曲线积分与格林公式学习总结
第二型曲线积分、格林公式
∵T
1
{dx, dy,dz} 1 {dx, dy, dz} 。
(dx)2 (dy)2 (dz)2
ds
∴ ATds A{dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。
∴第二型曲线积分也可记作
C P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz ，
{P[x(t), y(t), z(t)]x(t) Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)]}dt
10
第五章 多元函数微分学及其应用
注（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x(t), y y(t) 时，
其中 cos , cos , c o s 是 C 上点 ( x, y, z) 处对于所给方向的
单位切向量T 的方向余弦。
15
第五章 多元函数微分学及其应用
二、格林公式
1、单连通区域与复连通区域 若平面区域 D 内任一封闭曲线围成的部分都属于 D，则 D 称为单连通区域，否则称为复连通区域。
t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
连续，则
C A( x, y, z) ds C Pdx Qdy Rdz
把曲线段 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai
(i
1,2,,
n)
，第
i
段弧
⌒
Ai-1 Ai
A1
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用
y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
17-1格林公式及曲线积分与路径无关的条件
第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。
曲线积分和格林公式学习总结
高数作业姓名：徐艳涛班级：电子商务1133学号：201161102348曲线积分和格林公式学习总结§1对弧长的曲线积分1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为sz y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M dsz y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量dsz y x f z y Ix),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f tt z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γdsz y x )(222++，其中Γ：t x cos =，ty sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中Γ为球面2222=++z y x与平面yx =的交线；解 Γ的参数方程为tz t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Ldsy ||=24d cos 242=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中:Γ⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z ay x )0(>a解Γ:⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222∴⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γdsz y x )(222++=⎰Γdsa )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22a a ds a π1.2 第一类曲线积分公式：=应用前提:1.曲线L 光滑,方程可以写成为:2.函数在L 上有定义，且连续。
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线.
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
L D
为单连通区域 为复连通区域
{( x, y ) x 2 y 2 1}
区域 D 分类
多连通区域 ( 有“洞”区 域) 单连通区域 ( 无“洞”区
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向闭曲线 L 围成, 函数
P( x, y) , Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
①、②两式相加得:
①
②
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2 D1 Dn
L
k 1 n
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
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曲线积分与格林公式学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、 曲线积分1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ（1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mds z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ（2）第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t3第一类曲线积分（1）公式：=应用前提:1）曲线L 光滑,方程可以写成为:2）函数在L 上有定义，且连续。
公式变形：若L 为平面曲线，L 方程为，则公式可以写成为：(2)常用计算法：1)对于曲线L 可以写成为参数形式的，可直接套用公式． 2）对于平面曲线，可以用公式的变形．3）计算中，根据图形特点，直接将ds 化为dx,dy 或dz ．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4）当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．4、对坐标的曲线积分：⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中Γ是一条定向曲线，)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线Γ的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，则切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e弧长元素ds =dt t z t y t x 222)(')(')('++定向弧长元素=r d),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(=ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222++'++++==ds e ds τγβα=)cos ,cos ,(cos⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=∙⎰ΓF r d =∙⎰ΓF ds e τ=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ⎰Γ++'+'+'222)(')(')(')(),,()(),,()(),,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例 1 把第二类曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中Γ为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。
解 方向向量=τ)1,22,22(，其方向余弦22cos ,21cos ,21cos ===γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++2),,(2),,(),,(。
5、第二类曲线积分的应用：（1）若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）Γ移动到点B ，在移动过程中，这质点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F),,(),,(),,(++=，则该力所作的功W=∙⎰ΓF r d=⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(（2）第二类曲线积分的计算方法：1）若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++ba dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([2）若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([例 1 计算⎰Γ-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的一段弧。
解 ⎰Γ-+ydz zdy dx x 2=θθθθπd a a k ]cos sin [0222223⎰--=ππ2333a k -。
6两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:二、格林公式1格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L 的正向:设区域D 是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L 的正向规定为:当人沿着L 行走时,区域D 总在他的左边.若与L 的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理1 设闭区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数),(y x P ,),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q (1)其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L 的正方向.公式(1)称为格林公式.证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D 既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D 可表示为X 型区域,不妨设D={(x,y) : a ≤x ≤b, )(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ} (如图)则 ⎰⎰∂∂Ddxdy y P=⎰b a dx dy yy x P x x ⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=⎰-badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ又 ⎰LPdx =⎰1L Pdx +⎰2L Pdx =⎰badx x x P )](,[1ϕ +⎰badx x x P )](,[2ϕ=⎰--badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ因此有 ⎰L Pdx =⎰⎰∂∂-Ddxdy y P同理,D 可表示为Y-型区域,不难证明:⎰LQdy =⎰⎰∂∂Ddxdy xQ将上面两式相加得⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .(ii)对于一般的区域D,即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域),则可以在D 内引进若干条辅助线把D 分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用Ｇreen 公式,然后相加即成.如图中D 的边界曲线L,通过作辅助线AE 将L 分为L 1,L 2,同时将区域D 分为D 1,D 2,它们都满足上述条件,于是⎰→++EAL QdyPdx 1=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D dxdyy P x Q ,⎰→++AE L Qdy Pdx 2=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 上面两式相加,并注意到⎰→+EAL 1=⎰1L +⎰→EA,⎰→+AEL 2=⎰2L +⎰→AE,⎰→AE=⎰→-EA.又L=L 1+L 2, D= D 1+D 2, 于是⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .注:在Ｇreen 公式中,当x Q =, y P -=时,有yPx Q ∂∂-∂∂=1–(–1)=2, 代入公式,得 ⎰+-Lxdy ydx = ⎰⎰Ddxdy 2=A 2 (其中A 为D 的面积)于是 ⎰-=L ydx xdy A 21. (2)[例5] 计算椭圆12222=+by a x 围成的面积.解: 椭圆的参数方程为 t a x cos =, t a y sin =, π20≤≤t . 由式(2) , 得 A=⎰--π20)]sin (sin sin .cos [dt t a t b t b t a=⎰+π2022)sin (cos 2dt t t ab =ab π. 三、平面曲线积分与路径无关的条件1、第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:⎰-++Ldy x y dx y x )()(中,当L 的端点固定在(1,1)点和(4,2)点时,若L 取不同的路径,所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A 为起点,B 为终点的曲线1L 和2L ,有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx .定理: 设Ｇ是一个单连通的开区域,函数),(y x P ,),(y x Q 在Ｇ内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的 1)yPx Q ∂∂=∂∂在D 内恒成立; 2) 0=+⎰LQdy Pdx 对G 内任意闭曲线L 成立;3)⎰+LQdy Pdx 在G 内与积分路径无关;4) 存在可微函数),(y x u u =,使得Qdy Pdx du +=在G 内恒成立. 证 1)⇒2). 已知yPx Q ∂∂=∂∂在G 内恒成立,对G 内任意闭曲线L,设其所包围的闭区域为D,由格林公式=+⎰LQdy Pdx ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 00==⎰⎰D dxdy2) ⇒3).已知对G 内任一条闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx . 对G 内任意两点A 和B,设1L 和2L 是G 内从点A 到点B 的任意两条曲线(如图),则-+=21L L L 是G 内一条封闭曲线,从而有⎰+=LQdy Pdx 0=⎰+1L Qdy Pdx +⎰-+2L Qdy Pdx 。