定积分与二重积分的互化

２ － ｙ ２
ｄｙ
２ － ｘ ２
!
＋∞
－∞
１ ｅ "２π
２ － ｙ ２
２ － ｘ ２
ｄｘ） ２＝ （
!
－∞ ＋∞
＋∞
－∞
１ ｅ "２π ｄｘｄｙ，
ｄｘ）
!
１
!
＋∞
－∞
ｂ ａ 分析 这里要化定积分为二重积分 ， 关键是将 ｘ － ｘ
１ ｅ ２ " π
ｄｙ） ＝ １ ２π
! !ｅ
－∞
２ ２ ＋ ∞ － ｘ ＋ｙ ２
ｌｎｘ
利用极坐标变换可得： （
ｂ ａ 用一个定积分表示出来 ， 实际上 ｘ － ｘ ＝
ｌｎｘ
１ ０
!ｘ ｄｙ
ｙ ０ ｙ
１
!
－∞
１ ｅ ２ " π
２ － ｘ ２
ｄｘ） ２＝
! ＝ !（ ｘ － ｘ ｙ＋ １
ｂ ｂ ａ
ｂ ａ 解： ｘ － ｘ ｄｘ＝ ０ ｌｎｘ ａ
１
例２
! !（ ｘ ｂｙ） ｄｘ＝ !ｄｘ !ｘ ｄｘ １） ｄｙ＝ ｂ 。 !ｙ＋１１ ｄｙ＝ ｌｎ １＋ ０ １＋ ａ １ ｅ ｄｘ ． 计算 ! "２π
ｙ ０ ａ ａ ｂ ａ ＋∞
２ － ｘ ２
１
ｂ
ｂ
１ ２π
! ｄθ! ｒｅ ｄｒ １ ｅ ｄｘ＝ １． 即 ! "２π
－∞ －∞ ＋∞
２ － ｘ ２
２π
＋∞
２ － ｒ ２
－∞
［ ２］
－∞
分析 由概率统计的知识我们知道 ， 若随机变量服从 正态分布 ， 其概率密度为 0 （ ｘ） ＝
１ ｅ "２π
２ － ｘ ２
摘要 ： 本文通过范例介绍了如何用二重积分解决定积分问题和如何用定积分解决二重积分问 题 ， 实现了两者在一定程度上的互化 ， 为积分问题的计算和证明等提供了计算技巧 ， 拓宽了解题途 径。 关键词 ： 二重积分 ； 定积分 ； 互化 中图分类号 ： Ｑ１７２．２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １６７１－ ９１４Ｘ（ ２００８ ） ０１－ ００１２－ ０３
Ｄ
&ｆ
２
（ｘ）ｆ ２（ｙ）（ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ｄｘｄｙ≥０， 即
若
Ｄ
&ｅ
－ ｙ２
ｄｘｄｙ 表 示 为 先 ｙ 后 ｘ 的 累 次 积 分 ， 即
１ １
Ｉ≥０，由此可知原命题成立。 注例 ４ 的一般结论为 ： 若 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在 ［ ０， １］上均为单调
增加的连续函数 ， 则
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
化二重积分为定积分
计算二重积分 ， 通常是将二重积分化为累次积 分。累次积分中积分变量的次序有两种 ， 一种是先 ｘ 后 ｙ， 另一种是先 ｙ 后 ｘ。一般而言 ， 由于积分区域不 是矩形区域 ， 选择不同积分次序的累次积分 ， 积分变
!ｅ ｄｙ， 显然 Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｅ ， 所 以 原 式 Ｉ＝ !Ｆ （ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ （ ｘ） １ ０－ !Ｆ＇ （ ｘ） ｄｘ＝Ｆ （ １） ＋ １ ｅ １＝ １ （ １－ １ ） ． !ｘｅ ｄｘ＝－ ２ ０ ２ ｅ
此外还可以仿照例 ４ 得出下列结论 ： 设 ｆ（ｘ）为［ ０， １］上的单调递减的连续函数， 且 ｆ（ｘ）＞０， 则
２
Ｄ
&
ｅ－ ｙ２ｄｘｄｙ＝
１
! !
０
１
１
ｄｘ
ｘ
ｅ－ ｙ２ｄｙ＝
! !ｅ
０
１
１
（
－ ｙ２
ｘ
ｄｙ） ｄｘ，
－ ｙ２
!ｘｆ （ｘ）ｄｘ ≤ !ｆ （ ｘ） ｄｘ ． !ｘｆ （ｘ）ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ
ｘ
!ｆ（ ｔ） ｄｔ，
０ ｘ
ｕ
则 Ｆ＇ （ ｕ ） ＝ｆ（ ｕ ） ， 由 分部
ｘ
!（ !
０ ０
１
"ｘ
ｓｉｎｙ ｄｙ） ｄｘ 令 Ｆ（ ｘ） ＝ ｙ
!
０
Hale Waihona Puke "ｘｓｉｎｙ ｄｙ， ｙ ｘ
显然， 且Ｆ（ ０） ＝ Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｓｉｎ " ｘ － ｓｉｎｘ ，
ｙ
则Ｉ＝
!
Ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ（ ｘ） １ ０－ ０
２ ２ ａ ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ａ ａ
ｂ
ｂ
ｂ
ｂ
量和积分上下限是不同的。 很多情况下 ， 两种不同次 序的累次积都可以计算出相应的二重积分 ， 不过由 于受被积函数和积分区域几何形状的影响 ， 可能一 种情况下计算简单而另一种情况下计算却很复杂。
ｘ２ 当被积函数中含有 ｅ± ，ｓｉｎｘ２， ｓｉｎｘ ， １ ， (ｓｉｎｘ 等时 ，
２
３
［３］［５］
０
１
２
０
１
１
１
３
２
３
２
０
０
０
０
由于这些函数的原函数都不是初等函数 ， 在这种情 况下 ， 先 ｘ 后 ｙ 的累次积分是不可行的 ， 只能选择先 ｙ 后 ｘ 的累次积分。一般情况下 ， 选择合适的累次积 分的原则是既要使计算可行又要使得计算简单 ［ １］。 关 于这个问题在文 ［ １］ 中已有研究。但是利用累次积分 计算二重积分也有一定的缺陷 ， 经验不足时不能正 确选择积分次序 ， 即使积分次序的选择正确也可能 不能熟练地根据积分区域确定积分变量的上下限 ， 积分区域的几何形状复杂时有时还要对积分区域进 行分割。 这些缺陷使我们想到 ， 不如直接将二重积分 化为一次定积分 ， 用定积分的分部积分法 ， 从而使问 题变得简洁明了 ， 易于计算。计算二重积分
!ｇ（ ｘ） ｆ （ｘ）ｄｘ ≥ !ｆ （ ｘ） ｄｘ 。 !ｇ（ ｘ） ｆ （ｘ）ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
Ｄ
&ｅ
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｄｘ !ｅ
０ ｘ
－ ｙ２
但 ｄｙ， 这时累次积分无法计算。
换个思路 ， 直接利用定积分的分部积分法 ， 我们发现 计算是可行的。 解
例６
０ π π ｘ ｘ ０ ０ ０ ０
ｓｉｎ ｔ ｄｔ， 计算 设 ｆ（ ｘ） ＝ ０ π －ｔ
!
ｘ
π
线 ｙ２＝ｘ， 直线 ｘ＝０，ｙ＝１ 围成 ． 对于这个问题 ， 从被积函 数ｆ（ｘ，ｙ）－ ｅ 可以看出 ， 选择先 ｘ 后 ｙ 的累次积分计算 是可行的 ， 先 ｙ 后 ｘ 的累次积分是不可行的 ， 并且此 时不能应用定积分的分部积分法。这也就说明了不 是所有的二重积分问题都可以化为定积分从而应用 定积分的分部积分法 ， 该方法有时虽然好用 ， 但有局 限性 ， 不是万能的。 能不能用该方法归根到底与被积 函数和积分区域的几何形状有关。
Ｉ＝
Ｄ
&
ｆ ２（ｘ）ｆ ３（ｙ）（ｙ－ ｘ）ｄｘｄｙ．
（ ２）
０≤ｙ≤１ ，故& ｅ ) ０≤ｘ≤ｙ
Ｄ － ｙ２
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｅ－ ｙ ｄｙ !ｄｘ
２ ０ ０
１
ｙ
将 （ １） 、 （ ２） 相加 ， 并注意到 （ ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ≥０， 故 ２Ｉ＝
＝
!ｙｅ
０
１
１ １ ｄｙ＝ １ ｅ－ ｙ２ １ ０＝ ２ （１－ ｅ ） ２
０ ｘ ｘ ０ ０ ０ ｘ ｘ ０ ０
ｘ Ｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ｕＦ（ ｕ） ０－ ０
原命题得证。 若要计算二重积分
＝ （ ｃｏｓ １ － ｓｉｎ １ ） ＋（ １ － ｃｏｓ １ ） ＝１ － ｓｉｎ １．
Ｄ
#
ｅ ｄｘｄｙ， 其中 Ｄ 是由抛物
１ ２
!ｆ（ ｘ） ｄｘ． 解 !ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ !（ !ｓｉｎ ｔ ｄｔ） ｄｘ， 令 Ｆ（ ｘ） ＝ ! ｓｉｎ ｔ ｄｔ ， π －ｔ π －ｔ
１ ０
＝－ １ ２
ｘ － ｓｉｎｘ ） ｄｘ !ｘ（ ｓｉｎ " ｙ ｘ !ｓｉｎ " ｘ ｄｘ＋ !ｓｉｎ ｘｄｘ
０ １ ０
１
! !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ｘ !ｆ（ ｔ） ｄｔ－ !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ !（ ｘ－ ｕ） ｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ !ｔｆ（ ｘ－ ｔ） ｄｔ＝ !ｆ（ ｘ－ ｕ） ｕｄｕ＝右式，（ 令 ｔ＝ｘ－ ｕ ）
令 Ｆ（ ｘ ） ＝
－ ｙ２ ｘ １ １ ０ ０ １ － ｘ２ － ｙ２ ０
此题用定积分的分部积分法计算的结果与上述 结果一致 ， 这样就拓宽了二重积分的计算途径 ， 使累 次积分次序的选择更加随意。
－ １３ －
第 ７ 卷 第 １期
襄樊职业技术学院学报
１
２００８ 年第 １ 期
例 ５ 计算二重积分
!ｄｘ !
注 ： １） 本题用到了定积分与积分变量符号无关的性 质， 即
!ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ !ｆ（ ｙ） ｄｙ。 ２）本结论是柯西不等式（ ! ｆ（ ｘ） ｇ（ ｘ） ｄｘ） ≤ ! ｆ （ ｘ） ｄｘ． !ｇ （ ｘ） ｄｘ在ｇ（ ｘ） ＝ １时的一个特例。
ａ ａ ｂ ｂ ２ ２ ａ ａ ｂ ２ ａ
ｂ
ｂ
ｘ
ｌｎｘ
例４
１
设 ｆ（ ｘ） 为 ［０，１］上的单调增加的连续函数 ，
１ ０ １ ０
! !ｆ （ ｘ） ｄｘ 证 明 由 于 ≥ !ｘｆ （ ｘ） ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ Ｉ＝ !ｘｆ （ ｘ ） ｄｘ !ｆ （ ｘ ） ｄｘ－ ! ｆ （ ｘ） ｄｘ ! ｘ ｆ （ ｘ） ｄｘ