《完全平方公式》整式的乘法与因式分解PPT教材课件
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《完全平方公式》(第1课时)示范公开课教学PPT课件【部编北师大版七年级数学下册】
C． (a2b2 1)2
D．(a2b 1)2
（4） 2xy x2 y2 等于（ D ）
A． (x y)2
B． (x y)2
C． (x y)2
D． (x y)2
随堂练习
2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ 24xy ； （2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ 9a4+2a2+1 （3）( 9a4 )-24a2c2+( 16c4 )＝( 3a2
① （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1 ② （m 2）2 __m__2___4_m___4___ ③ （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1
④ （m 2）2 __m__2___4_m___4____
结果中都有两个数的平方和，而①②中间项2p＝2·p·1，4m＝2·m·2， 恰好是两个数乘积的2倍；
（1） ( x 6)2 ( x )2 2 6 x ( 6 )2
（2） (2m n)2 ( 2m )2 ( 2 2m n) n2
探究新知
几何解析：你能根据图1和图2的面积说明完全平方公式吗？
探究新知
图1大正方形的边长为(a＋b)，面积就是（a b），2 同时，大正方形 可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为 b2，ab，ab，a2 ， 因此，整个面积为 a2 ab ab b2 a2 2ab b2 ，即说 明（a b）2 a2 2ab ．b2
； -4c2)2
随堂练习
3.利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
人教版八年级上册数学《完全平方公式》整式的乘法与因式分解PPT课件(第1课时)
(2) (m+2)2=(_m__+_2_)(_m__+_2_)_=_m_2_+__4_m_+_4_；m2+2×2m+2
2 (3) (p-1)2=__(_p_-1_)_(_p_-1_)_=__p_2_-_2_p_+_1_； P2-2p+12
(4) (m-2)2=_(m__-2_)_(_m_-_2_)_=__m_2_-_4_m_+_4_； m2-2×2m+22
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式
子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值.
八年级上册 RJ
完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
随堂练习
1.（2020·陕西）4x2-4xy+y2 B. 4x2-2xy+y2 C. 4x2-y2 D. 4x2+y2
(2x)2 2·2x·y+y2
4x2 4xy+y2
2.计算下列式子： (1) (-2m-n)2 ； 解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
新知探究 跟踪训练
例1 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
(2) (a+b+c)2 .
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
有些整式相乘需要先作适
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
《完全平方公式》整式的乘法与因式分解ppt教材课件
例题1：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 ×
证明：(a - b)2 = [a + (-b)]2 = a2 +2a (-b)+(-b)2 = a2 -2ab + b2 .
初识完全平方公式：(a - b)2 =a2 -2ab + b2 .
1.结构特征：左边是二项式（两数和或差）的平方；右边是两数的 平方和加（或减）这两数乘积的2倍.
2.几何解释：
（2）（ab + 1）2 （- ab - 1）2 = _(a_b_+__1_+_a_b_-1_)_[_a_b_+_1_-(_a_b_-_1_)]____ = ____2_a_b_×__2________ = ______4_a_b_________；
例3 若9a2 - kab + 4b2是一个完全平方式，则k _±___1_2_ . 已知(x + y)2 20，(x - y)2 40，求下列各式的值. (1)x2 + y2； (2)xy. 解：(x + y)2 20，(x - y)2 40， 即x2 + 2xy + y2 20，① x2 -2xy + y2 40. ② ①+②得2(x2 + y2 )=60，所以x2 + y2 =30. ①-②得4xy=-20，所以xy=-5.
《完全平方公式》整式的乘除PPT课件(第1课时)
《完全平方公式》整式 的乘除PPT课件(第1课时
)
第 一章 整式的乘除
完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; 〔重点〕 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
1.多项式与多项式的乘法法那么
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2.由下面的两个图形你能得到哪个公式？
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
随堂训练 1．以下计算正确的选项C是( )
A．(a＋m)2＝a2＋m2 CB.． 2(xs－12t)22＝＝4sx22－－t22x＋14
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2
B
D
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11 B、9 C、-11
D、-9
5.如果 x 42 x2 kx 16, 那么k
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
)
第 一章 整式的乘除
完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; 〔重点〕 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
1.多项式与多项式的乘法法那么
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2.由下面的两个图形你能得到哪个公式？
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
随堂训练 1．以下计算正确的选项C是( )
A．(a＋m)2＝a2＋m2 CB.． 2(xs－12t)22＝＝4sx22－－t22x＋14
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2
B
D
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11 B、9 C、-11
D、-9
5.如果 x 42 x2 kx 16, 那么k
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
《完全平方公式》整式的乘除PPT教学课件
(3) (4x－3y)2 =16x2－24xy+9y2；
课堂小结
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ，
（a-b)2= a2-2ab+b2
.
二、公式特点:
1.两个公式的左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个
“符号”不同；
2. 右边都是二次三项式，其中两项为左边两数的平方和，
另一项是左边两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示)；
2
ab+ b2 +a2+ab
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_____________。
由此可以得到等式： （a+b）2 =ab+ b2 +a2+ab
(a-b) 2
（2）图B中，正方形的面积为Ⅲ的面积为______________，
2ab-b
是（ ）
C、2 D、4
BA、8 B、16
3.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到
正确结果是42+
+252,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是( D )
A 10
B 20
C±10
D±20
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11
5.如果
B、9
C、-11
D、-9
B、﹣12
C、±12
D、±6
本课小结
完全平方公式的运算法则：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去） 这
两数积的两倍。
完全平方公式：
(a b )2 a 2 2ab b 2
课堂小结
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ，
（a-b)2= a2-2ab+b2
.
二、公式特点:
1.两个公式的左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个
“符号”不同；
2. 右边都是二次三项式，其中两项为左边两数的平方和，
另一项是左边两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示)；
2
ab+ b2 +a2+ab
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_____________。
由此可以得到等式： （a+b）2 =ab+ b2 +a2+ab
(a-b) 2
（2）图B中，正方形的面积为Ⅲ的面积为______________，
2ab-b
是（ ）
C、2 D、4
BA、8 B、16
3.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到
正确结果是42+
+252,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是( D )
A 10
B 20
C±10
D±20
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11
5.如果
B、9
C、-11
D、-9
B、﹣12
C、±12
D、±6
本课小结
完全平方公式的运算法则：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去） 这
两数积的两倍。
完全平方公式：
(a b )2 a 2 2ab b 2
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第14章 整式的乘法与因式分解 14.2.2 完全平方公式
14.2.2 完全平方公式
快乐预习感知
1.完全平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2
.
2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的 平方和 ,加上(或减
去)它们的积的 2倍 .这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式 .
3.计算:(x+3)2= x2+6x+9
,(x-3)2= x2-6x+9 .
4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号 .
即是:遇“加” 不变 ,遇“减” 都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c
B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]
互动课堂理解
互动课堂理解
2.乘法公式的综合运用 【例2】 计算:(1)(2a+b-c)2; (2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c). 分析(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公 式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反 项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的. 解: (1)原式=[(2a+b)-c]2 =(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc. (2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)] =(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2) =4b2-a2-9c2+6ac.
快乐预习感知
1.完全平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2
.
2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的 平方和 ,加上(或减
去)它们的积的 2倍 .这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式 .
3.计算:(x+3)2= x2+6x+9
,(x-3)2= x2-6x+9 .
4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号 .
即是:遇“加” 不变 ,遇“减” 都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c
B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]
互动课堂理解
互动课堂理解
2.乘法公式的综合运用 【例2】 计算:(1)(2a+b-c)2; (2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c). 分析(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公 式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反 项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的. 解: (1)原式=[(2a+b)-c]2 =(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc. (2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)] =(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2) =4b2-a2-9c2+6ac.
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例题
运用乘法公式计算： （1）（x+2y-3）（x-2y+3） 这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 有两个括号，只能是平方差公式 先变形 原式=[x+(2y-3）][x-（ 2y-3）] 再化简
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 只有一个括号，只能是完全平方公式 先变形 再化简
完全平方和
观察式子，回答下列问问题：
①等式左边都是两个数__和__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方__的___和____，再加上这两个数 __积___的__两__倍____
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
ab ab
=
完全平方差
观察式子，回答下列问问题： ①等式左边都是两个数__差__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方___的__和____，再减去这两个数 __积__的___两__倍____
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
已知x，y的和与差的平方求积
已知x，y的和与差的平方求积 答案：8
已知x，y的和与积求平方和 答案：7
已知x，y的和与积求平方和 答案：69
已知x，y的和与积求平方和 答案：11或-11
总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
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练习 运用完全平方公式计算：
例题 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
在等式右边的括号内填上适当的项：
巧记口诀
2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式 怎么推导完全平方公式？ 利用完全平方公式计算应该注意什么？
例题 运用完全平方公式计算：
解：
ab
ab
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方式乘多项式的法则
（a + b）（p + q）= ap + aq + bp + bq
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加．
这个式子有什么特点？
这是两个数的平方和 你知道怎么算这种式子吗？
下面就来探究一下．
探究 计算下列各式：
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
=
=
完全平方公式
= = 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．
公式特点
= =
①积为__二_____次___三____项式． ②积中两项为两数的平方_和____，另一项为两数的积____的_2_倍_____ ，且符号与等式左边符号相__同______． ③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
点睛：“-”变，“+”不变，要变全都变 思考：怎么检验添括号是否正确呢？ 从右往左去括号
练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）