高中数学第一章三角函数1.7.3正切函数的诱导公式教案北师大版必修
高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数学案 北师大版必修
7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．理解任意角的正切函数的定义．2．能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(重点)4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 正切函数的定义、图像及性质阅读教材P 36～P 38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．正切线如图1－7－1所示，线段AT 为角α的正切线．图1－7－1 3．正切函数的图像与性质图像性质定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0，k∈Z判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tan x的定义域为R.( )(2)正切函数y＝tan x的最小正周期为π.()(3)正切函数y＝tan x是奇函数．( )(4)正切函数y＝tan x的图像关于x轴对称．( )【解析】(1)y＝tan x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)y＝tan x的周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π.(3)因为y＝tan x的定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠π2＋kπ，k∈Z关于原点对称，且tan(－x)＝－tan x，故为奇函数．(4)由图知，正切函数图像既不关于x轴对称，也不关于y轴对称．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×教材整理2 正切函数的诱导公式阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题．正切函数的诱导公式角x函数y＝tan x记忆口诀kπ＋αtan α函数名不变，符号看象限2π＋αtan απ2＋α －cot α 函数名改变，符号看象限π2－α cot α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cot α.( )(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( ) (3)tan(k π－α)＝－tan α.( ) 【解析】 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α，所以(1)正确．(2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确． (3)tan(k π－α)＝－tan α，故(3)正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]利用定义求正切值如图1是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．图1－7－2(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan θ；(2)若已知Q⎝⎛⎭⎪⎫35，45，试求tanα.【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．【自主解答】(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P⎝⎛⎭⎪⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P′⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AOQ＝α且Q⎝⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．3．tan α＝sin αcos α知其中两个，可求另一个．[再练一题]1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－35，求tan α的值.【导学号：66470022】【解】 由题意知cos α＝－bb 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0，∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.利用诱导公式求值或化简(1)化简：sin π＋α·cos π－α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α；(2)求值：tan 3π4－tan2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．【自主解答】 (1)原式＝ －sin α·－cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－cot α·sin α＝sin αcos α·cot α－cot α·sin α＝－cos α.(2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4＝－tan π4＋tanπ31＋tanπ3＝3－13＋1＝2－ 3.在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，π2＋α，π2－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．[再练一题]2．(1)化简：tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°；(2)若a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtan π＋αcos 3－α－π，求a 2＋a ＋1的值． 【解】 (1)tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°＝tan －αtan α－90°tan αtan αtan 90°＋αtan －α＝－tan α－cot αtan αtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtan π＋αcos 3－α－π＝－cos αsin 2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·－cos 3α ＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.正切函数的图像及应用利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像，并写出使y ＝3的x 的集合． 【精彩点拨】 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图． 【自主解答】 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x >0，∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k πk ∈Z ，tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .如图所示．使y ＝3的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π±π3，k ∈Z.1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．[再练一题]3．求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π－π4k ∈Z ，x ≠k π＋π2k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z . (2)要使函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x >0⇒0≤tan x <1.由正切函数的图像可得k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]正切函数的性质探究1 【提示】 不是，正切函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.正切曲线在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．探究2 函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ 【提示】 y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 探究3 函数y ＝tan x 的图像有什么特征？【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)．(1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；(4)若a >0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域． 【精彩点拨】 通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a 的符号．【自主解答】 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )．又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减， 当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增． (4)当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减， 故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值．∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像． 2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．[再练一题]4．画出函数y ＝tan |x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性． 【解】 由y ＝tan |x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠π2＋k πk ∈Z ，－tan x ，x <0且x ≠π2＋k πk ∈Z .根据y ＝tan x 的图像，作出y ＝tan |x |的图像如图所示：由图像可知，函数y ＝tan |x |是偶函数．单调增区间为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，3π2＋k π(k ＝0,1,2,3，…)；单调减区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋k π，－π2＋k π(k ＝0，－1，－2，－3，…)．[构建·体系]1．tan 5π6的值为( )A ． 3B ．－3 C.33D ．－33【解析】 tan 5π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33. 【答案】 D2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z【解析】 由题意得x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋π4，k ∈Z .【答案】 D3．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. 【解析】 由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12.【答案】 －124．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________.【导学号：66470023】【解析】 函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.【答案】 [0,1] 5．求以下各式的值．(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°. 【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan 180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________我的课下提升方案：(2)______________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。
下面店铺为你整理了高中数学三角函数教案，希望对你有帮助。
高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】
《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。
1.7正切函数教案高中数学必修四北师大版
§7正切函数7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式●三维目标 1．知识与技能理解正切函数的定义，了解正切线的概念，会画正切函数的图像．理解正切函数的性质，并能掌握正切函数的诱导公式．2．过程与方法通过正切函数的学习，培养学生运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生类比推理问题的能力，从而形成从具体到抽象、从感性到理性的思维过程．●重点难点重点：正切函数的图像及性质的应用，正切函数的诱导公式． 难点：正切函数性质的应用．(教师用书独具)●教学建议正切函数的图像和性质的教学关键是：(1)用几何法作正切曲线，也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线，并把握正切曲线的特征：沿y 轴的上、下两个方向无限伸展，并被无穷多条与x 轴垂直的直线x ＝k π＋π2(k∈Z )隔开的无穷多条曲线所组成的．这些直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )成为正切曲线的渐近线，在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的．(2)应使学生通过观察正切线、正切曲线得到正切函数的各种性质，包括能看出它的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性，培养学生使用函数图像研究函数性质的能力．●教学流程创设问题情境：你能根据正、余弦函数的定义，给出正切函数的定义吗？⇒引导学生得出正切函数的定义、图像、性质及诱导公式．⇒通过例1及变式训练，使学生进一步理解正切函数的定义．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用诱导公式进行化简或求值．⇒通过例3及互动探究，使学生掌握利用图像研究三角函数的性质．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.结合我们在初中对正切知识的学习以及正弦、余弦函数的定义，你能给出正切函数的定义吗？【提示】 能．1．在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．与正弦函数、余弦函数的关系 tan α＝sin αcos α(α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z )．AT 为角图1－7－1前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？【提示】∵tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2)，∴口诀对正切函数依然适用.(1)已知点P (－2a,3a )(a ≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ；(2)已知P (x ，－32)是角α终边上的一点，且tan α＝－3，求x 的值． 【思路探究】 (1)直接利用正切函数的定义求解；(2)根据正切函数的定义列出关于x 的方程，求解即可．【自主解答】 (1)由于a ≠0，∴tan θ＝3a －2a＝－32.(2)由于tan α＝－32x＝－3， 可解得x ＝12.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba.2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．若角θ的终边经过点A (－45，m )，且tan θ＝34，则m ＝________.【解析】 由正切函数的定义得，m －45＝34，解得m ＝－35.【答案】 －35求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°). 【思路探究】 利用诱导公式将负角、大角的三角函数值化为锐角的三角函数值． 【自主解答】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．(1)化简tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)，求a 2＋a ＋1的值．【解】 (1)tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)＝tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)＝(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α)＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·(－cos 3α) ＝－cos 3αsin 2αsin 2α(－cos 3α)＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．【思路探究】 画y ＝tan x 图像→y ＝|tan x |图像→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x －π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图像如图：由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为[k π，π2＋k π)(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋k π，k π)(k ∈Z )，周期为π.。
正切函数的定义及其诱导公式-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一，正切函数的定义
二，正切函数的诱导公式
1，求任意角的三角函数值的方法
根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出
该角的正弦、余弦、正切值．
第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点不重合)；
第二步，计算r:r＝|OP|＝ 2 + 2 ；
−
−
=
−
− = − ，所以正切函数是奇函数.
= − ，即
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、正切函数的诱导公式
2，正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到：
( + ) = ( ∈ )
(−) = −
思考一：(1)已知角的终边上一点坐标为(－3，a)，且为第二象限角，cos
3
=− ，则sin =________，tan =________．
5
(2)已知角 的终边上一点 3, 4 ≠ 0 ，求角 的正弦、余弦和正切值．
解：(2)因为 x＝3a，y＝4a，所以 r＝ （3a）2＋（4a）2＝5|a|，
tan θ＝ ＝ ＝ .
x 3a 3
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：正切函数的诱导公式
119π
思考二：(1)求下列三角函数值：①tan(－1 200°)；②tan 945°；③tan
.
6
cos − ∙sin
(2)已知 f(α)＝
f(α)．
教材P58例题
例1 求下列角α的正切函数值.
(1) = − ;
⑵ =
数学三角函数的诱导公式教案
数学三角函数的诱导公式教案一、引言三角函数是数学中重要的概念之一，它们在解决几何和物理问题中具有广泛的应用。
理解三角函数的性质和关系对于学习高等数学和物理学科至关重要。
其中，诱导公式是理解和推导三角函数之间关系的重要工具。
本教案将详细介绍数学三角函数的诱导公式。
二、正文1. 正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中最基本的一种，它的诱导公式可以通过相关角的三角函数进行推导。
设角A和角B为锐角，且满足A + B = 90°，则有如下关系：sin(A + B) = cos(90° - (A + B))= cos(90° - A - B)= cos(90° - A)cos(90° - B) - sin(90° - A)sin(90° - B)= cos(90° - A)cosB - sin(90° - A)sinB= sinAcosB + cosAsinB这即为正弦函数的诱导公式。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数是正弦函数的互补关系，因此可以通过正弦函数的诱导公式来推导余弦函数的诱导公式。
根据正弦函数的诱导公式，将A取代为(90° - A)和B取代为B，则有如下关系：cos(90° - A + B) = sin((90° - A)cosB + cos((90° - A)sinB)= sin(90° - A)cosB + cos(90° - A)sinB= cosAcosB - sinAsinB这即为余弦函数的诱导公式。
3. 正切函数的诱导公式正切函数是正弦函数和余弦函数的商，因此其诱导公式可以通过正弦函数和余弦函数的诱导公式来推导。
设角A和角B为锐角，且满足A + B = 90°，则有如下关系：tan(A + B) = sin(A + B)/cos(A + B)= (sinAcosB + cosAsinB)/(cosAcosB - sinAsinB)= (sinA/cosA)(cosB/sinB) + (cosA/sinA)(sinB/cosB)= tanA + tanB / (1 - tanAtanB)这即为正切函数的诱导公式。
数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案
数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案教案：正切函数的诱导公式教学目标：1.理解正切函数的定义及其性质；2.掌握正切函数的诱导公式；3.运用诱导公式解决相关问题。
教学准备：1.教师准备黑板、粉笔和教学课件；2.学生准备教材、笔、纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）通过复习余切函数的定义和性质，引导学生回忆正切函数的定义，并提问：你知道正切函数有哪些特点吗？二、讲解正切函数的定义（10分钟）1.提示：在单位圆上，有一点P(x,y)（其中x≠0），该点到原点的距离为1，且OP的延长线与x轴的夹角为θ，那么正切函数的定义是什么？2. 引导学生认识到，正切函数的定义是tanθ = y/x。
三、示例讲解（20分钟）1.通过几个具体的例子来解释正切函数的定义，帮助学生理解正切函数的含义。
2. 讲解例题1：已知角度θ的终边与单位圆的交点为P(x, y)，求tanθ的值。
四、探究正切函数的诱导公式（25分钟）1. 利用三角函数的基本关系和恒等式，推导正切函数的诱导公式tan(A + B)。
2.提醒学生注意证明过程中的每一步，辅助学生理解并巩固推导过程。
五、讲解诱导公式的应用（20分钟）1.以具体的案例说明诱导公式的用途，如解三角函数方程和证明三角恒等式等。
2. 引导学生思考：怎样利用诱导公式计算tan75°的值？六、练习与作业（15分钟）1.课堂练习：布置几道练习题，巩固学生对正切函数的诱导公式的理解和应用。
2.作业扩展：邀请学生通过课外学习，探索更多和正切函数相关的问题，并写一份小结。
七、总结与反思（5分钟）1.教师对学生的课堂表现进行总结评价，激励学生继续努力；2.学生反思本节课的收获和不足，为下一节课的学习做准备。
教学辅助：1.制作教学课件，包括正切函数的定义、诱导公式的推导过程等；2.准备示例题和练习题，帮助学生巩固知识点。
教学评价：1.教师可通过课堂练习和作业扩展，及时了解学生对正切函数的诱导公式的掌握情况；2.可通过学生的课堂表现和作业完成情况，评价教学效果。
高中数学 第一章 三角函数 1.7.3 正切函数的诱导公式教案 北师大版必修4
正切函数的诱导公式整体设计教学分析正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函数的诱导公式.教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学生的内在潜能得以挖掘;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦.三维目标通过观察正切函数的图像,掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能,养成善于用数形结合的思想理解和处理问题;通过绘图,观察,类比推理,探索知识,能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式.会用联系的观点看问题,激发学生的学习积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神,以及尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉,从而发现数学美,体验成功后的喜悦.重点难点教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和证明,提高解决综合问题的能力.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.思路2.设置情景,先让学生计算tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3)的值.观察数值并猜想结论,然后通过正切函数图像进一步来验证,这种思路比较符合学生的思维特点,也是一种不错的选择.推进新课新知探究提出问题①计算:tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3),类比正弦、余弦函数的诱导公式,猜想角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.②画出正切函数图像,如图1,类比正弦、余弦函数的诱导公式,观察归纳角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.③角α与角2π±α有怎样的关系？ ④类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？⑤学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题？活动:学生完成问题①的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像,以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数y ＝tanx 与y=tan(2π+x),y=tanx 与y=tan(-x),y=tanx 与y=tan(2π-x),y=tanx 与y=tan (π-x),y=tanx 与y=tan(π+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归纳得出正切函数以下的诱导公式:图1tan(2π+α)＝tanα;tan(-α)=-tanα;tan(2π-α)＝-tanα;tan(π-α)＝-tanα;tan(π+α)＝tan α.我们可以验证,无论角α是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式: tan(2π+α)=cot α;tan(2π-α)=cot α. 以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示:要求学生熟记2π±α,-α,π±α,2π±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.我们最熟悉的三角函数值是角在0°到90°之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,对于任一0°到360°的角β,有四种可能(其中α为不大于90°的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.β=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒∈-︒︒︒∈+︒︒︒∈-︒︒︒∈).360,270[,360),270,180[,180),180,90[,180),90,0[,βαβαβαβα当当当当 应用示例例1 若tanα=32,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值. 活动:三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函数定义中点P 的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯;然后由学生自己独立完成,必要时教师给予点拨.解:∵tanα＝32＞0,∴α是第一象限或第三象限的角. (1)如果α是第一象限的角,则由tanα＝32可知,角α终边上必有一点P(3,2). 所以x ＝3,y ＝2. ∵r＝|OP|＝13,∴sinα＝xy ＝13132,cosα＝r x ＝13133. (2)如果α是第三象限角,同理可得sinα＝xy ＝-13132,cosα＝r x ＝-13133. 点评:解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三角函数内容中显得尤为重要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法.变式训练(2007北京)已知cosθ·tanθ＜0,那么角θ是 ( )Ａ.第一或第二象限角 Ｂ.第二或第三象限角 Ｃ.第三或第四象限角 Ｄ.第一或第四象限角 答案:C例2 化简:)tan()3tan()tan()3tan()2tan(πααπαπαπαπ---+-+-. 活动:本例是应用正切函数诱导公式的基础题,解答此题时学生可能需要查看诱导公式,思考题中各个式子该用所学的哪个公式进行化简,教师提醒学生注意:对于诱导公式应当在理解的基础上记忆它,不要死记硬背公式,要让学生学会利用单位圆或图像来帮助记忆,待熟悉各个公式的作用后,选择最佳适用公式,迅速解题.解:原式＝αααααααπαπαπαπαtan 1)tan )(tan (tan tan )tan ()]tan()[tan()]tan([)tan(tan -=----=+----+-. 点评:化简三角函数式是三角函数中很重要的一种题型,其要求是:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数中不含三角函数;⑥次数尽量低.3.求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 活动:本节作为三角函数诱导公式的最后一节课,应有巩固、总结、提高的成分,而且三角函数诱导公式的主要应用在于对三角函数式进行求值、化简与证明;对于利用诱导公式证明三角函数式,一般的思路是化简较繁的一边,使之等于另一边,当然也可以两边都化简,还有分析法等,教师提醒学生不要套用固定模式,要具体问题具体分析,灵活解题.本例还需用到正弦、余弦的诱导公式,可让学生自己探究解决.证明:左边=+----=+----)sin()cos ()cos()sin()tan()5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθθθθπθθπθπθπ θθθθθθtan sin cos cos sin tan ==右边.所以,原式成立. 点评:解完此题后,教师与学生一起总结规律,证明三角函数恒等式,类型较多方法也较多,这里仅就常规通法略做练习,目的是熟练掌握三角函数的诱导公式,不必加大训练难度或加大题量.变式训练1.设tan(α+78π)=a,求:)722cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+-+-++的值. 解法一:∵tan(α+78π)=tan ［π+(α+7π)］=tan(α+7π)=a, ∴原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)7(3cos )7(3sin )7(2cos 3)7(2(sin παππαππαππαπ=)7cos()7sin()7cos(3)7sin(παπαπαπα+-++++=131)7tan(3)7tan(++=++++ααπαπα 解法二:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)78(2cos )78(4sin )78(3cos 3)78(sin παππαππαππαπ =)78cos()78sin()78cos(3)78sin(παπαπαπα+-+-+-+-=131)78tan(3)78tan(++=++++ααπαπα. 2.已知tan(π-α)=a 2,|cos(π-α)|=-cosα,求)cos(1απ+的值. 解:由tanα=-a 2≤0,|cos(π-α)|=-cosα≥0即co sα≤0,可知角α的终边在第二象限或x 轴的非正半轴上.若角α的终边在第二象限,即cosα＜0时,)cos(1απ+=41a +;若角α的终边在x 轴的非正半轴上,即a=0时,)cos(1απ+=-αcos 1=1. 综合上述两种情况可得)cos(1απ+=41a +.点评:一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角α的终边在x 轴的非正半轴上的情形.而由于tanα存在,这就决定了角α的终边不在y 轴上,即cosα不为零.本题很容易得到以下错解:∵tan(π-α)=a 2,∴tanα=-a 2＜0.∵|cos(π-α)|=-cosα＞0,∴cosα＜0.∴α是第二象限角.又cos(π+α)=-cosα=α2tan 11+=411a +, ∴)cos(1απ+=41a +.知能训练课本本节练习1-4.课堂小结让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式.要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式.作业课本习题1—6 A 组8、10.设计感想本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念.本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.备课资料备用习题1.若tan(π+α)＝-2,则tan(3π-α)的值为( )A.2B.±2C.0D.-22.sin 600°+tan240°的值是( ) A.21 B.-21 C.23 D.-23 3.若tan(35π-α)=-5,则tan(3π+α)的值是 ( ) A.5 B.-5 C.±5 D.不确定 4.化简)180sin()180cot()360cos()180sin(αααα--•--+•+︒οοο. 5.化简)cos()sin(απαπ++n n (n ∈Z )所得的结果是( ) A.tannα B.-tannα C.tanα D.-tanα6.已知f(α)=)sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ------. (1)求f(α); (2)若α是第三象限角,且cos(α-23π)=51,求f(α)的值; (3)若α=-1 860°,求f(α)的值.参考答案:1.A2.C3.A4.解:∵cot(-α-180°)=cot［-(180°+α)］=-cot(180°+α)=-cotα,sin(-180°-α)=sin［-(180°+α)］=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, ∴原式=ααααααcot cossin )cot (cos )sin (=•-•-=sinα.5.C6.解:(1)f(α)=ααααsin tan cos sin -••=-sinα;(2)由题意知sinα=-51,由(1)的结果,所以f(α)=51;(3)根据(1)的结果知,f(-1 860°)=f(-6×360°+300°)=-sin(-6×360°+300°)=-sin300°=sin60°=23.。
北师大版高中数学必修第二册《正切函数的诱导公式》教案及教学反思
北师大版高中数学必修第二册《正切函数的诱导公式》教案及教学反思一、教学目标和要求1. 教学目标本节课程主要是围绕正切函数的诱导公式展开，让学生掌握正切函数的三角形式、诱导公式以及正切函数图像的变化特点，进一步强化学生对正切函数的理解能力。
具体教学目标如下：1.掌握正切函数的三角形式及其相关定义；2.掌握正切函数的诱导公式，理解诱导公式的含义；3.了解正切函数的图像变化特点，掌握正切函数的图像；4.在学习过程中培养学生积极探究、自主学习的能力。
2. 教学要求1.本节课程是一节重点难点课程，涉及较多的概念和知识点，要求学生在课前预习并对生疏概念进行深入理解；2.在课堂上，要求学生积极参与讨论和解答问题，主动思考，加强对概念和知识点的理解；3.课后，要求学生对本课程进行总结和反思，归纳出重点和难点内容。
二、教学内容及方法1. 教学内容1.正切函数的三角形式及其相关定义；2.正切函数的诱导公式，理解诱导公式的含义；3.正切函数的图像变化特点，掌握正切函数的图像。
2. 教学方法1.利用多媒体手段辅助教学，生动形象地展示概念和知识点；2.采用问题导向的教学方法，引导学生主动思考和探究；3.引导学生进行交流和合作，加深对概念和知识点的理解。
三、教学过程1. 教师引导引导学生回顾正弦函数、余弦函数的定义及性质，并提出引入正切函数的原因。
2. 回顾三角函数的定义和性质1.正弦函数及其性质；2.余弦函数及其性质。
3. 引入正切函数1.通过图示和解释，引入正切函数的定义及其相关知识点；2.引入正切函数的三角形式及其相关公式。
4. 讲解正切函数的诱导公式1.给出正切函数的诱导公式；2.解释诱导公式的含义；3.给出几个诱导公式的应用例题并讲解。
5. 正切函数图像的变化特点1.引导学生思考正切函数图像的变化特点；2.利用图表形式展示正切函数图像以及图像变化特点。
6. 例题讲解设计一些难度适中的例子，让学生逐步掌握正切函数的概念和知识点，并加强对课程内容的理解。
1.7.3正切函数的图象与性质-高一数学课件(北师大版必修第二册)
3
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一，图象变换法画函数y=Asin(ωx+
φ)+k的图象
二，五点法画函数y=Asin(ωx+φ)+
k的图象
三，函数y = sin ωx + φ 的性质
1，(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间
3，利用周期画整个定义域上的图象：
因为正切函数 = 是以为周期的函数，
所以它在区间 −
上与在区间
− ,
,
+
, ∈ , ≠
上的函数图象形状完全相
− ,
同，函数 = , ∈
上的图象向左、
右平移就可以得到正切函数 = 在
3
7
13
17
(1) tan −
与tan ;
(2) tan −
与tan −
.
4
5
4
3
3
解：(1)因为 tan −
= −tan = −tan − +
4
4
4
7
2
2
= − −tan = tan ，tan = tan
+ = tan .
4
4
5
5
5
2
而 = tan 在区间 0, 上单调递增，且0< < < ，
(1)先由图象确定周期T，再由公式T＝ 求出ω.
(2)根据图象过定点，确定φ的值和A的值．
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正切函数的诱导公式整体设计教学分析正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函数的诱导公式.教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学生的内在潜能得以挖掘;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦.三维目标通过观察正切函数的图像,掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能,养成善于用数形结合的思想理解和处理问题;通过绘图,观察,类比推理,探索知识,能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式.会用联系的观点看问题,激发学生的学习积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神,以及尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉,从而发现数学美,体验成功后的喜悦.重点难点教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和证明,提高解决综合问题的能力.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.思路2.设置情景,先让学生计算tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3)的值.观察数值并猜想结论,然后通过正切函数图像进一步来验证,这种思路比较符合学生的思维特点,也是一种不错的选择.推进新课新知探究提出问题①计算:tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3),类比正弦、余弦函数的诱导公式,猜想角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.②画出正切函数图像,如图1,类比正弦、余弦函数的诱导公式,观察归纳角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.③角α与角2π±α有怎样的关系？ ④类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？⑤学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题？活动:学生完成问题①的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像,以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数y ＝tanx 与y=tan(2π+x),y=tanx 与y=tan(-x),y=tanx 与y=tan(2π-x),y=tanx 与y=tan(π-x),y=tanx 与y=tan(π+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归纳得出正切函数以下的诱导公式:图1tan(2π+α)＝tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)＝-tan α;tan(π-α)＝-tan α;tan(π+α)＝tan α.我们可以验证,无论角α是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式: tan(2π+α)=cot α;tan(2π-α)=cot α. 以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示:要求学生熟记2π±α,-α,π±α,2π±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.我们最熟悉的三角函数值是角在0°到90°之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,对于任一0°到360°的角β,有四种可能(其中α为不大于90°的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.β=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒∈-︒︒︒∈+︒︒︒∈-︒︒︒∈).360,270[,360),270,180[,180),180,90[,180),90,0[,βαβαβαβα当当当当 应用示例例1 若tan α=32,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值. 活动:三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函数定义中点P 的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯;然后由学生自己独立完成,必要时教师给予点拨.解:∵tan α＝32＞0,∴α是第一象限或第三象限的角. (1)如果α是第一象限的角,则由tan α＝32可知,角α终边上必有一点P(3,2). 所以x ＝3,y ＝2.∵r＝|OP|＝13,∴sin α＝xy ＝13132,cos α＝r x ＝13133. (2)如果α是第三象限角,同理可得sin α＝xy ＝-13132,cos α＝r x ＝-13133. 点评:解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三角函数内容中显得尤为重要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法.变式训练(2007北京)已知cos θ²tan θ＜0,那么角θ是 ( )Ａ.第一或第二象限角 Ｂ.第二或第三象限角 Ｃ.第三或第四象限角 Ｄ.第一或第四象限角 答案:C例2 化简:)tan()3tan()tan()3tan()2tan(πααπαπαπαπ---+-+-. 活动:本例是应用正切函数诱导公式的基础题,解答此题时学生可能需要查看诱导公式,思考题中各个式子该用所学的哪个公式进行化简,教师提醒学生注意:对于诱导公式应当在理解的基础上记忆它,不要死记硬背公式,要让学生学会利用单位圆或图像来帮助记忆,待熟悉各个公式的作用后,选择最佳适用公式,迅速解题.解:原式＝αααααααπαπαπαπαtan 1)tan )(tan (tan tan )tan ()]tan()[tan()]tan([)tan(tan -=----=+----+-. 点评:化简三角函数式是三角函数中很重要的一种题型,其要求是:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数中不含三角函数;⑥次数尽量低.3.求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 活动:本节作为三角函数诱导公式的最后一节课,应有巩固、总结、提高的成分,而且三角函数诱导公式的主要应用在于对三角函数式进行求值、化简与证明;对于利用诱导公式证明三角函数式,一般的思路是化简较繁的一边,使之等于另一边,当然也可以两边都化简,还有分析法等,教师提醒学生不要套用固定模式,要具体问题具体分析,灵活解题.本例还需用到正弦、余弦的诱导公式,可让学生自己探究解决.证明:左边=+----=+----)sin()cos ()cos()sin()tan()5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθθθθπθθπθπθπ θθθθθθtan sin cos cos sin tan ==右边.所以,原式成立. 点评:解完此题后,教师与学生一起总结规律,证明三角函数恒等式,类型较多方法也较多,这里仅就常规通法略做练习,目的是熟练掌握三角函数的诱导公式,不必加大训练难度或加大题量.变式训练1.设tan(α+78π)=a,求:)722cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+-+-++的值. 解法一:∵tan(α+78π)=tan ［π+(α+7π)］=tan(α+7π)=a, ∴原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)7(3cos )7(3sin )7(2cos 3)7(2(sin παππαππαππαπ=)7cos()7sin()7cos(3)7sin(παπαπαπα+-++++=131)7tan(3)7tan(++=++++ααπαπα 解法二:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)78(2cos )78(4sin )78(3cos 3)78(sin παππαππαππαπ =)78cos()78sin()78cos(3)78sin(παπαπαπα+-+-+-+-=131)78tan(3)78tan(++=++++ααπαπα. 2.已知tan(π-α)=a 2,|cos(π-α)|=-cos α,求)cos(1απ+的值. 解:由tan α=-a 2≤0,|cos(π-α)|=-cos α≥0即cos α≤0,可知角α的终边在第二象限或x 轴的非正半轴上.若角α的终边在第二象限,即cos α＜0时,)cos(1απ+=41a +;若角α的终边在x 轴的非正半轴上,即a=0时,)cos(1απ+=-αcos 1=1. 综合上述两种情况可得)cos(1απ+=41a +.点评:一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角α的终边在x 轴的非正半轴上的情形.而由于tan α存在,这就决定了角α的终边不在y 轴上,即cos α不为零.本题很容易得到以下错解:∵tan(π-α)=a 2,∴tan α=-a 2＜0.∵|cos(π-α)|=-cos α＞0,∴cos α＜0.∴α是第二象限角.又cos(π+α)=-cos α=α2tan 11+=411a +, ∴)cos(1απ+=41a +.知能训练课本本节练习1-4.课堂小结让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式.要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式.作业课本习题1—6 A 组8、10.设计感想本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念.本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.备课资料备用习题1.若tan(π+α)＝-2,则tan(3π-α)的值为( )A.2B.±2C.0D.-22.sin 600°+tan240°的值是( ) A.21 B.-21 C.23 D.-23 3.若tan(35π-α)=-5,则tan(3π+α)的值是 ( ) A.5 B.-5 C.±5 D.不确定 4.化简)180sin()180cot()360cos()180sin(αααα--∙--+∙+︒ . 5.化简)cos()sin(απαπ++n n (n ∈Z )所得的结果是( ) A.tann α B.-tann α C.tan α D.-tan α6.已知f(α)=)sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ------. (1)求f(α); (2)若α是第三象限角,且cos(α-23π)=51,求f(α)的值; (3)若α=-1 860°,求f(α)的值.参考答案:1.A2.C3.A4.解:∵cot(-α-180°)=cot［-(180°+α)］=-cot(180°+α)=-cot α,sin(-180°-α)=sin ［-(180°+α)］=-sin(180°+α)=-(-sin α)=sin α, ∴原式=ααααααcot cos sin )cot (cos )sin (=∙-∙-=sin α.5.C6.解:(1)f(α)=ααααsin tan cos sin -∙∙=-sin α;(2)由题意知sin α=-51,由(1)的结果,所以f(α)=51;(3)根据(1)的结果知,f(-1 860°)=f(-6³360°+300°)=-sin(-6³360°+300°)=-sin300°=sin60°=23.。