曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学分析中有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的一些常见方法。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，它描述了函数沿着曲线的变化情况。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们分别对应着不同的计算方法。
对于第一类曲线积分，也称为向量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P、Q是定义在曲线上的连续函数。
那么第一类曲线积分的计算公式为∫C Pdx+Qdy=∫[a,b](P(x(t)),Q(y(t)))·(x'(t),y'(t))dt，其中[a,b]是曲线的参数区间。
对于第二类曲线积分，也称为标量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为f(x,y)，其中f是定义在曲线上的连续函数。
那么第二类曲线积分的计算公式为∫C f(x,y)ds=∫[a,b] f(x(t),y(t))·|r'(t)|dt，其中[a,b]是曲线的参数区间，|r'(t)|表示曲线在参数t处的切线长度。
除了以上介绍的基本计算方法外，还有一些特殊情况下的曲线积分计算方法，比如在极坐标系下的曲线积分、在三维空间中的曲线积分等。
这些方法在具体问题中有着重要的应用，需要根据具体情况进行灵活运用。
总之，曲线积分的计算方法是微积分中的重要内容，它涉及到向量场、标量场以及曲线的参数方程等多个概念。
掌握曲线积分的计算方法对于理解微积分的理论和应用具有重要意义，希望以上介绍能够对大家有所帮助。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
曲线积分和格林公式学习总结
高数作业姓名：徐艳涛班级：电子商务1133学号：201161102348曲线积分和格林公式学习总结§1对弧长的曲线积分1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为sz y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M dsz y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量dsz y x f z y Ix),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f tt z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γdsz y x )(222++，其中Γ：t x cos =，ty sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中Γ为球面2222=++z y x与平面yx =的交线；解 Γ的参数方程为tz t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Ldsy ||=24d cos 242=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中:Γ⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z ay x )0(>a解Γ:⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222∴⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γdsz y x )(222++=⎰Γdsa )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22a a ds a π1.2 第一类曲线积分公式：=应用前提:1.曲线L 光滑,方程可以写成为:2.函数在L 上有定义，且连续。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
第一型曲线积分格林公式
第一型曲线积分格林公式
曲线积分格林公式(Gauss Quadrature Formula)是一种高效的数值积
分的方法。
该方法可以有效的用有限的线性组合来近似曲线积分。
格林公式的一类是第一型格林公式，它提供一个比较容易实现的计算，有效的计算出一阶及二阶以上被积函数不论奇偶或异类在指定定积区
间的积分值。
这类公式可以用如下等式来描述：
$$
\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\sum_{k=1}^{n}w_{k}f\left(\frac{b-
a}{2}x_{k}+\frac{a+b}{2}\right)
$$
其中$w_{k}$和$x_{k}$分别为积分时要用到的权重及积分点。
使用第一型格林公式通常来说有以下优点：
- 可以完成计算可以使计算极为高效快速；
- 结果有更高的精确度，相比传统的梯形法与辛普森法有更优越准确的
结果；
- 第一型格林公式可以很容易的使用，不需要反复研究甚至编程就可以
实现曲线积分；
- 这类公式可以有效适用于一阶及二阶以上的被积函数；
- 其实现与容易计算使第一型格林公式在计算实数积分的应用很广泛。
第十章曲线积分与曲面积分
1 2( y)dy.
L
c
(c d)
推广: : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
L
R3 2
[
s in 2
2
]
R3( sin cos ).
兰州交通大学数理与软件工程学院
几何意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 柱面在点( x, y)处的高时,
兰州交通大学数理与软件工程学院
例1 计算 L yds, 其中 L 是抛物线 y x2 上点
O(0,0) 与点 B(1,1) 之间的一段弧。
解 由于 L 由方程
给出，因此
y x2
(0 x 1)
yds
1
x2
1 ( x2 )'2 dx
1
x
1 4x2 dx
L
0
积分弧段
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
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2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分
L f ( x, y)ds 存在.
3.推广:
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
高等数学格林公式课件
他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向： 复合 闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)
D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分
D
P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解 令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
格林公式曲线积分
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
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y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
x 0.52 y2
.
A( 0, 1) B(1, 1)
图 21-21
易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足
Q x
P y
( x
0.5)2 y2 2 y( x [ ( x 0.5)2 y2 ]2
0.5)
.
设 L1 为由点 A(0, 1) 到点 B(1, 1), 再到点 C(1,1), 最
前页 后页 返回
后到点 D(0,1) 的折线段. 因为 L 与 L1 可被包含在某
一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy L1
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB BC CD
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
前页 后页 返回
定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
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x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L
L f ( x , y )ds, 即
n
f ( i ,i ) si L f ( x , y )ds lim 0 i 1
积分弧段
弧元素
L
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds
5
对弧长的曲线积分
2. 存在条件
当 f ( x , y )在光滑曲线弧L上 连续,
O
A
B
y
L
( i , i ) M i
M1 M 2
M n1
M i 1
si
取近似 取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si
x
求和
M ( i ,i ) si
i 1 n
n
近似值
精确值
3
取极限 M lim ( i ,i ) si
L L
1
2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds
L1 L2
(对路径具有可加性)
( 2) 函数f ( x, y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
记作
L f ( x, y )ds
7
对弧长的曲线积分
4. 性质 (1)
L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L
10
L
对弧长的曲线积分
三、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
定理 设 f ( x , y )在曲线弧L上 有定义且连续,
x (t ) L的参数方程为 ( t ),其中 y (t ) ( t ), ( t )在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c
12
d
ds 1 2 ( y )dy
对弧长的曲线积分
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t )
L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形 (3) L : ( ),
i 1 n
( i , i ) M i
O
A
M1 M 2
L
B
M n1
M i 1
si
④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
x
4
对弧长的曲线积分 n
注意: 被积表达式都定义在曲线上, f ( i ,i ) si 即满足曲线的方程. i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数Βιβλιοθήκη 15对弧长的曲线积分
例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即
2
⌒ 解 由曲线 L(半圆周 ABC如图 )的 2 2 2 方程x y R , 得
ds 1 y 2 dx
x y R ( x 0).
2 2
y
A
L
B x
O
C
R x2 y2 dx dx 2 | y| y
第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral
1
第一节
第一类曲线积分
问题的提出
对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算
几何意义与物理意义
小结 思考题 作业
2
第十章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 ,, M n1
五、小结
对弧长曲线积分的概念
(四步:分割、取近似、求和、取极限） 对弧长曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) 对弧长曲线积分的应用
(曲线的质量、质心、转动惯量、引力)
L f ( x, y )ds
1
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , 2 f ( x , y )ds, 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
9
对弧长的曲线积分
例
计算 L ( x y )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R2 .
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 13
f ( x , y , z )ds
对弧长的曲线积分
如果积分路径 L是两个曲面的交线
1 ( x , y, z ) 0 z f ( x, y ) 或 z g( x , y ) 2 ( x, y, z ) 0
(2)
L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数)
L ⌒ f ( x, y )ds
( AB )
L (⌒ BA)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
f ( x , y )ds
8
对弧长的曲线积分
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 , y ) 在一条光滑(或分段光滑)的 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则 分曲线L的对称性.
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
对弧长的曲线积分要求 ds 0 (1)化为定积分的下限 一定要小于上限 (2) 积分值与曲线方向无关.
注意
( )
11
对弧长的曲线积分
L
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
y
y2 2x
( 2,2)
O
x
例2 求I xyzds , 其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段 . (0 2 )
解 I
2
0
a cos sin k a 2 k 2 d
2
1 2 2 2 ka a k 2
0
i 1
对弧长的曲线积分
二、对弧长的曲线积分的概念
设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列
M1, M 2 , , M n1 把L分成n个小段. 设第i个小段的
y
1.定义
长度为 si ,又( i ,i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f ( i ,i ) si , 一点, ③ 并作和 f ( i ,i ) si ,
2 (t ) 2 (t )dt
( )
f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d
L f ( x , y )ds
推广 : x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )
(x
y )ds
2
19
对弧长的曲线积分
四、几何意义与物理意义
几何意义 (1) 当 f ( x , y ) 1时, L 弧长
L ds
L
(2) 当 f ( x, y)表示位于L上的
z f ( x, y)
柱面在点( x , y )处的高时,