高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题

L
c
2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场 F (x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j ，
其中 P(x, y),Q(x, y) 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A 沿光滑曲线 L 运动到点 B ，求力场的力所作的功W 。
W = ∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy ，
{ } β
= ∫α
P[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ϕ ' (t) + Q[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ψ ' (t) + R[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ω ' (t) dt
这里
下限α 为曲线 C 的起点所对应的参数值，上限 β 为曲线 C 的终点所对应的参数
值。
例 1 计算 ∫L xydx + ydy ，其中
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧 L ： AB ,其线密度为
ρ (x, y) 求弧 AB 的质量 m 。
m = ∫L f (x, 则 L1 f (x, y)ds = L2 f (x, y)ds ，即对弧长的曲线积分
∫ 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 (1 + y 3 )dx + (2x + y)dy 的值最小。 C 解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令 C0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
∫ ∫ ∫ (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy = (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy − (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy
续偏导数且 ∂P = ∂Q 在 D 内恒成立； ∂y ∂x
(4) Pdx + Qdy 为全微分．
∫ 例 3 计算 (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy ,其中 L 是从点 O(0,0) 经圆周 L
(x − 2)2 + y 2 = 4 上半部到点 A(4,0) 的弧段。 解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.
线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论；而（II）中求ϕ ( y) 的表达式，
显然应用积分与路径无关即可.
Y 【详解】 （I）
l1
l2
o l3
C X
如图，将 C 分解为： C = l1 + l2 ，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C 相接，则
∫ ∫ ∫ ϕ( y)dx + 2xydy = ϕ( y)dx + 2xydy − ϕ( y)dx + 2xydy = 0 .
只能直接计算.这一圆周
L
的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
r cosθ r sinθ
,
(0
≤
ϑ
≤
2π
)
,
则
∫ ∫ I = xdy − ydx = 2π r 2 (cos2 θ + sin 2 θ )dθ = 2π .
L x2 + y2
0
r2
例 5 设函数ϕ ( y) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
L
OA
OB
[ ] [ ] ∫ ∫ 0
= x(−
x) + (−
x )(−
x )' dx + 1 x
x+
x(
x )' dx
1
0
∫ ∫ =
3 0
(−x 2
+
1 )dx
+
3 1
(x 2
+
1 )dx =
4
1
2
0
25
(2) 直线 AB 的方程为 x = 1, dx = 0 , y 从 −1到1,于是
∫ ∫1
xydx + ydy = ydy = 0
{ } b
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫a
P[x,
f (x)]+ Q[x,
f (x)]f
' (x) dx ；
若曲线 L 的方程为 x = g( y), y = c 对应于 L 的起点， y = d 应于 L 的终点，
则
{ } ∫ ∫d
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂Q ∂x
=
y2 − x2 (x2 + y2)2
=
∂P ∂x
,且 P(x, y) 与 Q(x, y) 在不含原点的任意一个区域内具有一
阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
∫ I = xdy − ydx = 0 .
L x2 + y2
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,
∫ ∫ f (x, y)ds = d f [x, g(x)]⋅ 1 + g '2 (x)dx ；
L
a
把线弧
L
的方程为
y=
f (x)
化作参数方程
⎧ x=x
⎨ ⎩
y
=
g(x)
，
(a ≤ x ≤ b)
，
∫ ∫ f (x, y)ds = d f [h( y), y]⋅ 1 + h'2 ( y)dy (c ≤ y ≤ d )
∫L
ϕ(
y)dx 2x2
+ +
2xydy y4
的值恒为同一常数.
∫ （I）证明：对右半平面 x>0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 ϕ( y)dx + 2xydy = 0 ；
C 2x2 + y4
（II）求函数ϕ ( y) 的表达式.
【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
(1) L 为抛物线 y 2 = x 上从点 A(1,−1) 到点 B(1,1) 的一段弧。 (2) L 为从 A 到点 B 的直线段.
解法 1 (1)由 y 2 = x 知 y 不是 x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运
用公式（3），这里 x = y 2 ， y 从 −1变到1，于是
∫ ∫ [ ] ∫ xydx + ydy = 1 y 2 ⋅ y ⋅ ( y 2 )' + y dy = 4 1 y 4dy = 4 。
{ } β
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫α
P[ϕ(t),ψ (t)]ϕ ' (t) + Q[ϕ(t),ψ (t)]ψ ' (t) dt
这里的α 是曲线 L 的起点 A 所对应的参数值，β 是曲线 L 的终点 B 所对应的参数
值，并不要求α < β 。
若曲线 L 的方程为 y = f (x), x = a 对应于 L 的起点， x = b 应于 L 的终点，则
这里 P(x, y) = 1 + xe2 y , Q(x, y) = x 2e2 y − y 2 ,
有 ∂Q = 2xe2y = ∂P ,且 P(x, y) 与 Q(x, y) 在全平面上有一阶连续偏导数.
∂x
∂y
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段 OA作为积分路径.于是
∫ ∫ (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy = (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy
L
−1
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫L+
Pdx
+
Qdy
其中 L+ 是 D 的正向边界曲线。
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设
f (x, y)
在曲线弧
L
上有定义且连续,
L
的参数方程为
⎧ x = ϕ (t)
⎨ ⎩
y
=
ψ
(t)
，
(α ≤ t ≤ β ) ,其中ϕ (t) 、ψ (t) 在 [α, β ]上具有一阶连续导数，且ϕ '2 (t) +ψ '2 (t) ≠ 0 ，
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊
情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设 D 是 xoy 平面上的一个开区域，P(x, y)
以及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对 D 内任意两点 A 与 B ，以及 D
∫ ∫ 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1、L2 ，恒有
Pdx + Qdy =
L1
Pdx + Qdy ，则称
L2
∫ 曲线积分 Pdx + Qdy 在 D 内与路径无关。 L
定理：以下条件等价
(1) 在区域 D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零；
(3) 设开区域 D 是一个单连通域，函数 P(x, y) 以及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶连