曲线积分和路径的无关性
3-2积分与其路径的无关性
10
柯西积分定理
设f (z) 是单连通区域D 上的解析函数，则对 D内的任一可求长的Jordan曲线 C , 有
c f (z)dz 0.
C D
说明：该定理的主要部分是 Cauchy于1825年建立；
它是复变函数理论的基础。
11
试着证明 Cauchy 积分定理:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C
这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？
5
观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终
点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积 分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分 路径的形状还有关． 前一类函数是解析函数．知道 f(z)=1也是解析函 数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而 与积分路径的形状无关． 由此，我们可提出猜想：
于是 Re z 1, dz idt,
y
i
1 i
Re zdz
1
tdt
1
1 idt
1
i.
C
0
0
2
y x2
1
1
o
x
1
C zdz 0 tdt 0 (1 it)idt
i.
4
注意1 从例 5 可以看出，曲线积分 zdz与积分路
C
径无关，但曲线积分 Re(z)dz与积分路径有关。
( z12
z02
).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
第二节 积分与路径的无关性
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(3)
1 0
z cos z d z z d sin z
0
1
1 0
sin z d z
分部积分公式：
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(4) 试沿区域 Im( z) 0 , Re( z) 0 内的圆弧 i ln( z 1) 计算积分 1 z 1 d z 的值. ln( z 1) 且 积函数在所设区域内解析， 被积函数 解： z 1 1 2 它的一个原函数为 ln ( z 1 ) , 所以 2 i ln( z 1) 1 1 2 [ ln 2 ( 1 i ) ln 2 2 ] 1 z 1 d z 2 ln ( z 1) 2 2 1 1 2 2 3 2 ln 2 [ ( ln 2 i ) ln 2 ] ln 2 i 2 2 4 32 8 8
内，
C2
C
2z dz 2 z 4
C1
2z 2z dz 2 dz 2 C2 z 4 z 4
C1
1 1 1 1 dz dz dz dz C1 z 2i C1 z 2i C2 z 2i C2 z 2i
2z 1 1 4 i 2 i 20 2ii z 2i z 4 0 z 2
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三、闭路变形定理和复闭路定理
对闭路作不经过被积函数 变成 奇点的连续变形
C3
f ( z) d z
C3
C2
f ( z) d z
f ( z) d z
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
第二型曲线积分与路径无关性的应用
过“ 微积分 ” 微元后 再乘。 第二型曲线积 分就 是函数和 坐标 乘。 当已知 ｘ ， ｙ两个方向的力 ， 求功 ， 或者 已知 ｘ ， ｙ ， Ｚ 分 别方向上 的流速 ， 求流
量时 ， 使 用第二 型曲线积分 法。 本文从 以下几个个方 面举例论述 了曲线积分与路径无关性的应用 ， 即求原 函数 、 计算曲线积分、 求微分
Ｌ Ｅ Ｂ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ ＋ Ｌ Ｆ Ａ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ ＝ ｑ 而 弧 脚和 弧 在 实 际 上
构 成了 一条 封闭 曲 线， 命名 为Ｌ 。 Ｌ Ｅ Ｂ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ Ｊ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ０ ，
可进一步转化为 Ｉ ， Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ： ０ ， 设曲 线Ｌ 同 成的区域为 Ｄ ， Ｄ
＜ ２ ＞设 有 向 曲 线 弧 为 ， 与一 为 一 对 反 方 向 的 有 向 曲 线
弧， 贝 ０ 有， Ｊ Ｌ Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ ＋ Ｑ （ ｘ ， ） ａ ｙ 一 Ｊ － Ｌ Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ ＋ Ｑ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｙ
『 』 （ 一 蛐＝ 』 尸 ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ， 由 于 Ｊ ， 肋＋ 劬： ０ ， 从 而 得 ，
此得出 Ｊ Ｉ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ —Ｉ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ＝ ０ ， 可转化为，
Ａ Ｅ Ｂ Ｊ ＡＦ Ｂ
、
第 二 型 曲线 积 分 与路 径 无 关性 的应 用
（ 一） 第二型 曲线积分与路径无关的模型介绍
例 ｌ ＜ １ ＞设 有 某 一 平 面 力 场 Ｆ （ ｘ ， ） ＝Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｉ ＋Ｑ （ ｘ ， Ｙ ） Ｊ， 公 式
例 ２设 弧 Ａ Ｅ Ｂ 和弧Ａ Ｆ Ｂ分 别 为 平 面上 的 单 连 通 区 域 （ Ｇ ） 内 的
4.路径无关
∂P ∂Q = ∂y ∂x
17 证明 (1) (2) 设 L , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 1
线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L
1
Pdx + Qdy
2
L2
B
L1
+∫
=∫
L1+L− 2
L− 2
Pdx + dy
A
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy
B
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
16
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y )
A(x0, y0 )
( x+∆x, y)
C(x + ∆x, y )
则
∆xu = u(x + ∆x, y) − u (x, y)
L
y = 2 x − x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； (0,0)到点(1,1)的一段弧
4
2、求曲线积分 I 1 =
I2 =
∫
AMB
( x + y ) 2 dx − ( x − y ) 2 dy 和
∫
ANB
的差. ( x + y ) 2 dx − ( x − y ) 2 dy 的差.其中 AMB
解
P ( x , y ) = xy 2 ,
Q ( x , y ) = yϕ( x ),
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
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的圈数。例如当
n时
C
M
n2
cPdx Qdy
Pdx Qdx
Pdx Qdx
EA' A''E
EB'B''E
如果它按逆时针 方2向绕
的圈数为 ，按顺时
M
n1
针方向绕 M 的圈数为 n2 ，那么 n n1 n2 。
如果 D 内有 n 个奇点 M1, , Mn, ，在 Mi i 1,2, ,n
Ux, y 使 dU Pdx Qdy ，同时 Pdx Qdy 的曲
线积分与路径无关。在区域 D 内固定一点 M x0, y0 ，
对 点
D M
内任何点M x,
的积分，得
y
，沿两条直线
U x, y x Px, x0
y
l1 和
dx
y
y0
l2
Q
从点
x0 , ydx
M0 C
到
其中 C U x0, y0 ，同样不难验证 Ux, y 也是 Pdx Qdy
即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因
此，对区域 D 中任何闭路 C ，它或者不绕过奇点 M ， 或者绕过 n 周，这时积分值就是
t Pdx Qdy
的 n倍。只环绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域
D 的循环常数，记为 ，于是，对 D 内任一闭路 ，
C
这里 为沿闭路 cP按dx逆 Q时d针y 方n向绕
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
那么由积分所定义的函数
例 计算
I
xdy ydx l x2 y2
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
。因此必存在原函数
的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形，并引进一
个重要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关的定理中，
它的理论是建立在两个假定之上（i）所考虑区域 是D单 连通的，即没有“洞”；（ii）函数 P， Q及其偏导数
在 D 内连续。如果这两个条件被破坏了，一般来说，上 面的那些断言将不会成立。
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
Pdx AB
Qdx
定理 若函数 Px, y,Qx, y 在区域 D 上有连续的
偏导数， D 是单连通区域，那么以下四条相互等价：
（i）对任一全部含在 D 内闭路 C ，
cPx, ydx Qx, ydy 0
（ii）对任一全部含在 D 内的曲线 l ，曲线积分
l Px, ydx Qx, ydy
与路径无关（只依赖曲线的端点）；
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
AA'' A' A
AB
所以
LPdx Qx, ydy t Pdx Qdy
周围作一环路使它不包含其他奇点，则沿闭路的积分 i 就是一个循环常数。区域 D 共有 n 个循环常数1, ,n,
，若 C 为任意的含在 D 内的闭路，它环绕点 Mi 的周
数为 ki ki 0,1,2, ，这里 ki 的算法和上述的 n
相同，则
n
c Pdx Qx, ydy kii i1
所有沿 D 内任意闭路的积分都有这样的形式。