定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx
定积分Word 文档
一、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）定理 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()F x 是它在该区间上的一个原函数，则有()()()()()()b b a a f x dx F x F b F a f x dx F x C==-=+⎰⎰例1计算121dx x--⎰ 解：2ln 2ln 1ln |||ln 11212-=-==----⎰x dx x例2设1(0)()(0)x x x f x e x -+≥⎧=⎨<⎩ ，求21()f x dx -⎰ 解：202110()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 02102210(1)1()|()|32x x e dx x dx e x x e ----=++=-++=+⎰⎰注意：在定积分的计算中，要注意带绝对值的积分和分段函数的积分，按照积分可加性计算。
二、 定积分的计算（一）、凑微分法例3求210x xe dx -⎰ 解 222211001211001(2)2111()()|(1)222x x x x xe dx x e dx e d x e e -----=--=--=-=--⎰⎰⎰ 可见，这种计算方法对应于不定积分的第一类换元积分法，即凑微分法。
（二）、换元积分法------（换元必换限）例4计算30⎰ 解：t =，则 21x t =- 2dx tdt =当0x =时，1t = 当3x =时 2t =；得232011.2t tdt t -=⎰⎰38= 练习： ⎰+411x dx解：令t x =，则tdt dx t x 2,2==，当2,4;1,1====t x t x ，原式=()2211212121112ln(1)2((2ln 3)(1ln 2))2(1ln 3ln 2)321ln 2tdt dt t t t t ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-+=---=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰例5 若)(x f 在],[a a -上连续，则为奇函数为偶函数)()(,0,)(2)(0x f x f dx x f dx x f a a a⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-。
定积分的应用总结
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
2013-7-15 杨涛 过控10 7
2
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二、极坐标系情形
d
设由曲线r ( ) 及射线
、 围成一曲边扇
形，求其面积．这里， ( ) 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
2013-7-15
立体体积 V
杨涛 过控10
b
a
A( x )dx.
11
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例 1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所 得立体的体积. 解 取坐标系如图 R
底圆方程为
o
2
y
x y R
2 2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形 1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan , 截面面积 2 1 R 2 立体体积 V (R x 2 ) tan dx 2 R 3 tan . 2杨涛R 3 2013-7-15 12 过控10
2013-7-15
2
3
0
2
(1 3 cos t 3 cos 2 t cos 3 t )dt 5 2 a 3 .
杨涛 过控10 17
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绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
2a 2a
y
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
B x x2 ( y ) 2a C x x1 ( y ) A o 2 a x
2013-7-15 杨涛 过控10 23
[全]高等数学之定积分的应用方法总结[下载全]
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关于定积分的应用这一部分内容，考研数学大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。经常用到的关于定积分应用的计算公式如下：
（一）平面图形面积
（二）平面曲线的弧长
（三）旋转体体积
（四）旋转曲面面积
题型一：求平面图形的积
例1.
分析：该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形面积计算公式可得
解：
题型二：求平面曲线的弧长
例2：
解：
题型三：求旋转体的体积
例3.
解：
总结：对于定积分的应用需要熟练掌握在各种情形下计算公式，然后直接套用公式计算得到结果。
定积分应用总结
一、主要内容
二、典型例题
一、主要内容
微 元 法 的所 特求 点量
解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
1、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s
2
( )
2 r ( ) r ( )d
(4) 旋转体的侧面积
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
极坐标情形
r ( )
d
r 1 ( )
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
定积分的应用 文档
§4.4 定积分在实际中的应用一、液体的静压力在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压为，这类问题也可用定积分来计算。
例12 一圆柱形水管半径为1米，若管中装水一半，求水管阀门之所受的静压力解: 取坐标系如图，此时变量x表示水中各点的深度，它们变化区间是［0，1］，圆的方程为x2+y2＝1。
图5-30由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等，要计算所求的压力，可按公式压力＝压强×面积计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理知识，有P=ωx(吨／米2)，W=1吨／米3，因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式，但是，如果将闸门分成几个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强P=wx可看成不变。
1 选取深度［x,x+Δx］，所受到的压力为ΔF，则ΔF≈wx·2yΔx=wx·2Δx2 dF=wx2dx3 F＝∫102wx dx=2w(- (1-x2) 3／2 )｜10)＝＝(吨)二、功例13设有一直径为20米的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。
解本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度x的单位质点所需作的功不同，而对同一深度x的单位质点所需作的功相同，因此如图建立坐标系，即oy轴取在水平面上，将原点置于球心处，而ox轴向下(此时x表示深度)这样，半径可看作图x2+y2＝100在第一象限中部分绕ox轴旋转而成的旋转体，深度x的变化区间是［0，10］。
图5-31因同一深度的质点升高的高度相同，故计算功时，宜于用平行于水平面的平面截半球成许多小片来计算。
1 选取区间［x,x+Δx］相应的体积ΔV≈πy2Δx=π(100-x2)Δx所以抽出这层水需作的功ΔW≈wπ(100-x2)Δx·x=πwx(100-x2)Δx其中W=1吨／米3是一立方米的水重2 dw=πwx(100-x2)dx3 W＝πwx(100-x2)dx＝πw x(100-x2)dx＝－［(100-x2)2］＝×10４＝2500πW≈7854(吨／米)图5-32假若本题改为把水抽到水池上方10米高的水箱中，需做的功又是多少呢，请读者自己解决一下。
定积分计算方法总结,DOC
定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
4.
5.
6.
7.
8.
二、
1.
2.
3.
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则
>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
2.
M，
<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法六、。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分应用的小结
sin8
t(3a
sin
t
cos2
t)d
t
32 a3
105
【例6】 一容器的内侧是由曲线 y x2 绕 y 轴旋转而成的
曲面,其容积为 72 m3 ,其中盛满水, 若将容器中的水从容 器的顶部抽出 64 m3 , 至少需做多少功? （长度单位：m 重力加速度为 g m / s2 , 水的密度 103 kg / m 3 ）
【解1】 dV 2 ( 2x x2 x)(2 x)dx
V 2
1
(
2 x x2 x)(2 x)dx 2 2 .
0
23
【解2】 dV [ (2 x)2 (2 y)2 ]dy
[ (2 (1 1 y2 ))2 (2 y)2 ]dy
V 1 [ (2 (1 1 y2 ))2 (2 y)2 ]dy 2 2 .
g
谢谢
3.引力。
主要内容
11 内容小结 12 典型例题
【例1】设 D 是由曲线 xy 1 0 与直线 y x 0 及 y 2
围成的有界区域，求区域 D 的面积.
【解1】 S
1
(2 x)dx
1
2 (2
1 )dx
2
1
x3 ln 2 2来自解2】S2(
1
y)dy
1y
3 ln 2 2
【例2】设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 ( ),
6
6
求 L 所围平面图形的面积.
【解】
S1 2
6
cos
2
3d
6
6 cos 2 3d 0
1
6 (1 cos 6 )d
20
12
【例3】设平面图形 A 由 x2 y2 2x 与 y x 所确定,求图 形 A 绕 x 2 旋转一周所得旋转体的体积.
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定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使
用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物
理问题等．
1. 定积分的运算性质
(1) b
b
kf (x)dx
k f (x)dx(k 为常数 ).
a a
(2) b
b
f 1 ( x)dx
b
2 ( x)dx.
[ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx
f a a a
b
c b 其中 a<c<b
(3) f (x)dx
f (x)dx f ( x)dx(
a
a c
2．微积分基本定理
如 果 f ( x) 是 区 间 [a ， b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 F '
( x)
f ( x) ， 那 么
b
F (a)
f ( x)dx F (b)
a
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3. 求定积分的方法
（ 1）利用微积分基本定理就定积分①对被积
分函数 , 先简化 , 再求定积分 .
3
(1-2sin 2
)d
( 2
x 23
) x
(-cos x) sin x 例如： 0 2 注： 3
， ②分段函数 , 分段求定积分 , 再求和 . （被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）
1．计算积分
3
2 2x
3 | dx
| x
2
解 1.
由于在积分区间 [ 2,3] 上，被积函数可表示为
| x
2
2x 3|
x 2
2x 3 , 2 x
1,
( x 2 2x 3) , 1 x
3.
3
2x 3 | dx
1
2x 3) dx
3
2x 3)dx 13 .
所以| x 2
( x 2
(x
2
2
2
1
（2）利用定积分的几何意义求定积分
1
2
dx
1
1 x 如定积分 0
4 ，其几何意义就是单位圆面积的 4 。
（课本 P60 B 组第一题 ）
(3) 利用被积函数的奇偶性
a
a.
若
f ( x) 为奇函数，则 f (x)dx
a ；
a
a
b.
若
f ( x)
为偶函数，则
f ( x)dx 2 f (x)dx
；其中
a
0 。
a
2 2( x 3
+5x 5
)dx 0
例题： 1.
第3题）
2
（同步训练 P32
a
a
a
2dx 4a
2.
(x cos x -5sin x 2)dx(x cosx -5sin x)dx
a
a
a
6
8
6
f ( x)dx
3) (2007
f ( x)dx
枣庄模拟 ) 已知 f(x) 为偶函数，且 0
，则
6
等于（B ）
Ａ. ０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ .16 （同步训练 P30 第 6 题）
4．利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
(1)S
b
f ( x)dx;
a
(2) S
b b
f ( x)dx
f ( x)dx;
a a
(3) S
c b c b f ( x)dx
f (x) dx
f (x)dx
f ( x)dx;
a c
a
c
(4) S
b g( x)] dx
[ f (x)
a
方法总结： 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1) 画出图形，（ 2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；
(3) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；。
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(4) 写出平面图形面积的定积分的表达式；(5) 运用微积分基本定理计算定积分，求面积．
5. 定积分在物理中的应用
（ 1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v v(t ) v(t)
0 ，那
么物体从时刻 t a 到t
b(a b) 所经过的路程为：
b v(t )dt
s
a
（ 2）变力做功问题
W
b F ( x)dx
a
巩固练习：
1．由直线 y
0, x e, y
2x 及曲线 y
2
所围成的封闭的图形的面积为 ( )
x
A. 3 2 ln 2
B.
3
C.
2e 2
3 D.e
2．由曲线 y
sin x, y cos x 与直线 x
0, x
所围成的平面图形 ( 图中的阴影部分 ) 的面积
2
是 .
2
2
dx
7．4 x
.
8．曲线 y 2 ＝x 与 y ＝ x 2 围成的图形的面积为 ______________．
巩固练习答案：
1． B
1
e 2
2
1 e
1
2 3，故选 B.
2xdx
dx x
|0 2ln x |1
1
x
2． 2 2
2
故 S
2 4 (cos x sin x)dx
2 (sin x
cos x) |04 2 (
2
2 1)222
2
2
3． e
1
4．
10
3
S
xdx
( x 2)dx
3
4
2
4
2
3 2 10 .
2
x 2
(
x
2x)
42
4
4
2
3
2
2
3
3
y
1
y=x
,3
3
y= 3
(3,3)
1
(1,1)
y= x
O
x
5． 3
6． 4
ln3
3．在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x 0, x 1, y 0 与曲线 y e x
围成的封闭图形的面积
1 3
1
dx 3 x dx 4 ln 3
则所求区域面积为
S 1
3 是.
3
x
1
4．曲线 y
0, y
x , y x 2 所围成的封闭图形的面积为
．
2
x 2
dx
7．
根据积分的几何意义，由图可得
4
，故填 .
5．由直线 x ＝－ ， x ＝ ， y ＝ 0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为
．
3
3
( 2
x 23
1
6．曲线 xy
1与直线 y x 和 y
3 所围成的平面图形的面积为
_________.
8．
1
S
1
0 ( x
x 2
)dx
1 x 3 ) 1
，故选 A ．
3
3
3
3。