七大积分总结

七大积分总结

一． 定积分

1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：

a=x 0

把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]，

记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:

f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n

1

ξ

记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑⎰=→∆==n

i i i b

a x f I dx x f 1

0)()(lim ξλ

其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，

∑=∆n

i i

i

x

f 0

)(ξ称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。 关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即

⎰

⎰⎰==b

a

b a

b

a

du u f dt t f dx x f )()()(。

（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。

（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ

→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：

例：∑⎰=∞→=n

i n n i f dx x f 1

1

0n 1

)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理

定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义

对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分

⎰

b

a

dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)

小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰b a

dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质

线性性质（性质一、性质二）

性质一 ⎰⎰⎰+=±b

a

b b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([a

和差的积分等于积分的和差；

性质二 ⎰⎰=b

a

b dx x f k dx x kf )()(a

（k 是常数）

性质三 对区间的可加性 不管a,b,c 相对位置如何，总有等式 性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则a b dx x f b

-=⎰a )(

性质五（保号性） 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则0)(≥⎰b

a

dx x f

推论一 设f(x)≤g(x),x ∈[a,b]，则⎰⎰≤b

a

b dx x g dx x f )()(a

推论二

dx x f dx x f b

a

b

a

⎰⎰

≤)()( (a

性质六（估值定理） 设M 和m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则

)()()(m a b M dx x f a b b

a -≤≤-⎰

性质七（定积分中值定理） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立： ))(()(a b f dx x f b

a -=⎰ξ （本性质可由性质六和介值定理一

块证得）

5．积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x 为区间[a,b]上任意一点，则

f(x)在区间[a,x]上定积分为⎰x

a

dx x f )(，此时x 既表示积分变量又表示积分的上限，但两者

的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t 表示积分变量，则上面的积分可写成

⎰

x

a

dt t f )(，该积分会随着X 的取定而唯一确定，随X 的变化而变化。所以积分⎰x

a

dt t f )(是定

义在区间[a,b]上关于x 的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=⎰x

a dt t f )( (a ≤x ≤b)

并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：

定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为

Φ‘

(x)=)()(x f dt t f dx d x

a

=⎰ （a ≤x ≤b ）

定理二（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三 如果函数f(t)在区间I 1上连续，a(x),b(x)在区间I 2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I 2上的复合函数，则 F(x)=⎰)

()

(a )(x b x dt t f 在I 2上可导，且

F ‘(x)=

⎰)()

()(d x b x a dt

t f dx =f[b(x)]·b ’(x)-f[a(x)]·a ’

(x) 6.牛顿-莱布尼茨公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有⎰b

dx x f a

)(=F(b)-F(a),

这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。

次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分