。例如当
n时
C
M
n2
cPdx Qdy
Pdx Qdx
Pdx Qdx
EA' A''E
EB'B''E
如果它按逆时针 方2向绕
的圈数为 ，按顺时
M
n1
针方向绕 M 的圈数为 n2 ，那么 n n1 n2 。
如果 D 内有 n 个奇点 M1, , Mn, ，在 Mi i 1,2, ,n
Ux, y 使 dU Pdx Qdy ，同时 Pdx Qdy 的曲
线积分与路径无关。在区域 D 内固定一点 M x0, y0 ，
对 点
D M
内任何点M x,
的积分，得
y
，沿两条直线
U x, y x Px, x0
y
l1 和
dx
y
y0
l2
Q
从点
x0 , ydx
M0 C
到
其中 C U x0, y0 ，同样不难验证 Ux, y 也是 Pdx Qdy
即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因
此，对区域 D 中任何闭路 C ，它或者不绕过奇点 M ， 或者绕过 n 周，这时积分值就是
t Pdx Qdy
的 n倍。只环绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域
D 的循环常数，记为 ，于是，对 D 内任一闭路 ，
C
这里 为沿闭路 cP按dx逆 Q时d针y 方n向绕
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线.
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
L D
为单连通区域 为复连通区域
{( x, y ) x 2 y 2 1}
区域 D 分类
多连通区域 ( 有“洞”区 域) 单连通区域 ( 无“洞”区
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向闭曲线 L 围成, 函数
P( x, y) , Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
①、②两式相加得:
①
②
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2 D1 Dn
L
k 1 n
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。
路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。
这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。
一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。
具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。
向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。
则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。
二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。
形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。
三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。
具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。
这个结论可以用斯托克斯定理来证明。
四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。
它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。
具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。
如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。
五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。
例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
平面上曲线积分与路径无关的条件
平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它通常用于计算沿着曲线的某个向量场的功或流量。
在实际应用中，我们经常需要计算一些与路径无关的曲线积分，这时就需要了解平面上曲线积分与路径无关的条件。
一、曲线积分的定义在平面上，设有一条光滑曲线C，其参数方程为：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b设有一个向量场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，则沿着曲线C对向量场F进行的曲线积分为：∫CF·ds=∫baF(x(t),y(t))·(dx/dt,dy/dt)dt其中ds表示弧长元素。
二、路径无关的定义如果对于同一向量场F和两条起点和终点相同但路径不同的光滑曲线C1和C2，它们所对应的曲线积分相等，则称该向量场F沿任意闭合光滑曲线C所做的功（或流过任意闭合光滑曲线C所做的流量）与路径无关。
三、平面上曲线积分与路径无关的条件1. 向量场F是保守场如果向量场F是保守场，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这是因为保守场的势函数只与起点和终点有关，与路径无关。
2. 曲线C是简单闭合曲线且向量场F在C内部连续如果曲线C是简单闭合曲线（即不自交且没有孔），并且向量场F在C内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过Green公式来证明。
Green公式指出，如果P和Q 在一个封闭区域D内有连续的一阶偏导数，则有：∫CF·ds=∫∫D(dQ/dx-P/dy)dxdy其中，C是D的边界，ds表示边界元素。
因此，如果向量场F=(P,Q)在简单闭合曲线C内部连续，则有：∫CF·ds=0这说明沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
3. 曲线C可以被分成若干条简单闭合曲线如果将曲线C分成若干条简单闭合曲线，并且向量场F在每个简单闭合曲线内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过对每个简单闭合曲线应用第二个条件来证明。
平面曲线积分与路径无关的条件
利用格林公式 , 得
Q P
P d x Q d y ( )dxd y 0
L
x 第5页/共17页
y
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
( x, y)
u( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)d y
( x0 , y0 )
具有性质：d u = P dx + Q dy
解 这里 P( x , y) 2x sin y , Q( x , y) x cos y , 在整个平面上成 立
P Q cos y . y x
由定理2, 曲线积分 第8页/共17页
(2x sin y)dx ( x cos y)dy AB
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
L1
Pdx Qd y
L1 L2
(根据条件(i))
所以
第2页/共17页
Pd x Qd y L2
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 (ii) (iii)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y) A(x0, y0)
( x, y)
为
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x x0
P(x,
y0
)第d7x页/共17页y
y0
Q(x,
y)d
y
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0