定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=
），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1
1
()()n n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b
a
f x dx ⎰，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：
1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅． 1．分割
在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：
0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n
n -⎡⎤⋅=⎢
⎥
⎣⎦L ，其长度为()1i b i b b
x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,
b n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上所作的功分别记作：1W ∆，2W ∆，…，n W ∆ （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅ ⎪
⎝⎭
(1,2,,)i n =L （3）求和
()1
1
1n n
n i i i i b b W W k n
n
==-=∆=⋅⋅∑∑
=()()22222
110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫
++++-==-⎡⎤ ⎪⎣
⎦⎝⎭
L
从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫
≈=- ⎪⎝⎭
（4）取极限22
1
1lim lim lim 122n
n i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：
22kb
内容二 定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分
dx x f a
b
⎰
)(表示由直线
0),(,=≠==y b a b x a x 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分
dx x f a
b
⎰
)(的几何意义。

说明：一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面
积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L
于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L ⎰
=∴a
b
dx x f )(阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
例2．计算定积分
2
1
(1)x dx
+⎰
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

即：2
1
5(1)2
x dx +=
⎰
1
2
y
x
o
内容三 定积分的性质
性质1 a b dx b
a
-=⎰1
性质2 ⎰⎰
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰（定积分的线性性质）
性质4
()()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：1212[()()()]()()()b
b
b
b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰
⎰⎰⎰L L
②推广: 12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰
⎰⎰⎰L
内容四 微积分基本定理
一般地，如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
这个结论叫做微积分基本定理。

基本积分公式：
（1）⎰-≠∈+=
+b
a b
a m m m Q m x m dx x )1,(1
11； （2）⎰=b
a b a x dx x
ln 1
； （3）
⎰
=b
a
b a
x x e dx e ； （4）⎰=
b
a b a
x
x
a
a dx a ln ；
（5）⎰
=b
a b a x xdx sin cos ；
（6）
⎰-=b
a
b
a
x
xdx cos sin
例3 求
.12
dx x
x b
a
⎰
+
解 因为
22
1222===1122
2212(1)(1)2x C x C ++=++g 即
1
22
20
(1)1x +=1
22
(1)x +，所以
2
⎰
=1
2
22
(1)
1x +=
内容五 定积分的简单应用
. 1、 曲边图形面积：()b
a
S f x dx =⎰；
2、 变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
；
3、 变力做功 ()b
a
W F r dr
=
⎰
例4．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由2230y x
x y ⎧=⎨--=⎩
得A （1，– 1），B （9，3）．
选择x 作积分变量，则所求面积为
1
011
[()][(3)]2
S x x dx x x dx =--+--⎰⎰=19
9
011
121(3)2dx xdx x dx +--⎰⎰⎰ =3321992201142332||()|33423
x x x x +--=．。