曲线积分与曲面积分-格林公式

第十章
第三节格林(Green)公式
一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 格林公式
1. 区域连通性分类设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域；
平面单连通区域就是没有“洞”的区域
否则, 如果D内存在闭曲线l，它所围成的部分不完全属于D,则称D 为复连通区域.
平面复连通区域就是有“ 洞”的区域
2. 边界曲线L的正向边界曲线L的正向：当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的部分总在他的左边. 单连通区域的边界曲线L的正向: 逆时针方向. D L
设复连通区域 D 的边界曲线为 Γ = L + l1 + l2 + ··· + ln Γ 的正向：复合闭路 D (如图) l2
L + l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
l x
D1
∂ Q ∂P xd y − yd x ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ ( ∂x − ∂y ) d x d y = ∫∫ 0 d x d y = 0 D L+ l D
1
1
xd y − yd x ∫L x 2 + y 2 xd y − yd x xd y − yd x = ∫ −∫ 2 2 x +y x2 + y2 L+ l l = 0+ ∫ −
(x0, y0)
L x
(三) 平面曲线积分基本定理
设P ( x , y ), Q( x , y )在平面单连通域 G内有
一阶连续的偏导数, 如果存在可微函数 u ( x , y ), 使
du( x , y ) = P ( x , y )dx + Q( x , y )dy， ∀( x , y ) ∈ G
∂P 2 xy ∂Q =− 2 = ( x , y) ∈ G 2 ∂y ∂x x +y
虽然G不是单连通域 , 但 xd x + yd y I = ∫ =0 2 2 x + y C
⎧ x = r cos θ 作事实上， l : ⎨ ⎩ y = r sin θ xd x + yd y 则 I = ( ∫ − ∫ )( ) 2 2 x + y L+(− l ) − l ∂Q ∂P )d x d y + = ( ∫∫ ( − ∂x ∂y
1. 当L是闭曲线时,
(1) 若P, Q在L所围区域 D上有一阶连续偏导数，则 ∂Q ∂ P ∫ Pd x + Qd y = + ∫∫ ( ∂ x − ∂ y )d xd y –
L D
“+” ： L 取正向； “–” ： L 取负向. (2) 若P, Q在L所围区域 D上有奇点，则“挖洞”.
D
O
L x
解
P = y , Q = 3x − x
3
3
∂Q ∂ P − ) d x d y = ∫∫ [( 3 − 3 x 2 ) − 3 y 2 ]d x d y I = ∫∫ ( ∂x ∂y
D
D
= 3 ∫∫ [1 − ( x 2 + y 2 )]d x d y
D
= 3∫
2π
0
dθ ∫ (1 − ρ 2 ) ρ d ρ
且边界的方向对 D 来说都是正向. 4º 利用曲线积分求面积的一种新方法. 推论正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1 A = ∫ + xd y − y d x 2 ∂D
1 需证： A = ∫ + xd y − y d x . 2 ∂D
证
令P = − y , Q = x，则 ∂Q ∂ P − = 1+1 = 2 ∂x ∂ y
D
∂D
∫ +Pd x + Qd y
—— 格林公式其中∂D + 是D的边界曲线正向.
注 1º 格林公式的实质
沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系.
便于记忆形式: ∂ ∂ + ∫∫ ∂x ∂y d x d y = ∫ P d x + Q d y y . + Pd x + Qd – L ∂D D P Q
y P ( x , y) = − 2 , 2 x +y
∂P y2 − x 2 ∂Q = ( x, y) ≠ (0,0) = 2 2 ∂x ∂y x + y
∂P y2 − x 2 ∂Q = ( x, y) ≠ (0,0) = 2 2 ∂x ∂y x + y
若取 G = R , 则 G是单连通域，但 P， Q在( 0,0 )处无定义，故在 G内不是处处具有一阶连续偏导数 .
注求原函数 u ( x , y )的常见方法：
(1) 分项组合法； ( 2 ) 特殊路径法，如：折线法； u( x, y) = ∫ =∫
或
x x0
y G
( x, y) ( x0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)d y
y y0
P ( x , y0 )d x + ∫
Q ( x , y )d y
L
L + AO 封闭，负向
x:2a0
Py = e x cos y − 2, Q x = e x cos y − 1,
Py = e cos y − 2, Q x = e cos y − 1, Q x − Py = 1
应用格林公式, 有
L
x
x
y L O
A( 2,0) x
W = ∫ (e x sin y − 2 y + 1) d x + (e x cos y − x ) d y
的作用下，沿 L : y = 2 x − x 2 从点 O ( 0,0) 运动到 A( 2,0),
y L O
→
力所作的功.
A( 2,0) x
W 解需求： = ∫ (e x sin y − 2 y + 1) d x + (e x cos y − x ) d y
L不封闭，引入辅助线 AO : y = 0
则称 u(x, y) 是 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 在G内的一个原函数. 1 2 2 如： x d x + y d y = d[ ( x + y )] 2 1 2 ∴ u = ( x + y 2 ) 是x d x + y d y的一个原函数 . 2
定理10.5
若u( x , y )是P ( x , y )dx + Q( x , y )dy在单连通域G上的一个原函数，则第二类曲线积分
∂P ∂Q (4) 在G内, ≡ . ∂y ∂x
注 1º 定理中关于区域的单连通性和函数P、Q 的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可. 缺少一个，定理结论不一定成立. 反例1
I = xd y − yd x = 2π ≠ 0 2 2 x + y .
x Q( x , y ) = 2 x + y2
∫
L
L : 包围 ( 0 , 0 )的任一条正向闭曲线
∈ C (1) (G ), 则以下四个命题等价:
(1) ∀分段光滑闭曲线 C ⊂ G , ( 2)
→
∫C P d x + Q d y = 0;
∫L Pdx + Qdy在G内与路径无关 ;
( 3) ∃ u = u( x, y ), 使 d u = P d x + Q d y (∀( x , y ) ∈ G )；
∫A( x1 , y1 ) P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy
= u( x , y )
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
B ( x2 , y2 )
—— 推广的牛顿-莱布尼茨公式
= u( x2 , y2 ) − u( x1 , y1 )
⌒ 其中A，B ∈ G，且AB ⊂ G .
−y x 令P= 2 , Q= 2 2 x +y x + y2
y L
D
则当 x + y ≠ 0时,
y2 − x2 ∂P ∂Q = 2 = 2 2 ∂x ∂x ( x + y )
O
2
2
x
(1) 当(0,0) ∉ D 时, 由格林公式知 xd y − yd x ∫ L x2 + y2 = ∂Q ∂ P ∫∫ ( ∂x − ∂y ) d x d y
l
y L
O
l x
xd y − yd x x2 + y2
D1
( 其中 l − 的方向
=∫
2π 0
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r
= 2 π.
取逆时针方向) (注意格林公式的条件)
F = (e x sin y − 2 y + 1, e x cos y − x ) 例4 求一质点在力 :
y
y0
( x, y)
= ∫ Q ( x0 , y ) d y + ∫ P ( x , y ) d x
y0 x0
y
x
( x0 , y0 )
O x0
x x
( 3) 偏积分法 .
二、典型例题
例1 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
2 xydx + x 2dy = 0 ∫
L
证 Q P = 2 xy , Q = x 2
2º 格林公式的条件：
D D
L L
① L封闭，取正向; (负) ② P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.
3º 对复连通区域 D 应用格林公式，
⎛ ∂Q ∂ P ⎞ ⎟ ∫∫D ⎜ ∂ x − ∂ y ⎠ d xd y = ∫∂D+ P d x + Q d y ⎝

合集下载

高等数学第十章曲线积分与曲面积分第三节格林公式及其应用

y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)

曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)

1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3

x 2d s y 2 d s z 2d s

( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线

是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3

2
2
2

通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L

第十章曲线积分与曲面积分学习指导

第十章曲线积分与曲面积分学习指导一、内容提要(一) 对弧长的曲线积分1．定义：()()∑⎰=→∆=ni i i i Ls f dx y x f 1,lim ,ηξλ，其中()n i s i ,,2,1 =∆表示第i 个小弧段的弧长{}i ni s ∆=≤≤1max λ。

2．性质：具有与定积分类似的性质。

如线性性质，对积分路径的可加性等。

3．计算：(1) 若曲线L 的界数方程为()t x x =，()t y y =(βα≤≤t )且()t x '，()t y '在[]βα,上连续，()y x f ,在L 上连续，则()()()[]()()[]⎰⎰'+'=βαdt t y t x t y t x f ds y x f L22,,。

(2) 若曲线L 的方程为()x y y =()b x a ≤≤且()t y '在[]b a ,连续，()y x f ,L 上连续，则()()[]()[]⎰⎰'+=baLdx x y x y x f ds y x f 21,,。

(3) 若曲线L 的极坐标方程为()θρρ=(βθα≤≤)，且()θρ'在[]βα,上连续，()x f 在L 上连续，则()[]()()⎰⎰'+=βαθθρρθρθρd f ds y x f L2sin ,cos ,。

(4) 若空间曲线L 的方程为()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,上连续()z y x f ,,在L 上连续，则()()()()[]()[]()[]()[]⎰⎰'+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L222,,,,。

(二) 对坐标的曲线积分1．定义：()()()()[]∑⎰=→∆+∆=+ni i i i i i i Ly Q x P dy y x Q dx y x P 1,,lim ,,ηξηξλ其物理意义是变务()()j y x Q i y x P F,,+=沿有向弧段L 所作的功，即()()⎰⎰+==LLdy y x Q dx y x P s d F W ,,2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性()()()()⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ,,,,3．计算：(1) 若曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '在[]βα,或[]αβ,上连续，()y x P ,，()y x Q ,在L 上连续，则()()()()[]()()()[](){}dt t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L⎰⎰'+'=+βα,,,,(2) 若曲线L 的直角坐标方程为()x y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的x 的值为a 和b ，又()x y '在[]b a ,或[]a b ,上连续，则()()()[]()[](){}dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P baL⎰⎰'+=+,,,,(3) 若空间曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，()t z z =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,或[]αβ,上连续，则()()()()()[]()()()()[](){⎰⎰'+'=++βαt y t z t y t x Q t x t z x y t x P Rdz dy y x Q dx y x P L,,,,,,()()()[]()}dt t z t z t y t x Q '+,,(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式设()y x P ,和()y x Q ,及一阶导数在闭区域D 上连续，则有()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=+L D dxdy y Q x P dy y x Q dx y x P ,, 其中分段光滑曲线L 是区域D 的正向边界。

格林公式的推导

格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它连接了曲线积分和曲面积分。

以下是格林公式的推导过程：
第一步，首先我们需要知道曲线积分的基本公式，即∫Pdx+Qdy=∫∫
(dQ/dx-dP/dy)dxdy（在曲线所围成的有界闭区域D上从A点出发到B点结束）。

第二步，根据线积分的基本公式，我们可以将格林公式左边∫Pdx+Qdy转化为一个二重积分。

第三步，接下来我们需要对二重积分进行化简。

利用散度定理，我们可以将二重积分转化为一个曲面积分。

第四步，根据曲面积分的基本公式，我们可以将格林公式右边转化为一个曲面积分。

第五步，最后我们需要将两个曲面积分相等，得到格林公式。

综上所述，格林公式的推导过程主要涉及到曲线积分的基本公式、散度定理和曲面积分的基本公式等知识点。

线性代数@总结----曲线积分和曲面积分

曲线、曲面积分一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（一）第一类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰±=±LLLds y x g k ds y x f k ds y x g k y x f k),(),()],(),([2121；②21,),(),(),(21L L L ds y x f ds y x f ds y x f L L L+=+=⎰⎰⎰设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ),(),(:，则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()](),([),(22其中)(),(t t ψϕ在],[βα上有一阶连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ注 1：若曲线L 由方程b x a x y ≤≤=),(ϕ确定，则⎰⎰'+=baLdx x x x f ds y x f )(1))(,(),(2ϕϕ注 2：若曲线L 由极坐标方程βθαθ≤≤=),(r r 表示，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=)()()sin ,cos (),(22【例】计算⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线y y x 222-=+【详解】曲线L 可参数化：⎩⎨⎧+-==,sin 1,cos :θθy x L 此时θ的变化范围为：,20πθ≤≤θθθθd d ds =+=22cos sin ，故⎰⎰⎰-=-+=+Ld d ds y x ππθθθθθ20202222sin 12)1(sin cos⎰-=πθθθ202cos 2sin2d ⎰⎰=-+-=πππθθθθθθ2228])2cos 2(sin )2sin 2(cos [2d d （三）计算第一类曲线积分的步骤1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程）2、利用公式dt t z t y t x ds)()()(222'+'+'=求出弧长微分ds 的值3、将参数方程和ds 的值代入积分，进行计算二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（一）第二类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(②⎰⎰⎰+++=+21),(),(),(),(),(),(L LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ，其中21L L L +=注：第二类曲线积分与曲线的方向有关，若L -表示L 的反方向，则⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(（二）第二类曲线积分的计算设),(),,(y x Q y x P 在有向曲线弧L 上有定义且连续。

高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式

4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2

高等解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算数学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y

顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y

2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高等数学电子案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高等数学电子案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高等数学电子案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解记 L所围成的闭区域为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作位于 D 内圆周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2

格林公式推导

格林公式推导
格林公式是一种用于计算曲线或曲面的积分的方法。

它是由英国
数学家格林所提出的。

格林公式的推导可分为曲线积分和曲面积分两
种情况。

当计算曲线积分时，可以将其分为线积分和面积分部分。

线积分
可以表示为：
$\int_{C} Pdx + Qdy$
其中，C表示曲线，P与Q分别为C中每个点的横坐标和纵坐标。

然后，将它转化为形如以下的形式：
$\oint_{C} Pdx + Qdy = \iint_{D} \frac{\partial
Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} dA$
其中D为被C所围成曲线的内部区域。

这个公式可以通过斯托克
斯定理推导得出。

而当计算曲面积分时，可以表示为：
$\iint_{S} F\cdot n ds$
其中，F表示曲面上每个点的向量场，n为曲面上每个点的法向量，ds为曲面上每个点的微元面积。

这个公式可以通过高斯定理推导得出。

需要注意的是，这两种公式相似，但基于的原理不同。

但无论如何，通过这两个公式可以方便地计算曲线与曲面的积分。

曲线积分与曲面积分重点总结+例题

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。