第二型曲线积分格林公式精品PPT课件
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式是向量分析中的两个重要公式，它们分别用于计算三维空间中曲面上的积分和二维平面上曲线上的积分。
高斯公式（Gauss's Theorem）：
高斯公式用于计算三维空间中一个封闭曲面S所包围的体积V上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_S F·dS = ∫∫∫_V (∇·F) dV
其中，F是一个向量场，S是封闭曲面，V是S所包围的体积，∇·F是F的散度，∮_S F·dS表示F在S上的通量。
这个公式表明，一个向量场在一个封闭曲面上的通量等于该向量场在曲面所包围的体积内的散度的体积分。
格林公式（Green's Theorem）：
格林公式用于计算二维平面上一个简单闭曲线C所包围的区域D上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_C F·dr = ∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA
其中，F是一个二维向量场，可以表示为(P, Q)，C是简单闭曲线，D是C所包围的区域，∂Q/∂x和∂P/∂y分别是Q关于x的偏导数和P关于y的偏导数，∮_C F·dr表示F在C上的通量，∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA表示(∂Q/∂x -∂P/∂y)在D上的面积分。
这个公式表明，一个二维向量场在一个简单闭曲线上的通量
等于该向量场在曲线所包围的区域内的一个特定函数的面积分。
这个特定函数就是向量场的旋度的负值。
以上两个公式都是向量分析中的基本定理，它们在物理学、工程学和其他领域中有广泛的应用。
数学分析 第二型曲线积分 课件(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。
例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。
为此在曲线B A内插入1-n 个分点121,,,-n M M M ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i =-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，则分割T 的细度为i ni s T ∆=≤≤1max 。
设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。
又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记),(1i i M M y x L i i∆∆=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W ii ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。
因而力),(y x F 沿曲线B A所作的功近似的等于∑∑∑===∆+∆≈=ni i i i ni i i i ni i y Q x p W W 111),(),(ηξηξ当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。
格林公式及其应用【高等数学PPT课件】
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.
格林公式及其应用-课件
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分 段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都 有这样的性质： 积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2
11.2.3第二类、格林公式
B
A
Wi F(i ,i ) M i 1M i
局部用常力代替 变力，用直线代 替曲线
Wi F(i ,i ) M i 1M i
{P( i ,i ), Q( i ,i )} {xi , yi } P( i ,i )xi Q( i ,i )yi
计算对坐标的曲线积分的要点是：
P ( x, y )dx Q( x, y )dy L {P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] ( t )}dt
(1)因为P( x, y )、Q( x, y )定义在曲线L上, 所以x, y应换 成 (t ), (t ); (2)dx、dy是有向小曲线弧在坐标轴上的投影, dx = ( t )dt ,
第二-型线面积分省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
n {cos ,cos ,cos }
Gauss公式
定理3（Gauss定理 )
设（1）是以分片光滑曲面 为边界曲面的空间闭域 ；
(2) 函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在上有一阶
连续偏导数，
则 Pdy dz Qdz dx Rdx dy
L Pdx Qdy L(P cos Q cos ) ds
格林公式
定理1(Green定理 )
设D是以逐段光滑曲线 L为边界的平面区域 , P( x, y),Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数 ,则
L
Pdx
Qdy
D
( Q x
P y
)dxdy
(Green公式)
其中曲线积分沿 L的正向.
S(D)
lim
d 0
[P(i ,i , i )xi
i 1
Q(i ,i , i
)yi
R(i ,i , i )zi ]
(L P( x, y)dx Q( x, y)dy L为平面曲线）
质点在变力 F ( x, y，z) 作用下,沿有向曲线L运动, 变力 F ( x, y，z) 所作的功为
W L P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
[P( x, y, z)x(t) Q( x, y, z) y(t) R( x, y, z)z(t)]dt
L为平面曲线
x y
x(t) y(t )
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
P( x(t ),
y(t ))x(t )
Q( x(t ),
y(t )) y(t )dt
L由 y y( x)给出, x a 起点, x b 终点,则
第二型曲线积分
L P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
=
l 0
{ P [ x ( s ) , y ( s ) ] x ' ( s ) Q [ x ( s ), y ( s ) ] y ' ( s ) } d s
上式右端可转为某第一型曲线积分。
与重积分的关系 —— 格林公式
概念： 区域内任意闭曲线可不经区域外的点 单连通区域 ： 连续地收缩为一点。 复连通区域：非单连通区域 边界曲线的正方向： 人沿边界正向走，区域在其左边。
x i = x i x i 1 ,
y i = y i y i 1 . 在每个小弧段 M i 1 M i 上任取一点 i ( i , i ), n 作和式 [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] ,
取极限 lim [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] , 其中 为 n 个
2 2
x y = 1 , 取正向。
2 2
x d y y d x , 其中 L 是单位圆周 2 2 x y
解： 注意到 x y = 1 , 因此 I = L x d y y d x . 在单位圆域 D 上应用格林公式得
I = L x d y y d x = 2 d = 2 .
z
dS dS = . 解： I = S 2 2 2 S 2 2 x y z R z
取 S 上如图所示的面积微元（阴影 区域）， 则其面积 d S = 2 R d z ,
dz
dS 2 R = 2 2dz. 这样 2 2 R z R z H H dz = 2 π arctan . 故 I = 2 R 0 2 2 R R z
格林公式曲线积分
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
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y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
x 0.52 y2
.
A( 0, 1) B(1, 1)
图 21-21
易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足
Q x
P y
( x
0.5)2 y2 2 y( x [ ( x 0.5)2 y2 ]2
0.5)
.
设 L1 为由点 A(0, 1) 到点 B(1, 1), 再到点 C(1,1), 最
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后到点 D(0,1) 的折线段. 因为 L 与 L1 可被包含在某
一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy L1
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB BC CD
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
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定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每