七大积分总结

七大积分总结一． 定积分1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b,把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]，记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑⎰=→∆==ni i i ba x f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。

关于定积分的定义，作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(。

（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。

（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：∑⎰=∞→=ni n n i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。

3. 定积分的几何意义对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰b adx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。

若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。

4．定积分的性质线性性质（性质一、性质二）性质一 ⎰⎰⎰+=±bab b adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([a和差的积分等于积分的和差；性质二 ⎰⎰=bab dx x f k dx x kf )()(a（k 是常数）性质三 对区间的可加性 不管a,b,c 相对位置如何，总有等式 性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则a b dx x f b-=⎰a )(性质五（保号性） 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则0)(≥⎰badx x f推论一 设f(x)≤g(x),x ∈[a,b]，则⎰⎰≤bab dx x g dx x f )()(a推论二dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()( (a<b)性质六（估值定理） 设M 和m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则)()()(m a b M dx x f a b ba -≤≤-⎰性质七（定积分中值定理） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立： ))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ （本性质可由性质六和介值定理一块证得）5．积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x 为区间[a,b]上任意一点，则f(x)在区间[a,x]上定积分为⎰xadx x f )(，此时x 既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t 表示积分变量，则上面的积分可写成⎰xadt t f )(，该积分会随着X 的取定而唯一确定，随X 的变化而变化。

所以积分⎰xadt t f )(是定义在区间[a,b]上关于x 的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=⎰xa dt t f )( (a ≤x ≤b)并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为Φ‘(x)=)()(x f dt t f dx d xa=⎰ （a ≤x ≤b ）定理二（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三 如果函数f(t)在区间I 1上连续，a(x),b(x)在区间I 2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I 2上的复合函数，则 F(x)=⎰)()(a )(x b x dt t f 在I 2上可导，且F ‘(x)=⎰)()()(d x b x a dtt f dx =f[b(x)]·b ’(x)-f[a(x)]·a ’(x) 6.牛顿-莱布尼茨公式设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有⎰bdx x f a)(=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。

次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。

7.定积分的常见积分方法 换元法如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=ϕ(t)满足下列条件：（1）ϕ(α)=a,ϕ(β)=b;(2)在区间[α,β]上ϕ(t)具有连续导数且其值域R ϕ⊂[a,b]，则有⎰⎰=βαϕϕdt t t f dx x f ba)(')]([)( ，此公式称为定积分的换元公式。

注意：换元必换限，即用x=ϕ(t)把积分变量x 换成t 时，积分限一定要换成相应于新积分变量t 的积分限；另外此公司反过来也可以用：⎰⎰=badx x x f dt t f )(')]([)(ϕϕβα，其中定积分中的对称奇偶性： 若f(x)在区间[-a,a]上连续，则： （1） 当f(x)为奇函数时，⎰-aa dx x f )(=0（2） 当f(x)为偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(三角函数的定积分公式：设f(x)在[0,1]上连续，则：（1）⎰⎰∏∏=2020)(cos )(sin f dx x f dx x ;(2)⎰⎰∏∏∏=0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf周期函数的定积分公式：如果T 是连续函数f(x)的周期，则⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(（a 为常数）分部积分法若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有 重要结论：设I n =⎰⎰∏∏=2020ncos sin xdx xdx n ，则（1） 当n 为正偶数时，I n =22143231∏⋅⋅⋅--⋅- n n n n （2） 当n 为大于1的正奇数时，I n =13254231⋅⋅⋅--⋅- n n n n 常用到的不定积分的积分公式： 三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： 常见微分公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='8.无穷限的广义积分：设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a ，如果极限⎰∞→ba b dx x f )(lim存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做⎰+∞a)(dx x f ，这时也称广义积分⎰+∞a)(dx x f 收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。

同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。

对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。

几条结论：（1） 广义积分dx x ap⎰+∞1，当p>1时收敛，当p ≤1是发散。

（2） 广义积分⎰+∞-apx dx e 当p>0时收敛，当p<0时发散。

9.无界函数的广义积分：设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a 为函数f(x)的瑕点，取t>a ，如果极限⎰+→bt a t dxx f )(lim 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记做⎰bdx x f a)(，即⎰bdx x f a)(=⎰+→bta t dx x f )(lim 。

这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。

同理，可得f(x)在区间[a,b ）上的瑕积分,即 ⎰bdx x f a )(= ⎰-→tat dx x f )(lim b对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：⎰bdx x f a )(=⎰+→bta t dx x f )(lim =F(b)-)(lim x F a x +→=F(x)-F(a+0)小结论：广义积分dx xp ⎰11当p<1时收敛，当p ≥1时发散。

对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。